2024-2025学年湖南省长沙市望城区珺琟学校八年级（上）第一次月考数学试卷及参考答案

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A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4+m）与点B（m，n）关于y轴对称，则m+n的值为（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
3．（3分）如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．19cmC．21cmD．25cm
4．（3分）等腰三角形的周长是13cm，其中一边长是3cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3cmB．7cmC．5cmD．3cm或5cm
5．（3分）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO＝B′O
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，则AC的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
7．（3分）下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
8．（3分）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
9．（3分）如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
10．（3分）如图，将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论：
①DE⊥AB；
②BC＝BE；
③BD平分∠ABC；
④△BCE是等边三角形；
⑤BD垂直平分EC；
其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤
二．填空题（共6小题）
11．（3分）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是 度．
12．（3分）直角三角形的两个锐角的度数比为1：4，则较小的锐角是 ．
13．（3分）若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足（b﹣7）2＝0，那么c的取值范围是 ．
14．（3分）如图，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝50°，则∠EFA＝ ．
15．（3分）如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6，依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为 ．
16．（3分）已知：如图所示，M（3，2），N（1，﹣1）．点P在y轴上使PM+PN最短，则P点坐标为 ．
三．解答题（共9小题）
17．计算：（1）；
（2）．
18．解方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
19．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
20．某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（B所对应的是21人）．根据图中提供的信息．解答下列问题：
（1）这次抽样调查的学生人数是 人；并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图m的值为 ，其中“E”组对应的圆心角度数为 ；
（3）已知该校共有学生3000人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于6小时的学生人数．
21．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BE＝CD，BD与CE交于点O．
（1）求证：△COD≌△BOE；
（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的长．
22．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，求证：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE＝AD+BE．
23．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．
24．定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的珺琟点．
（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝50°，P为△ABC的珺琟点，求∠BPC的角度；
（2）如图2，P为△ABC的珺琟点，延长AP交BC于点D，已知AB＝10，AC＝8，求的值；
（3）如图3，P为△ABC的珺琟点，连接PB、PC，M为边AB上一点，连接MP并延长交AC于点N，若∠ANM＝∠ABC，求证：BM+CN＝MN．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（b，0），且a，b满足（a+b）2+|b﹣3|＝0，△ABC是等边三角形，
（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，在△ABC的外角平分线上有一点Q：
①连接CQ，当CQ最小时，求BQ的长度；
②在x轴上有一动点P使得∠CPQ＝60°不变，当PB＝2时，求点Q的横坐标．
2024-2025学年湖南省长沙市望城区珺琟学校八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4+m）与点B（m，n）关于y轴对称，则m+n的值为（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
【答案】A
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2，4+m）与点B（m，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣2，4+m＝n，
解得：n＝2，
则m+n的值为：﹣2+2＝0．
故选：A．
3．（3分）如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．19cmC．21cmD．25cm
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC和AC＝2AE＝8cm，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21cm，
故选：C．
4．（3分）等腰三角形的周长是13cm，其中一边长是3cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3cmB．7cmC．5cmD．3cm或5cm
【答案】C
【分析】依题意分两种情况讨论如下：①当该等腰三角形的腰长为3cm时，②当底边长为3cm时，对于每一种情况分别求出该等腰三角形的三边，再利用三角形三边关系进行判断即可得出答案．
【解答】解：依题意，分两种情况讨论如下：
①当该等腰三角形的腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，
∴底边长为：13﹣2×3＝7cm，
此时该等腰三角形的三边为：3cm，3cm，7cm，
∵3+3＜7，不符合构成三角形的条件，不合题意，舍去；
②当底边长为3cm时，则腰的长为：（13﹣3）÷2＝5cm，
此时该等腰三角形的三边为：3cm，5cm，5cm，
∵3+5＞5，符合构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的腰长是5cm．
故选：C．
5．（3分）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO＝B′O
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、C、D选项正确，
AB∥B′C′不一定成立，故B选项错误，
所以，不一定正确的是B．
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，则AC的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】C
【分析】由题意知，∠B＝30°，根据，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，
∴，
故选：C．
7．（3分）下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
【答案】A
【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意；
所以B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
8．（3分）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
【答案】A
【分析】根据题目中的条件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根据OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并写出依据即可．
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
9．（3分）如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】B
【分析】根据三角形外角性质得出∠CBD，进而利用角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠CBD＝50°+60°＝110°，
∵BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，
∴∠EBD，
故选：B．
10．（3分）如图，将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论：
①DE⊥AB；
②BC＝BE；
③BD平分∠ABC；
④△BCE是等边三角形；
⑤BD垂直平分EC；
其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，可得DE⊥AB，BD平分∠ABC，由线段垂直平分线的判定可得BD垂直平分EC，由∠ABC不一定等于60°，可得△BEC不一定是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，
∴△BCD≌△BED，
∴∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，
∴DE⊥AB，BD平分∠ABC，故①②③正确，
∵DE＝DC，BE＝BC，
∴BD垂直平分EC，故⑤正确，
∵∠ABC不一定等于60°，
∴△BEC不一定是等边三角形，故④错误，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（3分）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是 40 度．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先判断出与80°角相邻的内角是底角还是顶角，然后再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行计算．
【解答】解：与80°角相邻的内角度数为100°；
当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；
当100°角是顶角时，底角的度数＝80°÷2＝40°；
故此等腰三角形的底角为40°．
故答案为：40．
12．（3分）直角三角形的两个锐角的度数比为1：4，则较小的锐角是 18° ．
【答案】18°．
【分析】先根据角度比例设出未知数，再根据直角三角形锐角互余的性质列方程，求解即可．
【解答】解：设两个锐角度数为x°，4x°，
由题意得：x+4x＝90，
解得：x＝18，
∴较小的锐角是18°．
故答案为：18°．
13．（3分）若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足（b﹣7）2＝0，那么c的取值范围是 4＜c＜10 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式以及偶次方的性质得出a，b的值，再利用三角形三边关系得出答案．
【解答】解：∵（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
解得：a＝3，b＝7，
∵a，b，c为三角形的三边，
∴4＜c＜10．
故答案为：4＜c＜10．
14．（3分）如图，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝50°，则∠EFA＝ 65° ．
【答案】65°．
【分析】根据全等三角形的判定和性质到了以及等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠EFA＝∠C，
∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，
∴∠BAE＝∠CAF＝50°，
∴∠EFA＝∠AFC＝∠C（180°﹣50°）＝65°，
故答案为：65°．
15．（3分）如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6，依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为 3 ．
【答案】3．
【分析】先根据等边三角形的判定和性质求出BC＝AB＝6，再根据等腰三角形三线合一的性质解答即可．
【解答】解：由作图可知AB＝AC，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝6，
∵AD平分∠BAC，
∴BD＝CDBC＝3．
故答案为：3．
16．（3分）已知：如图所示，M（3，2），N（1，﹣1）．点P在y轴上使PM+PN最短，则P点坐标为 （0，） ．
【答案】（0，）．
【分析】找出点N关于y轴的对称点，连接M与对称点，与y轴的交点为P点，根据两点之间，线段最短得到此时点P在y轴上，且能使PM+PN最短．根据关于y轴对 称点的特点，找出N对称点的坐标，设出直线MP的方 程，把N的对称点的坐标和M的坐标代入即可确定出直 线MP的方程，然后令x＝0求出直线与y轴的交点，写出交点坐标即为点P的坐标．
【解答】解：找出点N关于y轴的对称点N’，连接MN’，与y轴交点为所求的点P，
设直线MN’的解析式为y＝kx+b，
把M（3，2），N（1，1）代入得：
，解得，
所以，
令x＝0，求得y，
则点P坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
三．解答题（共9小题）
17．计算：（1）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣16×（﹣1）+2﹣5
＝16+2﹣5
＝13；
（2）原式＝2（2）+9﹣3
＝1﹣29﹣3
＝5．
18．解方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）﹣4＜x≤2．
【分析】（1）直接利用加减消元法解方程组即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定不等式的解集的公共部分即可．
【解答】解：（1），
①+②得，
3x＝3
解得：x＝1，
将x＝1代①入得，
y＝﹣2；
则该方程组的解为；
（2），
由①得：x＞﹣4，
由②得：7x+1﹣5≤5x，
∴2x≤4，
解得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣4＜x≤2；
19．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）△A1B1C1即为所求；
（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；
（3）．
【分析】（1）根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；
（3）△ABC的面积为：3×52×51×32×3．
20．某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（B所对应的是21人）．根据图中提供的信息．解答下列问题：
（1）这次抽样调查的学生人数是 100 人；并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图m的值为 40 ，其中“E”组对应的圆心角度数为 14.4° ；
（3）已知该校共有学生3000人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于6小时的学生人数．
【答案】（1）100；
（2）40；14.4°；
（3）870人．
【分析】（1）A组人数÷A组所占百分比＝被调查总人数，将总人数×D组所占百分比求出D组人数，即可补全频数分布直方图；
（2）C组人数÷调查总人数×100即可得m的值；E组对应的圆心角度数＝E组占调查人数比例×360°；
（5）将样本中课外阅读时间不少于6小时的百分比乘以3000可得．
【解答】解：（1）这次被调查的学生共有：10÷10%＝100（人），
D组人数为：100×25%＝25（人），
补全图形如下：
故答案为：100；
（2）m100＝40，E组对应的圆心角为：360°＝14.4°；
故答案为：40；14.4°；
（5）3000×（25+4）%＝870（人）．
答：估计该校每周课外阅读时间不少于6小时的学生人数约为870人．
21．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BE＝CD，BD与CE交于点O．
（1）求证：△COD≌△BOE；
（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）7．
【分析】（1）利用AAS即可证明△COD≌△BOE；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差求出CE＝BD，利用AAS证明△ACE≌△ABD，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：在△COD和△BOE中，
，
∴△COD≌△BOE（AAS）；
（2）解：∵△COD≌△BOE，
∴OC＝OB，OD＝OE，
∴OC+OE＝OB+OD，
即CE＝BD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（AAS），
∴AE＝AD＝5，
∵CD＝2，
∴AC＝AD+CD＝7．
22．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，求证：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE＝AD+BE．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC＝∠CEB＝90°，根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB；
（2）由△ADC≌△CEB得到AD＝CE，DC＝BE，进而完成证明．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠CEB，∠ACD＝∠CBE，AC＝CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）证明：∵△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD．
23．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ＝60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ＝30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ＝BP＝6，则易求BE＝BP+PE＝7．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△AEB与△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS），
∴BE＝AD；
（2）由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABP＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABP＝60°；
（3）如图，由（2）知∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQBP＝3，
∴BP＝6
∴BE＝BP+PE＝7，即AD＝7．
24．定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的珺琟点．
（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝50°，P为△ABC的珺琟点，求∠BPC的角度；
（2）如图2，P为△ABC的珺琟点，延长AP交BC于点D，已知AB＝10，AC＝8，求的值；
（3）如图3，P为△ABC的珺琟点，连接PB、PC，M为边AB上一点，连接MP并延长交AC于点N，若∠ANM＝∠ABC，求证：BM+CN＝MN．
【答案】（1）115°；
（2）；
（3）见解析．
【分析】（1）利用角平分线的定义及三角形内角和即可求解；
（2）过点D分别作AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，利用面积关系即可求解；
（3）过点P作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，连接AP；由平行线的性质及角平分线定义得EF＝BE+CF；证明△APM≌△APF，再证明△MPE≌△FPN，则可得EM＝FN，PM＝PF，EP＝NP；由MN＝MP+PN＝PF+PE＝EF，再进行等量代换、线段和差即可完成．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠BAC＝50°，P为△ABC的珺琟点，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝130°；
∴，
∴，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝115°；
（2）解：过点D分别作AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，如图2；
∵P为△ABC的珺琟点，延长AP交BC于点D，已知AB＝10，AC＝8，
∴DE＝DF；
∵，，
∴；
（3）证明：P为△ABC的珺琟点，连接PB、PC，M为边AB上一点，连接MP并延长交AC于点N，如图3，过点P作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，连接AP，
∴∠3＝∠2；
∵P为△ABC的珺琟点，
∴∠1＝∠2，∠4＝∠5，
∴∠1＝∠3，
∴BE＝PE；
同理：PF＝CF，
∴EF＝PE+PF＝BE+CF；
∵∠ANM＝∠ABC，∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+∠ANM+∠AMN＝180°，
∴∠AMN＝∠ACB；
∵EF∥BC，
∴∠AFP＝∠ACB，
∴∠AFP＝∠AMN；
∵∠4＝∠5，AP＝AP，
∴△APM≌△APF（AAS），
∴PM＝PF；
∵∠AFP＝∠AMN，
∴∠PFN＝∠PME；
∵PM＝PF，∠MPE＝∠FPN，
∴△MPE≌△FPN（ASA），
∴EM＝FN，EP＝NP；
∵MN＝MP+PN＝PF+PE＝EF，
∴EF＝BE+CF＝BM﹣EM+CN+FN＝BM+CN，
∴MN＝BM+CN．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（b，0），且a，b满足（a+b）2+|b﹣3|＝0，△ABC是等边三角形，
（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，在△ABC的外角平分线上有一点Q：
①连接CQ，当CQ最小时，求BQ的长度；
②在x轴上有一动点P使得∠CPQ＝60°不变，当PB＝2时，求点Q的横坐标．
【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，0）
（2）①BQ＝3；②5或7
【分析】（1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标；
（2）①当CQ⊥BQ时，CQ最小，利用含30度直角三角形性质即可求解；
②分两种情况：当点P在点B左侧时，过点P作PH∥BC，证明△PBQ≌△CHP，则得BQ＝PH，过Q作QE⊥x轴于E，利用含30度直角三角形性质即可求解；当点P在点B右侧时，同理可得．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（b，0），且a，b满足（a+b）2+|b﹣3|＝0，
∵（a+b）2≥0，|b﹣3|≥0，
∴（a+b）2＝0，|b﹣3|＝0，
即a+b＝0，b﹣3＝0，
解得：b＝3，a＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（3，0）；
（2）在平面直角坐标系中，△ABC是等边三角形，在△ABC的外角平分线上有一点Q，
∴BP是△ABC的外角平分线，
∴∠ABC＝60°，，BC＝AB，
由题意知AB＝BC＝6；
分两种情况讨论：
①当CQ⊥BQ时，CQ最小，
则∠BCQ＝90°﹣∠CBQ＝30°，
∴；
②当点P在点B左侧时，如图2，过点P作PH∥BC交AC于H；
则∠APH＝∠ABC＝60°，∠AHP＝∠ACB＝60°，
而∠CAB＝60°，
∴△AHP是等边三角形，
∴AH＝PH＝AP＝AB﹣PB＝4；
∴HC＝AC﹣AH＝2＝PB；
∵∠CPQ＝∠CAB＝60°，
∴∠APC+∠QPB＝∠APC+∠PCH＝180°﹣60°＝120°，
∴∠QPB＝∠PCH；
∵∠PHC＝∠PBQ＝120°，
∴△PBQ≌△CHP，
∴BQ＝PH＝4；
过Q作QE⊥x轴于E，
∵BQ平分∠CBE，且∠CBE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴，
∴∠BQE＝30°，
∴，
∴OE＝OB+BE＝3+2＝5，
即点Q的横坐标为5；
当点P在点B右侧时，如图3，过点P作PH∥BC交AC延长线于H；
则△APH是等边三角形，且AH＝AP＝PH＝6+2＝8，
∴CH＝PB＝2；
同理证明△PBQ≌△CHP，
∴BQ＝PH＝8；
过Q作QE⊥x轴于E，则∠BQE＝30°，
∴，
∴OE＝OB+BE＝7，
即点Q的横坐标为7．
综上，点Q的横坐标为5或7．
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