广东省韶关市曲江区第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省韶关市曲江区第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 若集合，集合，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合，根据并集的定义求结论.
【详解】由，可得，
又，
所以.
故选：D.
2. 设全集为R，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由函数定义域求得集合B，再求得B的补集，根据交集的运算可得选项.
【详解】因为，解得，所以，所以，又，所以.
故选：B.
3. 若命题p:∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（ ）
A. ∃x∈R，x2+2x+1>0B. ∃x∈R，x2+2x+10
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.
【详解】由题,则的否定为, x2+2x+1>0.
故选：D
【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.
4. 若：，：，则是的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分析由能否推出，由能否推出，结合充分条件与必要条件的定义判断结论.
【详解】因为由可推出，
所以，故是的充分条件，
由不能推出，
所以，不是的必要条件，
所以是的充分不必要条件.
故选：B.
5. 不等式的解集是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分解因式再解不等式.
【详解】因为，所以或，选C.
【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.
6. 已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是（ ）
A. 若a＞b，则B. 若a＜b，则am2＜bm2
C. 若，则a＞bD. 若a3＞b3，则a＞b
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法进行逐一判断即可.
【详解】A．a＞b得不出，比如，a＝4，b＝﹣2时；
B．m＝0时，a＜b得不出am2＜bm2；
C.得不出a＞b，比如，a＝﹣2，b＝4；
D．∵y＝x3增函数，∴由a3＞b3可得出a＞b．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题.
7. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】利用换元法，把原式变形即可求解.
【详解】令，则
则有，
所以函数的解析式为：.
故选：D.
8. 已知，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
则，即的取值范围是.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. （多选题）已知集合，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.
【详解】由题得集合，
由于空集是任何集合的子集，故A正确：
因为，所以CD正确，B错误.
故选ACD.
【点睛】本题主要考查集合化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10. 各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AC
【解析】
【分析】利用相同函数的定义，逐项判断得解.
【详解】对于A，函数与的定义域均为R，且，它们是同一个函数，A是；
对于B，函数与的定义域分别为R和，它们不是同一个函数，B不是；
对于C，函数与的定义域均为R，且，它们是同一个函数，C是；
对于D，函数与的定义域分别为R和，它们不是同一个函数，D不是.
故选：AC
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“”的必要条件
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据全称命题与特称命题的否定关系即可判断选项A、选项B；根据不等式的解集以及充分、必要条件的定义即可判断选项C；根据方程根的性质以及充分、必要条件的定义即可判断．
【详解】解：选项A：因为命题“，”为全称命题，则其否定为：“，”，故选项A错误；
选项B：因为命题“，”为特称命题，其否定为：“，”，故选项B正确；
选项C：当，时，，所以“” 不是“”的必要条件，故选项C错误；
选项D：因为方程有一正一负根，故有，解得；
当时，显然有，且，故选项D正确.
故选：BD．
12. 已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值.
【详解】由开口向上且对称轴为，
∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得，
∴的可能值A、B、C.符合.
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13. 设函数，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用函数解析式求解函数值.
【详解】函数f（x）=，则f（2）=，
f[f（2）]=f（）==．
故答案为
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
14. 不等式的解集是______
【答案】
【解析】
【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解.
【详解】不等式，解得或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
15. 函数的定义域为______
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有意义求解即可.
【详解】由，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
16. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况，结合判别式列式求解即可.
【详解】因为关于x的不等式在上恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17. 设集合，.
（1）当时，分别求与；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用交集、并集的定义求解.
（2）利用集合的包含关系，列式求解.
【小问1详解】
当时，，而，
所以，.
【小问2详解】
由，得，
而，，则，
所以实数的取值范围是.
18. （1）已知，求的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．
【答案】（1）-1；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据x的范围，可得，原式转化为，结合基本不等式，即可得结果；
（2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解.
【详解】（1），
，
，（当且仅当，即时取等号），
，
，即最大值为；
（2），则，
，
，
（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.
【点睛】本题考查基本不等式中配凑法的应用、“1”的妙用等知识，应用基本不等式时，应注意： “一正，二定，三相等”，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.
19. 已知不等式的解集为A，不等式的解集为B，求
（1）若不等式的解集为，求a，b的值；
（2）当时；求函数的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合，再利用利用一元二次不等式的解集求出.
（2）由（1）的结论，求出二次函数在指定区间上的值域.
【小问1详解】
解不等式，得，则，
解不等式，得，则，于是，
由不等式的解集为，得是方程的二根，
因此，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，，
则当时，，当或时，，
所以函数的值域是.
20. 已知二次函数的两个零点为和，且
（1）求m的值；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理，结合已知列式求解.
（2）由（1）的结论，解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
依题意，和是方程的二根，则，
由，得，则，而，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
则不等式，
解得，所以原不等式的解集为.
21. 生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为，底面积为的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排宽的休闲区，休闲区造价为元，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为元.其他设施等支出大约为万元，设游泳池的长为.
（1）试将总造价（元）表示为长度的函数；
（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
【答案】（1）；（2）当时，总造价最低，且最低总造价为元.
【解析】
【分析】（1）求出游泳池的宽，分别计算出铺游泳池的花费和休闲区的花费，即可得出总造价（元）关于的函数；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立可得出结论.
【详解】（1）因为游泳池的长为，所以游泳池的宽为，
铺游泳池的花费为，
休闲区的花费为，
所以，总造价为，其中；
（2）由基本不等式可得
（元），
当且仅当时，等号成立.