河南省洛阳市龙城双语初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份河南省洛阳市龙城双语初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．B．C．D．
5．已知二次函数y=ax2+bx+c的与的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是轴
C．当x<1时，随的增大而减小D．抛物线与轴交于正半轴
6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
7．骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2018年到2020年我国头盔销售额从18亿元增长到30.42亿元，设我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率为x，可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知在二次函数的图象上有三点，其坐标分别为，，，则，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）．
A．B．
C．D．关于的方程无实数根
二、填空题
11．关于的函数是二次函数，则的值是 ．
12．若是关x的方程的解，则的值为 ．
13．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝ ．
14．已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是 ．
15．如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，若拋物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．已知关于的一元二次方程
求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
18．如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与轴相交于点．
(1)求点的值和二次函数的解析式；
(2)求二次函数的顶点坐标和对称轴；
(3)请直接写出当时，自变量的取值范围．
19．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
(1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
(2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．
20．如图①，已知抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线沿y轴如何平移可使得图象与坐标轴有且只有两个交点，并写出平移后的表达式；
(3)把抛物线沿轴向上平移，使得顶点落在轴上，直接写出两条拋物线、对称轴和轴围成的图形的面积（图②中阴影部分）为_____．
21．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数关系式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点的水平距离为．

(1)求y与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
22．大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元．
(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
23．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，m =___________．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质：

（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根；
②方程有___________个实数根；
③关于的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________．
…
-2
…
…
-2
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
3
m
-1
0
-1
0
3
…
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．根据抛物线的顶点解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：顶点式顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
3．A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
4．C
【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，即可得出结论．
【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线：，即，
故选C．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数的相关知识对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】由题意得，①抛物线开口向上，故A错误；
②抛物线的对称轴是x=1，故B错误；
③当x<2时，y随x的增大而减小，故C正确；
④抛物线与y轴交于负半轴，故D错误.
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
6．C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
7．A
【分析】根据题意，即可列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，18(1+x)2=30.42，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，比较函数值的大小；由抛物线的对称性知，，两点关于对称轴对称，则，再利用增减性质可得，从而确定，的大小关系．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且，
∴，两点关于对称轴对称，
∴；
∵，二次项系数，
∴，
∴；
故选：C．
9．A
【分析】由一次函数的图象经过的象限可确定k的正负，进而验证二次函数图象与y轴交点的位置，结合二次函数图象的开口方向进行判断，即可求解．
【详解】解：A、由图象得：，，由得：，抛物线的开口向上，交于轴负半轴，符合题意，故此项正确；
B、由得：，抛物线的开口向上，故此项错误；
C、由图象得：，，的图象应交于轴正半轴，故此项错误；
D、由得：图象交于轴的，故此项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
10．B
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；x=1时，y＜0，可对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．
【详解】解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故A正确；
B．∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
∵b=2a，
∴3a+c＜0，故B错误；
C．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，故C正确；
D．∵抛物线开口向下，顶点为（-1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
11．
【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为，a、b、c是常数；根据概念得，，求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：；
故答案为：．
12．2019
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
13．
【分析】根据题意可知一元二次方程只有一个解．再利用根的判别式即可得出b的值．
【详解】根据二次函数的顶点在x轴上，说明该二次函数与x轴只有一个交点，
即一元二次方程只有一个解．
即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．
14．2022
【分析】本题考查了二次函数的对称性，求函数值等知识，掌握二次函数图象的对称性是关键；由A、B两点坐标知，这两点关于抛物线的对称轴对称，而抛物线的对称轴为y轴，即，得x的值，即可求得此时函数值．
【详解】解：∵点和，
∴A、B关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴，
即；
当时，；
故答案为：2022．
15．
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式；主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．
根据求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值；再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴直线的解析式为；
联立二次函数解析式得：，消去y并整理得：，
，得；
此时抛物线与扇形的边界只有一个公共点；
把点B坐标代入中，得，
解得：，
此时抛物线与扇形的边界也只有一个公共点；
综上，当时，此时抛物线与扇形的边界总有两个公共点；
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择适当方法是解题的关键；
（1）方程左边利用完全平方公式分解因式得，则可求解；
（2）先移项，再把左边因式分解得，即可求解；
【详解】（1）解：方程化为：，
∴；
（2）解：方程化为，
即，
∴或，
解得：．
17．（1）证明见解析；（1）；方程的另一个根为；
【分析】（1）先把方程（x-3）（x-2）=m2，变形为x2-5x+6-m2=0，得出△=25-4（6-m2）=1+4m2>0，即可得出答案；
（2）把1代入原方程，得出m，再把原方程变形为x2-6x+4=0，设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出方程的另一个根即可．
【详解】∵关于的一元二次方程，
∴，
∴，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的一个根是，
则，
，
，
原方程变形为，
设方程的另一个根为，
则，
，
则方程的另一个根为．
【点睛】考查一元二次方程根的判别式以及方程解的概念，掌握根的判别式是解题的关键.
18．(1)；二次函数解析式为
(2)顶点坐标为，对称轴为直线
(3)或时，
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，求自变量的取值范围，注意数形结合．
（1）把点A坐标代入一次函数式中，即可求得m的值；利用待定系数法即可求得二次函数解析式；
（2）把所求二次函数解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标和对称轴；
（3）结合函数图象即可写出自变量的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数过点A，
∴，
∴；
∵二次函数的图象过点、，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：，体现在形上，一次函数的图象位于二次函数图象的下方，
观察图象知，当或时，一次函数的图象位于二次函数图象的下方，
故当或时，．
19．(1)15米
(2)不能，理由见详解
【分析】（1）设边的长为米，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案；
（2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
【详解】（1）解：设边的长为米，则米，
根据题意可得，
解得，，
∵墙的最大可用长度为30米，且当时，（米），不合题意，
∴米．
答：边的长为15米；
（2）若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得 ，
整理，得 ，
∵，
∴羊圈的总面积不能为440平方米．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键．
20．(1)
(2)抛物线沿y轴向上平移1个单位，平移后的表达式为
(3)2
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，图形的平移，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
（1）把点、、代入抛物线解析式利用待定系数法求解即可．
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，写出顶点坐标，然后根据平移后图象与坐标轴有且只有一个交点得出平移后顶点坐标即可求解．
（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
∵抛物线与y轴总有一个交点，
∴要使平移后图象与坐标轴有且只有一个交点，则顶点平移到x轴上，
∴抛物线沿y轴向上平移1个单位，
∴平移后的表达式为；
（3）解：如图，
∵抛物线的顶点坐标为，则平移后的顶点
∴．
又由平移的性质知，四边形是平行四边形，阴影部分的面积等于的面积，
∵平行四边形的面积．
∴阴影部分的面积．
故答案为：2．
21．(1)
(2)球能越过球网；球会出界；理由见解析
【分析】本题是二次函数的应用，考查了求函数解析式，图象与x轴的交点坐标，求函数值等知识；把实际问题抽象为数学模型、求出函数解析式是解题的关键．
（1）由题意知，函数图象经过点及点，利用待定系数法即可求解；
（2）求出当时的函数值，与球网高度比较即可判断球能否越过球网；求出时的自变量值，根据正自变量的值即可判断球是否出界．
【详解】（1）解：由题意知，，抛物线最高点坐标为，
由抛物线知，；
把A点坐标代入中，得，
解得：，
∴；
（2）解：球能越过球网；球会出界；
理由如下：
当时，，
而，
∴球能越过球网；
令，
解得：（舍去）；
∵，
∴，
∴球会出界．
22．(1)；自变量的取值范围为，且x为整数
(2)每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元
(3)每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元
【分析】本题是函数应用问题，考查了求函数关系式，二次函数的最值，解一元二次方程等知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据：每件商品的利润销售量销售利润，列出函数关系式即可；
（2）根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据利润为1920元及所列的函数式，得到关于x的一元二次方程，解此方程即可．注意根据自变量的取值范围舍去不合题意的解．
【详解】（1）解：由题意得：，
整理得：，
其中自变量取值范围为，且x为整数；
答：与的函数关系式为，自变量的取值范围为，且x为整数；
（2）解：，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵当，且x为整数时，
∴当时，最大值（元），
此时售价为（元）；
答：每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元；
（3）解：由题意得：，
整理得：，
解得：；
∵，且x为整数，
∴，
此时售价为（元）；
答：每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元．
23．（1）0；（2）图见解析；（3）答案不唯一，合理即可；（4）①3,3；②2；③-1＜a＜0．
【分析】（1）观察表格，根据对称性即可得m=0；
（2）根据表格描点，画出图象即可；
（3）观察图象，写出函数的两条性质即可，可从函数的最值，增减性，图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可；
（4）①观察函数图像可得函数图像与x轴的交点数，即可判断根的个数；②观察函数图像可得函数图像与y=2的交点数，即可判断根的个数；③方程有4个实数根，说明函数图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围．
【详解】解：（1）观察表格，可知根据对称性可知：（-2,m）与（2,0）是关于对称轴的对称点．
∴m=0；
（2）根据表格描点，画出图象即可：

（3）①含有有最低点；②图像关于y轴，成轴对称；
（4）①观察函数图像可得函数图像与x轴有3个交点，所以对应方程有3个实数根；
②由图象可知，函数图像与直线y=2有两个交点，所以方程有2个实数根；
③方程有4个实数根，说明函数的图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围是-1＜a＜0．
故答案是：①3，3；②2；③-1＜a＜0．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解答此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
C
C
A
C
A
B