湖南省长沙市雨花区金海中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份湖南省长沙市雨花区金海中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列“金海教育”图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.等腰三角形有一个角是，则它的底角是( )
A. B. C. 或D. 或
4.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点，处，若，则等于( )
A. B. C. D.
5.过一个多边形的一个顶点可引2021条对角线，则这个多边形的边数为( )
A. 2018B. 2019C. 2023D. 2024
6.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于工程人员这种操作方法的依据是( )
A. 等边对等角
B. 等腰三角形“三线合一”
C. 垂线段最短
D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
7.如图，≌，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
8.将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，，，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，线段AB的垂直平分线交AC于点D，的周长是9，则BC的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若点与点关于y轴对称，则的值是______.
12.等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角的度数是______.
13.如图，已知AD是的中线，BE是的中线，若的面积为16，则的面积为______.
14.如图，在中，，，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若，则______.
15.如图，中，DE是AC的垂直平分线，，的周长为16cm，则的周长为______.
16.如图，在中，AD为的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，若，，，则的面积为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
如图，在中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，
的度数为______；
若，求的度数．
18.本小题6分
请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整．
已知直线l和l外一点P，下面是小明设计的“过点P作直线的垂线”的作法：
证明：连接AP，AQ，BP，
由作法可知，
______，
点A在线段PQ的垂直平分线上；
______，
点B在线段PQ的垂直平分线上依据：______，
直线AB是线段PQ的垂直平分线依据：两点确定一条直线，
19.本小题6分
已知：如图，已知，的顶点，，均在正方形网格的格点上.
画出与关于x轴对称的图形并写出点的坐标；
求的面积.
20.本小题8分
如图，在四边形ABCD中，BD平分，点E在线段BD上，，
求证：≌；
当时，求的度数.
21.本小题8分
如图，中，，AD是的角平分线，于E，
求证：；
求的度数．
22.本小题9分
已知中，的平分线CD交AB于点D，DE平分，
如图1，如果点E是边AC的中点，，求DE的长；
在的条件下，求证：是等腰三角形.
如图2，若，在BC边上取点F使，若，求DF的长.
23.本小题9分
如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且
若，求的度数；
若周长13cm，，求DC长．
24.本小题10分
如图，点，，且a、b满足
如图1，求的面积；
如图2，点C在线段AB上不与A、B重合移动，，且，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，且，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BQ长为定值，请求出该定值
25.本小题10分
已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且，的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，为AC上的点
试分别求出A，B，C三点的坐标；
设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；
若，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且，当Q在第四象限内运动时，下列说法：①的度数和不变；②的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到轴对称图形的对称轴．
2.【答案】D
【解析】解：点关于x轴的对称点的坐标为：
故选：
利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于x轴的对称点的坐标是，进而求出即可．
此题主要考查了关于x轴对称点的特征，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：当的角是顶角时：底角，
的角也可以是底角．
故选：
根据的角是顶角和底角分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．解题时，注意分类讨论．
4.【答案】A
【解析】解：四边形ABCD是长方形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
故选：
根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，可以得到，从而可以求得的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】D
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
过一个顶点可引2021条对角线，
，
故选：
利用n边形过一个多边形的一个顶点可引条对角线即可求解．
本题主要考查多边形的对角线，解题的关键是掌握n边形从一个顶点出发，可以引条对角线．
6.【答案】B
【解析】解：，，
，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：
根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：≌，
，，，
故错误，符合题意．
故选：
直接利用全等三角形的性质得出对应边以及对应角相等进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出等应边和对应角是解题关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质等，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
根据三角尺的特征，得，，根据可得，根据三角形的外角性质得，进而可得答案．
【解答】
解：，，
，，
，
，
，
故选：
9.【答案】B
【解析】解：垂直平分AB，
，
，
的周长为9，
故选：
由线段垂直平分线的性质可求得，再结合的周长，可求得BC的长．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
根据等腰三角形的性质三线合一得到，，故②③正确；通过≌，得到，，故①④正确．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
【解答】
解：因为，
所以，
因为BC平分，
所以，
所以，
所以，
因为AD是的角平分线，
所以，
故②③正确
在与中，
，
所以≌
所以，
故①正确
因为，
所以，故
④正确．
故选：
11.【答案】1
【解析】解：点与点关于y轴对称，
、，
解得：、，
所以，
故答案为：
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，底角的度数为：，
故答案为：
根据等腰三角形的性质即可得．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等腰三角形的性质．
13.【答案】4
【解析】解：是的中线，的面积为16，
的面积的面积，
是的中线，
的面积的面积
故答案为：
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分直接进行求解即可．
本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：于D，于E，
，，
又，对顶角相等
，
在和中，
，
≌，
，
又，
故答案为：
根据三角形全等的判定方法，先证≌，可得，进而得出
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，寻求所需的条件．
15.【答案】26cm
【解析】解：是AC的垂直平分线，
，
，
，
的周长为16cm，
，
的周长为，
故答案为：
根据线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为16cm得出，求出AC的长，再求出的周长即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：为的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，
，
，，
故答案为：
根据角平分线的性质可得DE、DF的长，然后根据三角形面积公式可得答案．
此题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题关键．
17.【答案】解：；
在中，AD是高，，，
，
是的角平分线，
，
，

【解析】【分析】
根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而可求解；
根据三角形内角和定理求得，，根据AE是的角平分线，得出，根据，即可求解．
本题考查了三角形高线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【解答】
解：解：、BF是、的角平分线，
，
在中，，
，
故答案为：；
见答案.
18.【答案】与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
【解析】证明：连接AP，AQ，BP，
由作法可知，
，
点A在线段PQ的垂直平分线上；
，
点B在线段PQ的垂直平分线上依据：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
直线AB是线段PQ的垂直平分线依据：两点确定一条直线，
故答案为：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
根据作图过程和线段垂直平分线的性质即可完成证明．
本题考查了作图-复杂作图，直线的性质：两点确定一条直线，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
19.【答案】解：如图，即为所求，
，与关于x轴对称，
；
的面积
【解析】分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可，根据图形位置即可写出的坐标；
根据利用面积和差即可得到三角形面积．
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
20.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌
解：由得≌，
，
，
，
，
，
，
的度数是
【解析】由，，，根据“AAS”证明≌；
由全等三角形的性质得，则，求得，而，则
此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键．
21.【答案】解：于E，，AD是的角平分线，
，
在与中，，
，
；
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【解析】根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
根据角平分线的定义可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
本题考查了角平分线上的定义，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并列出求出是解题的关键．
22.【答案】解平分，CD平分，
，，
，
，
，
是AC中点，
证明：延长DE到G使，
，，
≌，
，，
平分，
，
，
，
，
是等腰三角形．
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，

【解析】由条件可证是等腰三角形可求DE长，构造全等三角形可证是等腰三角形，求出是直角三角形可求DF长
此题考查平行线的性质，三角形全等，等腰三角形判定的知识点
23.【答案】解：垂直平分BE，EF垂直平分AC，
，
，
，
，
；
周长13cm，，
，
即，

【解析】根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案；
根据已知能推出，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
24.【答案】解：点，，且a、b满足，由题意得：
，
解得：，
点A的坐标为，点B的坐标为，
，，
的面积；
，证明如下：
如图2，将绕点O逆时针旋转得到，
点C在线段AB上不与A、B重合移动，，
，
，
，即D，B，F共线，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
；
作于F，在FE上截取，如图3：
且，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，即，
，
，
，
线段BQ为定值
【解析】根据非负数的性质得到，，得到，，可得到结果；
将绕点O逆时针旋转得到，根据已知条件得到，由，，可得，求出，推出≌，根据全等三角形的性质得到；
作于F，在FE上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，得到即：，从而由等腰直角三角形的性质得到结论．
本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：，，
，
，
又的面积为9，
，
，
，，；
当秒时，即时，DP与DB垂直且相等；理由如下：
连接OD，作轴于点M，作轴于点N，如图1，
，
，
，
，
，，
，
又，
≌，
，，
，
即；
的度数和不变；理由如下：
在QA上截取，连接PS，如图2，
，
是等边三角形，
，，
是AB的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，

【解析】利用，得出，再利用的面积为9，得出即可得出各点的坐标；
作轴于点M，作轴于点N，利用D点的坐标得出三角形全等，进而得到，即；
在QA上截取，连接PS，利用，得出是等边三角形，进而得出三角形全等，从而得出得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线性质等知识，根据已知作出正确辅助线从而得出三角形全等是解决问题的关键．作法：①在直线l上取点A，B；
②分别以点A、B为圆心，AP、BP为半径作弧，两弧在直线l下方交于点Q；
③作直线
结论：，且PQ经过点