湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一上学期9月月考 数学试题（含解析）

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试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到；
【详解】由题意，命题“”的否定为，
故选：C
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到，根据交集概念得到答案.
【详解】，
故.
故选：A
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. ，当时，
B. 集合与集合是相同的集合
C. 若，则
D. 所有的素数都是奇数
【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例判断AD；根据集合的表示方法即可判断B；根据不等式的性质即可判断C．
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，，所以，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，2是素数，但2是偶数，故D错误；
故选：C．
4. 已知，则以下错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
【详解】因为，所以，
对于A，，,,
综上可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：D.
5. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ）
A. 3或4B. 2或3C. 1或2D. 1或3
【答案】C
【解析】
【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案.
【详解】因为此数为小于5的正整数，所以，
.因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，
所以是的真子集，是的真子集，
所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确.
故选：C.
6. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集为
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解．
【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误；
对于BCD，是方程的两个根，
所以，
所以，，
，故BC错误，D正确；
故选：D．
7. 已知，则的最大值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式成立的条件.
【详解】因为，则，
可得，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为4.
故选：A.
8. 向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ）
A. 赞成的不赞成的有9人
B. 赞成的不赞成的有11人
C. 对都赞成的有21人
D. 对都不赞成的有8人
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可.
【详解】赞成A人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示，
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为，
赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得.
所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分
9. 巴黎奥运会已经结束，但是中国运动健儿们在赛场上为国拼搏的精神在我们的心中永存.某学校组织了以“奥运赛场上最难忘的瞬间”为主题的作文大赛，甲､乙､丙､丁四人进入了决赛.四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖：
乙预测说：甲和丁中有一人获奖：
丙预测说：甲的猜测是对的：
丁预测说：获奖者在甲､乙､丙三人中.
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符，已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ），
A. 甲和乙B. 乙和丙
C. 甲和丙D. 乙和丁
【答案】AC
【解析】
【分析】分析出甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若甲和丙的说法同时与结果相符，推出矛盾，故甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立，得到答案.
【详解】“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”
甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.
若甲和丙的说法同时与结果相符，
则根据四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符，
可知乙、丁预测与结果不符，
由丁的预测与结果不符可知丁一定获奖了，于是获奖者为丙丁，
这样乙的预测“甲和丁中有一人获奖”也就与结果相符了，矛盾；
所以甲和丙的说法与结果不符，
则乙､丁的预测与结果相符，
由丁的预测与结果相符，得到丁未获奖，
结合乙预测“甲和丁中有一人获奖”得出甲必然获奖，
所以甲获奖，丁不获奖；丙或乙获奖.
故选：AC
10. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A. 8B. 128C. 37D. 23
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.
【详解】对于A，因，则，选项A错误；
对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确；
对于C，因，则，选项C错误；
对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确.
故选：BD
11. 已知，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若，则
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例即可说明A；由不等式的性质，即可说明B；利用作差法即可判断C；根据配方法即可判断D．
【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误；
对于B：因为，所以，所以故B正确；
对于C：，
因为，所以，所以a−b+1b−1a>0，即，故C正确；
对于D：等价于，成立，故D正确；
故选：BCD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知在不等式的解集中，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】将代入不等式求解即可．
【详解】因为在不等式的解集中，
所以把代入不等式得：4（，解得，
故答案为：．
13. 已知，则集合M的子集的个数是__________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据集合的描述确定集合M中元素的个数，进而可知其子集个数.
【详解】由题设，，故集合M的子集的个数是.
故答案为：16
14. 已知，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得，从而可求解.
【详解】，当且仅当的时候取“”，
又，当且仅当的时候取“.
综上，当的时候，不等式取“”条件成立，此时最小值为12.
故答案为：12.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设为全集，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；
（2）由已知结合集合的包含关系对集合是否为空集进行分类讨论即可求解.
【小问1详解】
（1）由题意可得，
当时，，
所以，
因为，
所以
【小问2详解】
由(1)知，，
若，即，解得，此时满足；
若，要使，则，解得，
综上，若，所求实数的取值范围为
16. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
（2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由真包含于构造不等式即可求解；
（2）通过与同时为真命题，求范围，再求补集即可.
【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于
而，显然
于是，解得，
所以的取值范围为0,2；
（2）当命题为真命题时，
当命题为真命题时，，即，
所以与同时为真命题时有，解得
故与不同时为真命题时，的取值范围是.
17. 已知函数.
（1）若，且在上恒成立，求的取值范围；
（2）若关于的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的性质，由题中条件，得到，即可求解；
（2）根据方程有两不同正根，结合判别式与韦达定理，求出，再由，即可求出结果.
【详解】（1）当时，二次函数开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，
要使在上恒成立，只需，
所以的取值范围是；
（2）因为有两个不相等的正实数根，，
所以，解得，
因为，
所以的取值范围是.
18. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：
已知，且，求最小值．
李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同．
李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为．
韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为．
（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）
（2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
（i）已知，且，求证：；
（ii）已知，求的最小值．
【答案】（1）韩梅梅的解法正确；李雷的解法错误，理由见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）在李雷的解法中，取得最小值时，，，与已知条件相矛盾，即可说明；
（2）将转化为，根据基本不等式即可证明；由得，代入，结合基本不等式“1”的妙用即可求解．
【小问1详解】
韩梅梅的解法正确，李雷的解法错误；
在李雷的解法中，，等号成立时；
，等号成立时，
那么取得最小值时，，
这与已知条件是相矛盾的．
【小问2详解】
（i），且，
，当且仅当时取等号．
（ii）因为，所以，
即
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
19. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）当时，取得最大值为3680万元
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解；
（2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解．
【小问1详解】
因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，
所以，解得，
当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，
所以，解得，
当时，，
当时，，
综上．
【小问2详解】
①当时，单调递增，所以；
②当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，
所以此时的最大值为，
综合①②知，当时，取得最大值为3680万元.