2023-2024学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为( )
A. 8.4×10−5B. 8.4×10−6C. 8.4×10−7D. 8.4×106
3.下列各运算中，正确的运算是( )
A. 2+ 3= 5B. (2a)3=8a3
C. a8÷a4=a2D. (a−b)2=a2−b2
4.下列各式中是分式的是( )
A. x2B. x+yC. 5+yπD. 1m−1
5.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 0.5B. 12C. 13D. 30
6.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是( )
A. 等边对等角B. 等角对等边
C. 垂线段最短D. 等腰三角形“三线合一”
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=54∘，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是( )
A. 54∘
B. 36∘
C. 27∘
D. 18∘
8.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( )
A. BC=1，AC=2，AB= 3B. BC：AC：AB=3：4：5
C. ∠A+∠B=∠CD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
9.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB=6，BC=10，则EF长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)，某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形.已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.比较大小： 7______3.(选填“>”、“<”或“=”)
12.使二次根式 x+3有意义的x的取值范围是______.
13.若5x−3y−2=0，则25x÷23y=______.
14.若ab≠0且a−b−ab=0，则分式1b−1a的值为______.
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，AB+BC=12，则AB的长为______.
16.已知直角三角形面积为24，斜边长为10，则其周长为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：| 3−1|+(12)−1−(π−3.14)0+ 9.
18.(本小题8分)
先化简，再求值(1−1m−2)÷m2−6m+9m−2，其中m=1.
19.(本小题8分)
如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB=AC.
(1)若△ABC的面积是20，且BC=4，求AD的长．
(2)若∠CAD=20∘，求∠ACE的度数．
20.(本小题8分)
设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x<85为B级，60≤x<75为C级，x<60为D级.现随机抽取华益中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，a=______%；
(2)补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为______度；
(3)若该校共有4000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE=BD；分别以点D和点E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.
(1)连接EF、DF，通过证明△BEF≌△DEF，得到∠ABG=∠CBG，从而得到BG是∠ABC的平分线，其中证明△BEF≌△BDF的依据是______(填序号).
①SAS
②ASA
③AAS
④SSS
(2)当∠A=56∘，∠BGC=______；
(3)若AC=3，BC=4，P为AB上一动点，求GP的最小值.
22.(本小题8分)
在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
(1)求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
(2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
23.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD=DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1)求证：∠AFD=∠ECD；
(2)求证：△AFD≌△DCE；
(3)若∠B=60∘，CD=DF，BE=2，求AE.
24.(本小题8分)
若任意三个正数满足：1a+1b=1c的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”.
(1)下列三组数是“快乐三数组”有______(填序号)；
①3，4，5
②12，13，15
③ 3−1，1， 3+1
(2)若关于x的分式方程2xx−1+3m1−x=−1的解与关于y的方程(m−3)y−1=3(m−y)的解与1构成“快乐三数组”，求m的值；
(3)如图，在四边形ADBC中，∠C=∠D=90∘，BD=AD，连接对角线AB，若AB的长为c，∠C的两条邻边长分别为a，b，若c−a，b，c+a构成“快乐三数组”，且S四边形ADBC=27，求AB的长.
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(m,0)，OA=OB，将线段OB绕点B顺时针旋转60∘至BE，连接OE、AE.
(1)若m=4，求E点坐标及∠OAE；
(2)若点D，F为分别是AB、OE中点，连接BF、OD，连接DF与AE交于点G，若FD为n，求S四边形ODBF(用含n的式子表示)；
(3)在(2)的条件下，求线段CD与EG的数量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000084=8.4×10−6.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵ 2与 3不是同类二次根式，
∴ 2与 3不能合并，故A错误；
B、按照积的乘方的运算法则可知，(2a)3=8a3，故B正确；
C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，a8÷a4=a4，故C错误；
D、根据完全平方公式可知，(a−b)2=a2−2ab+b2，故D错误．
综上，只有B正确．
故选：B.
分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂顶点除法的法则及完全平方公式分析即可．
本题考查了二次根式的加法运算及整式乘除法的相关运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、x2是整式，不是分式，故A不符合题意；
B、x+y是整式，不是分式，故B不符合题意；
C、5+yπ是整式，不是分式，故B不符合题意；
D、1m−1是分式，故D符合题意；
故选：D.
根据分式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A. 0.5= 12= 22，故A不符合题意；
B. 12=2 3，故B不符合题意；
C. 13= 33，故C不符合题意；
D. 30是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D.
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D.
根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由尺规作图可知，CF⊥AB，
∴∠CFA=90∘，
∵AB=AC，∠B=54∘，
∴∠ACB=∠B=54∘，
∴∠CAB=72∘，
∴∠ACF=180∘−∠CFA−∠CAB=18∘.
故选：D.
由尺规作图可知，CF⊥AB，则∠CFA=90∘，由AB=AC，可得∠ACB=∠B=54∘，即可得∠CAB=72∘，在△ACF中，结合三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握垂线的基本作图方法是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有①勾股定理的逆定理，②有一个角为直角的三角形．
根据勾股定理的逆定理可判定A、B，由三角形内角和可判定C、D，可得出答案．
【解答】
解：A、当BC=1，AC=2，AB= 3时，
满足BC2+AB2=1+3=4=AC2，
所以△ABC为直角三角形；
B、当BC：AC：AB=3：4：5时，
设BC=3x，AC=4x，AB=5x，
满足BC2+AC2=AB2，
所以△ABC为直角三角形；
C、当∠A+∠B=∠C时，且∠A+∠B+∠C=180∘，
所以∠C=90∘，所以△ABC为直角三角形；
D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5时，可设∠A=3x∘，∠B=4x∘，∠C=5x∘，
由三角形内角和定理可得3x+4x+5x=180，解得x=15，
所以∠A=45∘，∠B=60∘，∠C=75∘，
所以△ABC为锐角三角形，
故选D.
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线+平行线=等腰三角形”转化线段．
根据平行四边形的性质可得∠AFB=∠FBC，由角平分线可得∠ABF=∠FBC，所以∠AFB=∠ABF，所以AF=AB=6，同理可得DE=CD=6，则根据EF=AF+DE−AD即可求解．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=10，DC=AB=6.
∴∠AFB=∠FBC.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC.
∴∠AFB=∠ABF.
∴AF=AB=6.
同理可得DE=DC=6.
∴EF=AF+DE−AD=6+6−10=2.
故选：B.
10.【答案】B
【解析】解：如图，连接BF，
∵点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，
∴S△BDF=S△DEF，S△BDF=S△ABF，
由题意可知，S△ABD=S△AFC=S△BEC，
∴S△ABD=S△AFC=S△BEC=2S△DEF，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCE+S△AFC+S△EDF=7S△DEF，
∵S△ABC=14，
∴S△DEF=2，
故选：B.
连接BF，由题意知S△ABD=S△AFC=S△BEC，再由点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，可得S△BDF=S△DEF，S△BDF=S△ABF，即可得出S△ABC=7S△DEF即可求解．
本题考查了勾股定理的证明，等边三角形的性质，正确作出辅助线，得出S△ABC=7S△DEF是解题的关键．
11.【答案】<
【解析】解：∵ 72=7，32=9，
且7<9，
∴ 7<3.
故答案为：<.
首先求出两个数的平方，然后通过比较两个数平方的大小，即可比较出两数的大小．
本题考查了实数的大小比较，利用平方法比较实数的大小是解题的关键．
12.【答案】x≥−3
【解析】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，
解得x≥−3.
故答案为：x≥−3.
二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13.【答案】4
【解析】解：∵5x−3y=2，
∴原式=25x−3y
=22
=4，
故答案为：4.
根据同底数幂的运算法则即可求出答案．
本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则，本题属于基础题型．
14.【答案】1
【解析】解：∵ab≠0且a−b−ab=0，
∴a−b=ab≠0，
∴1b−1a=a−bab=1，
故答案为：1.
利用分式的减法运算将原式写成a−bab，即可得到结果．
本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．
15.【答案】8
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，
∴BC=12AB，
设BC=x，
∵AB+BC=12，
∴AB=12−x，
∵BC=12AB，即x=12(12−x)，
解得：x=4.
则AB=2BC=2x=8.
故答案为：8.
由在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，利用30∘所对的直角边等于斜边的一半得到BC为AB的一半，列出方程，求出方程的解即可求出AB的长．
此题考查了含30∘直角三角形的性质，利用了方程的思想，熟练掌握含30∘直角三角形的性质是解本题的关键．
16.【答案】24
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用．关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方(如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2).
设直角三角形的两直角边分别是a、b(a、b均为正数)，利用勾股定理和三角形的面积公式求得两直角边之和是14，然后由三角形的周长公式求得该直角三角形的周长．
【解答】
解：设直角三角形的两直角边分别是a、b(a、b均为正数)，
则a2+b2=10212ab=24，
于是(a+b)2=a2+b2+2ab=196，
∴a+b=14(−14舍去)
所以该直角三角形的周长是：14+10=24.
故答案为：24.
17.【答案】解：| 3−1|+(12)−1−(π−3.14)0+ 9
= 3−1+2−1+3
= 3+3.
【解析】根据绝对值的性质，负整数指数幂和零指数幂的运算法则，算术平方根的定义先化简，然后计算加减即可．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟记运算法则并灵活运用．
18.【答案】解：(1−1m−2)÷m2−6m+9m−2
=m−2−1m−2⋅m−2(m−3)2
=m−3(m−3)2
=1m−3，
当m=1时，原式=11−3=−12.
【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将m的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)AD是△ABC的中线，AB=AC.
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面积是20，且BC=4，
∴12BC⋅AD=20，
∴12×4×AD=20，
∴AD=10；
(2)∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20∘，
∴∠CAB=2∠CAD=40∘，∠B=∠ACB=12(180∘−∠CAB)=70∘.
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=12∠ACB=35∘.
【解析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，三角形的面积公式即可求解；
(2)先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40∘，∠B=∠ACB=12(180∘−∠CAB)=70∘.再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB=35∘.
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70∘是解题的关键．
20.【答案】50 24 72
【解析】解：(1)在这次调查中，一共抽取了24÷48%=50(人)，
α=1250×100%=24%，
故答案为：50，24；
(2)C级学生人数为：50−12−24−4=10(人)，
补全条形统计图，如图所示：
扇形统计图中C级对应的圆心角为：
360∘×1050=72∘，
故答案为：72.
(3)4000×450=320(名)，
答：估计该校D级学生有320名．
(1)根据B级学生人数为24人，所占百分比为48%求出这次调查中的总人数即可；用A级学生人数除以总人数乘以100%，即可得出其所占的百分比；
(2)先算出C级学生人数，然后补全条形统计图即可，用360∘乘以C级的百分比即可求出C级对应的圆心角度数；
(4)用2000乘以D级所占的百分比即可估算出结果．
本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的综合应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点．
21.【答案】④ 73∘
【解析】解：(1)由作图可知，EF=DE，BE=BD，
在△BEF和△BDF中，
EF=DEBE=BDBF=BF，
∴△BEF≌△BDF(SSS)，
故答案为：④；
(2)∵∠A=56∘，∠C=90∘，
∴∠ABC=90∘−∠A=34∘，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG=12∠ABC=17∘，
∴∠BGC=90∘−∠CBG=73∘，
故答案为：73∘；
(3)如图，过点G作GH⊥AB于点H.
∵∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2=5，
由作图过程可知：BG平分∠ABC，GC⊥BC，GH⊥AB，
∴GH=GC，
设GH=GC=x，则有12×5⋅x+12×4⋅x=12×4×3=S△ABC，
∴x=43，
∴GH=43，
∵P为AB上一动点，
则GP的最小值为43.
(1)根据SSS可证明△BEF≌△BDF；
(2)由直角三角形的性质可得出答案；
(3)过点G作GH⊥AB于点H.证明GH=GC，利用面积法求出GH即可．
本题考查了作图-基本作图，勾股定理，全等三角形的判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为(x+5)元，
由题意得：200x=300x+5，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
则x+5=15，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；
(2)设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，
由题意得：15m+10×2m≤600，
解得：m≤1207，
∵m为正整数，
∴m的最大值为17，
答：购买吊兰的数量最多是17盆．
【解析】(1)设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为(x+5)元，由题意：用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，由题意：资金不超过600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠ECD=180∘，
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE+∠ECD=180∘，
又∵∠AFE+∠AFD=180∘，
∴∠AFD=∠ECD；
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADF=∠DEC，
在△AFD和△DCE中，
∠AFD=∠ECD∠ADF=∠DECAD=DE，
∴△AFD≌△DCE(AAS)，
(3)解：过点E作EH⊥AB于H，如下图所示：

由(2)可知：△AFD≌△DCE，
∴DF=CE，AF=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，AB=CD，
∵AD=DE，
∴BC=DE，
∵DE=DF+EF=CE+EF，BC=CE+BE，
∴BE=EF，
∵AB=CD，CD=DF，AF=CD，DF=CE，
∴AB=AF=CD=CE，
在△ABE和△AFE中，
AB=AFBE=EFAE=AE，
∴△ABE≌△AFE(SSS)，
∴∠AEB=∠AEF，
∴∠B=60∘，
∴∠C=180∘−∠B=120∘，
∵CD=CE，
∴∠CED=∠CDE=12(180∘−∠C)=30∘，
∴∠BEF=180∘−∠CED=150∘，
∴∠AEB=∠AEF=12∠BEF=75∘，
∵EH⊥AB，∠B=60∘，
∴∠BEH=30∘，
∴∠AEH=∠AEB−∠BEH=45∘，
∴△AHE为等腰直角三角形，即HE=HA，
在Rt△BEH中，∠∠BEH=30∘，BE=2，
∴BH=12BE=1，
由勾股定理得：HE= BE2−HE2= 3，
∴HE=HA= 3，
∴AE= HE2+HA2= 6.
【解析】(1)根据平行四边形的性质得AB//CD，则∠B+∠ECD=180∘，再根据∠AFE=∠B得∠AFE+∠ECD=180∘，然后根据邻补角的定义得∠AFE+∠AFD=180∘，由此可得出结论；
(2)由AD//BC得∠ADF=∠DEC，结合(1)的结论可依据“AAS”判定△AFD和△DCE全等；
(3)过点E作EH⊥AB于H，由(2)的结论得DF=CE，AF=CD，根据平行四边形的性质得BC=AD，AB=CD，再根据AD=DE得BC=DE，由此得BE=EF，据此即可判定△ABE和△AFE全等，则∠AEB=∠AEF，再由∠B=60∘得∠C=120∘，根据CD=CE得∠CED=∠CDE=30∘，则∠AEB=∠AEF=75∘，在Rt△BEH中先求出HE= 3，进而可得AE的长．
此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，理解平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活利用直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．
24.【答案】②③
【解析】解：(1)①∵14+15≠13，
∴3，4，5不是“快乐三数组”；
②∵2+3=5，
∴12，13，15是“快乐三数组”；
③∵1+1 3+1=1+ 3−12= 3+12，
又∵1 3−1= 3+12，
∴1+1 3+1=1 3−1，
∴ 3−1，1， 3+1是“快乐三数组”，
故答案为：②③．
(2)对于方程2xx−1+3m1−x=−1，
去分母，将方程两边同时乘以(1−x)得：2x−3m=1−x，
∴x=1+3m3，
解方程(m−3)y−1=3(m−y)，得：y=1+3mm，
依题意得：x，y，1是“快乐三数组”；
∴有以下三种情况：
①当1x+1y=1时，则31+3m+m1+3m=1，
解得：m=1，
经检验m=1是该方程的根，
②当1x+1=1y时，则31+3m+1=m1+3m，
解得：m=−2，
经检验m=−2是该方程的根，
当m=−2时，x=1+3m3=1+3×(−2)3=−53，不符合“快乐三数组”的定义，舍去；
③当1y+1=1x时，则m1+3m+1=31+3m，
解得：m=0.5，
经检验m=0.5是该方程的根，
综上所述：m的值为1或0.5.
(3)∵∠C=∠D=90∘，AB的长为c，∠C的两条邻边长分别为a，b，
∴a2+b2=c2，且c−a∴1c−a>1b>1c+a，c2−a2=b2，
∵c−a，b，c+a构成“快乐三数组”，
∴1c−a=1b+1c+a，
∴1c−a−1c+a=1b1，
整理得：2ac2−a2=1b，
将c2−a2=b2代入上式，得：2ab2=1b，
∴b=2a，
∴c= a2+b2= 5a，
在Rt△ABD中，BD=AD，AB=c，
由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，
∴AD=BD=12 2c=12 10a，
∵S△ABC=12ab=12a⋅2a=a2，S△ABD=12×12 10a×12 10a=54a2，
∵S四边形ADBC=27，
∴S△ABC+S△ABD=27，
即a2+54a2=27，
解得：a=2 3或a=−2 3(不合题意，舍去)，
∴AB=c= 5a= 5×2 3=2 15.
(1)根据“快乐三数组”的定义进行验证即可得出结论；
(2)解分式方程2xx−1+3m1−x=−1，得x=1+3m3，解方程(m−3)y−1=3(m−y)，得y=1+3mm，然后根据“快乐三数组”的定义分三种情况进行讨论：①1x+1y=1，，②1x+1=1y，③1y+1=1x，根据每一种情况列出关于m的方程，解方程求出m即可；
(2)依题意得1c−a=1b+1c+a，c2−a2=b2，进而得b=2a，c= 5a，AD=BD=12 2c=12 10a，再根据S四边形ADBC=S△ABC+S△ABD=27求出a=2 3，由此可得AB的值．
此题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，二次根式的运算，勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握解分式方程，解一元一次方程，二次根式的运算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
25.【答案】(1)解：过点E作EH⊥x轴，垂足为点H，
∵m=4，
∴点A的坐标为(4,0)，
∴OA=OB=4，
由旋转可得BE=OB=4，∠OBE=60∘，
∴△BOE是等边三角形，
∴OE=4，∠BOE=60∘，
∵∠BOH=90∘，
∴∠EOH=30∘，
∴EH=12OE=2，
∴OH= OE2−EH2=2 3，
∴点E的坐标为(−2 3,2)，
∵∠BOE=60∘，∠BOA=90∘，
∴∠AOE=150∘，
∵OA=OE=4，
∴∠OAE=12(180∘−∠AOE)=15∘；
(2)解：过点E作EF⊥x轴，垂足为点H，

由旋转可知，OA=OM=BE=m，∠OE=60∘，
∴△BOE是等边三角形，
∴OE=m，∠BOE=60∘，
∴∠EOH=30∘，
∴EH=12m，OH= 32m，
∴点E的坐标为(− 32m,12m)，
∵点A的坐标为(m,0)，点B的坐标为(0,m)，且D、F分别为AB、OE的中点，
∴点D的坐标为(12m,12m)，点F的坐标为(− 34m,14m)，
∵FD=n，
∴n2=(12m− 34m)2+(12m−14m)2=2− 34m2，
∵S四边形ODBF=S△BOF+S△BOD=12OB⋅(xD−xF)=12m⋅(12m− 34m)，
∴S四边形ODBF=2− 38m2，
∴S四边形ODBF=12n2；
(3)证明：EG= 3CD，理由如下：
设直线AE的解析式为y=kx+b，
代入A(m,0)，E(− 32m,12m)，
得mk+b=0− 32mk+b=12m，
解得k= 3−2b=( 3−2)m，
∴直线AE的解析式为y=( 3−2)x−( 3−2)m，
同理可得直线DF的解析式为y=−( 3−2)x+12( 3−1)m，
联立y=( 3−2)x−( 3−2)my=−( 3−2)x+12( 3−1)m，
解得x=1− 34my=3− 34m，
∴点G是坐标是(1− 34m,3− 34m)，
∴EG= (1− 34m+ 32m)2+(12m−3− 34m)2= 22m，
∵OA=OB=m，
∴∠OAB=45∘，AB= 2m，
∵点D为AB的中点，
∴OD⊥AB，AD=12AB= 22m，
∵∠BAE=∠BAO−∠EAO=30∘，
∴CD= 33AD= 33× 22m= 66m，
∴EG= 3CD.
【解析】(1)过点E作EH⊥x轴，垂足为点H，利用直角三角形的性质以及勾股定理求得EH和OH的长度，即可求出结果；
(2)过点E作EF⊥x轴，垂足为点H，同(1)的证明过程得到点E的坐标为(− 32m,12m)，进而得到点D的坐标为(12m,12m)，点F的坐标为(− 34m,14m)，根据两点间的距离公式可得n2=(12m− 34m)2+(12m−14m)2=2− 34m2，结合S四边形ODBF=S△BOF+S△BOD，得到S四边形ODBF=2− 38m2，即可求出结果；
(3)根据题意求出直线AE的解析式和直线DF的解析式，联立得到点G是坐标是(1− 34m,3− 34m)，有两点间的距离公式得到EG的长度，由∠BAE=30∘，得CD= 33AD，即可证明结论．
本题考查了待定系数法求函数解析式，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，本题的关键是熟练运用求函数的交点，通过点的坐标求出线段的长度从而解题．