广东省韶关市仁化县仁化中学2023-2024学年高一上学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省韶关市仁化县仁化中学2023-2024学年高一上学期第二次月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了若，则下列说法正确的是，下列四个命题中，为真命题的是，已知集合，若，则实数的值为，已知集合，，则等于，已知，则的最小值为，下列命题中错误的有等内容，欢迎下载使用。
数学说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟.
一.选择题 （本题共计8小题，每题5分，共计40分）
1．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列四个命题中，为真命题的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．2B．C．2或D．4
4．已知集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合M满足，且集合M中的元素个数大于2，象这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（ ）
A．B．
C．D．
8．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（ ）人，只学习必修一的有（ ）人.
A．9，3B．11，3C．9，12D．3，9
二.多选题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全对得5分，部分对得2分，错选得0分）
9．下列命题中错误的有（ ）
A．存在整数，使得
B．，一元二次方程无实数根
C．
D．能被2整除
10．设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．3D．
11．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若，则
12．下列说法正确的有（ ）
A．是的必要不充分条件
B．“”是‘’成立的充分条件
C．命题，则
D．为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件
三.填空题 （本题共计4小题，每题5分，共计20分）
13．函数的定义域是 .
14．若，的值为 .
15．已知，则 .（填“”，“”，或“”）
16．已知，且，则的取值范围是 .
四.解答题 （本题共计6小题，第17题10分，其余题目各12分，共70分）
17．（1）已知，求函数的最小值；
（2）已知正数满足，求的最小值.
18．已知非空集合，.
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
19．解关于x的不等式：.
20．某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：）
(1)试用x，y表示s；
(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值．
21．设函数.
(1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围；
(2)解不等式.
22．已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式，；
（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.
1．D
【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可.
【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；
，故B错误；，故C错误；，故D正确.
故选：D.
2．C
【分析】ABD可举出反例，C选项可利用作差法比较大小.
【详解】A选项，当时，，A错误；
不妨设，满足，，而，B错误；
若，则，故，
所以，故，C正确；
不妨设，满足，此时，D错误.
故选：C
3．B
【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解.
【详解】由，
若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性；
若，即，则不符合集合元素的互异性.
故.
故选：B.
4．A
【解析】首先根据题意得到，再求即可.
【详解】或，
则.
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的运算，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.
5．A
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】因为，故，即，
当且仅当时，等号成立，所以.
故选：A.
6．B
【分析】根据给定条件，可得集合M是与的非空子集的并集，即可求出集合M的个数.
【详解】由，得集合M中一定包含元素1和2，
又集合M中的元素个数大于2，因此集合M是与的非空子集的并集，
所以集合的个数为.
故选：B
7．C
【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应.
【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误;
对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误;
对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确;
对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,
故选:C.
8．D
【分析】利用韦恩图法即可快速求解.
【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人，
则，解得，
即同时学习必修二和选修一的有3人，
则只学习必修一的有（人），
故选：D.
.
9．ABC
【分析】利用整除的意义判断AD；计算判别式判断B；取计算判断C.
【详解】对于A，由，得为偶数，而是奇数，显然等式不成立，A错误；
对于B，对于一切实数a，方程中，此方程必有实数根，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，，，是正奇数，
当为正偶数时，是正偶数，此时能被2整除，D正确.
故选：ABC
10．ABD
【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值.
【详解】因为的两个根为3和5，所以，
是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以或或，
当时，满足即可，
当时，满足，所以，
当，满足，所以，
所以的值可以是0，，.
故选：ABD.
11．ABC
【分析】解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求判断正误即可.
【详解】由已知得：，令
A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；
B：若，则，解得，正确；
C：当时，，解得或，正确；
D：当时，有，所以，错误；
故选：ABC.
12．BD
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C.
【详解】对于A，若，则，但由不能推出，
所以是的充分不必要条件，故A错误；
对于B，时，一定成立，
所以是成立的充分条件，故B正确；
对于C，命题，则，故C错误；
对于D，当时，，
当时，为无理数，
所以为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件，故D正确.
故选：BD.
13．
【分析】保证分母不为零，被开方式大于等于零即可.
【详解】由题意得，解得且，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
14．
【分析】代入及即可得.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
15．
【分析】借助作差法计算即可得.
【详解】，故.
故答案为：.
16．
【分析】先根据基本不等式可知，，进而求得的范围，由此能求出的取值范围.
【详解】正数，
，
，
或（空集），
，故答案为.
【点睛】若一个等式中，有两个数的乘积同时有这两个数的和，求其中一个的最值时,通常用的方法是:用基本不等式将等式转化成要求部分的不等式，解不等式求出范围.
17．（1）5；（2）9
【分析】（1）通过配凑，然后利用基本不等式直接求解可得.
（2）利用基本不等式“1”的妙用求解可得.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最小值为5；
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为9.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）先解出集合B，再根据集合的运算求得答案;
（2）根据题意可知A.B，由此列出相应的不等式组，解得答案.
【详解】（1），，
故，；
（2）由题意A是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，
故得A.B，得，或或,
解得，故的取值范围为.
19．答案见解析
【分析】分，，三种情况，再结合根的大小进行分类讨论，得到不等式的解集.
【详解】当时，，解得，不等式的解集为；
当时，分解因式，
当时，原不等式为，
不等式的解集为或；
当时，原不等式为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
20．(1)
(2)s的最大值为，此时，．
【分析】（1）由题意建立s的函数解析式；（2）利用基本不等式，求出s的最大值.
【详解】（1）由题意可得,矩形ABCD长为(x-3)m,宽为(y-2)m,故.
（2）∵，
∴（当且仅当,即，时取等号）.
故s的最大值为,此时，.
21．(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）分成二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数不为0时满足开口向下且；
（2）因式分解后对参数分类讨论即可.
【详解】（1）①若，此时恒成立；
②若，要使得恒成立，则，解得，
所以；
（2），即，
即，
若，则解集为；
若，此时不等式无解；
若，则解集为
22．（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1
【分析】（1）根据韦达定理即可．
（2）分别对三种情况进行讨论．
（3）带入，分别对时三种情况讨论．
【详解】（1）的解集为可得1，2是方程的两根，
则，
（2）
时，
时，
时，
（3），为上的奇函数
当时，
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，在时，取得最大值，即；
当时，，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，，在时，取得最小值，即；
对于任意的都有则等价于
或（）
则的最小值为1
【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论．本题属于难题．