河南省第二实验中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试题

这是一份河南省第二实验中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．2x2﹣x＝1C．3x3＝1D．xy＝4
2．2016年某市仅教育费附加就投入7200万元，用于发展本市的教育，预计到2018年投入将达9800万元，若每年增长率都为x，根据题意列方程（ ）
A．7200（1+x）=9800B．
C．D．
3．某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛.
A．5B．6C．7D．8
4．设a，b是方程 x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则 a2+b2+a+b的值是（ ）
A．0B．2020C．4040D．4042
5．函数是关于的二次函数，则的值为( )
A．B．C．D．
6．若方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
7．把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝﹣a的图象有可能是（ ）
A．B．
C．D．
9． 二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为直线x=2；②当y≥0时，x＜0或x＞4：③函数表达式为y=-x2+4x；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④
10．某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（ ）

A．2.25sB．1.25sC．0.75sD．0.25s
二、填空题
11．请写出一个图象经过原点的二次函数的解析式 ．
12．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是 ．
13．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c= ．
14．若，则 ．
15．已知抛物线的顶点为点A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M为坐标轴上一点，且，则点M的坐标是 ．
三、解答题
16．按要求解下列方程
(1)用配方法解方程：；
(2)用公式法解方程：．
17．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的两实数根，满足，求实数的值．
19．已知二次函数（k为常数）．
（1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当k取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴上方．
20．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
(1)若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
21．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是_______．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；

（3）对于上面的函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是_____．
（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是____．
22．如图，矩形中，厘米，厘米，点P从A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，设时间为x秒．
（1）经过几秒时，的面积等于8平方厘米？
（2）经过几秒时，的面积等于矩形面积的？
23．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B，C三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式．
(3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义要求，含有一个未知数，未知数的最高指数是2，并且是整式方程，逐一判断即可．
【详解】解：A、是分式方程，不是整式方程，选项错误；
B、是一元二次方程，选项正确；
C、未知数的指数是3，不是一元二次方程；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程
故选：B
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，牢记定义是解题关键．
2．B
【分析】根据该市2016年及2018年投入教育专项经费的金额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每年增长率都为x，根据题意得，，
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．C
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=，即可列方程求解．
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，
，
解得x=7或6（舍去）．
故应邀请7支队伍参加比赛．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数1）÷2，进而得出方程是解题关键．
4．D
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入 a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab中即可求出结论．
【详解】解：∵a，b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，
∴a+b=-1，ab=-2021
∴a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab=1-1+4042=4042．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系找出a+b=-1，ab=-2021是解题的关键．
5．C
【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值．
【详解】函数是关于的二次函数，
且，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．
6．D
【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可．
【详解】解：由题可知：“△＜0”，
∴,
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．
7．A
【分析】根据函数图像的平移规则“上加下减，左加右减”求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，得到，
再向上平移2个单位得到的抛物线解析式为．
故选：A
【点睛】此题考查了函数图像的平移规则，解题的关键是掌握函数图像的平移规律．
8．D
【分析】根据二次函数的性质、正比例函数的性质对各个选项中的图象进行判断即可．
【详解】解：A、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向上，则﹣a＞0，则a＜0，故选项错误；
B、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a＜0，与已知矛盾，故选项错误；
C、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a＜0，与已知矛盾，故选项错误；
D、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向下，则﹣a＜0，则a＞0，故选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数和正比例函数的图象，掌握二次函数的性质、正比例函数的性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据函数图象可对①②④的结论进行判断，求得函数解析式，对③进行判断．
【详解】解：①观察函数图象，可知：抛物线的对称轴为直线x=2，结论①正确；
②∵抛物线开口向下，与x轴交于点（0，0）、（4，0），
∴当y≥0时，0≤x≤4，结论②错误；
③∵抛物线与x轴交于点（0，0）、（4，0），
∴二次函数解析式为y=-x（x-4）=-x2+4x，结论③正确；
④观察函数图象，可知：当x≤0时，y随x的增大而增大，结论④正确．
故选：C．
【点睛】此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的图象，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
10．B
【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．
【详解】解：将（0.5，6），（1，9）代入y=at2+bt（a＜0）得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：y=-6t2+15t，
当（秒），此时y取到最大值，故此时汽车停下，
则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了学生对二次函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图象的关系等．
图象经过原点，要求解析式，则当时，，只要二次函数解析式常数项为0即可．
【详解】解：依题意，二次函数的图象经过原点，函数解析式的常数项为0，如（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．14
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
【详解】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14，
故答案为14．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
13．0
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，
∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），
∴a+b+c=0．
故答案为：0
【点睛】考点：二次函数的性质
14．
【分析】将原式去括号，再进行因式分解得到，由于，可得，从而得到结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程；将原式正确因式分解，得到是解题的关键．
15．或
【分析】本题考查二次函数的图象上点的特征，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质，通过添加辅助线求解．先将抛物线顶点的坐标求出来，作轴于点，取中点，作直线交轴于点，直线与与坐标轴交点坐标即为所求．
【详解】解：把代入得，
解得或，
点坐标为，
，
点坐标为，
连接，作轴于点，取中点，作直线交轴于点，
则点坐标为，点坐标为即，，
，点满足题意，
直线为线段的垂直平分线，
设直线解析式为，把，，代入解析式得：
，
解得，
，
点坐标为，
点的坐标为或，
故答案为：或．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
开方，得，
解得：，；
（2）解：
化成一般式，得，
∵，，，
∴，
解得：，．
17．81
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”． 设个位上的数为，则十位上的数为，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为，
依题意，得
整理得：
解得：，（舍去）
所以，，．
答：这个两位数是81．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先将方程化简，再根据一元二次方程根的判别式即可证明；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系和完全平方公式的变形即可求解．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程
整理，得
△
，
，
对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2），，，
解得，
实数的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是完全平方公式的变形．
19．（1）见解析；（2）k＞0
【分析】（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出≥0，根据判别式的意义即可证明；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．
【详解】（1）证明：∵y＝x2﹣（k+3）x+3k，
∴，
∴＝[﹣（k+3）]2﹣4×3k
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：∵当x＝0时，y＝x2﹣（k+3）x+3k＝3k，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为3k，
∴当3k＞0，即k＞0时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由可得该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．
20．(1)
(2)75元
【分析】（1）设丝绸条带的宽度为，根据题意得：，然后求解即可；
（2）设每件工艺品降价y元出售，根据题意可列方程，求解得到降价多少元，再用定价减去降价的钱即可．
【详解】（1）解：设丝绸条带的宽度为，
根据题意，得．
整理，得，
解得，（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为．
（2）解：设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：，
整理可得：
解得：．
所以售价为（元）．
答：该公司每天把销售单价定为75元时，当日所获利润为22500元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后进行求解即可．
21．（1）x为任意实数；（2）见解析；（3）①③；（4）
【分析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围；
（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；
（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；
（4）根据函数图象，可以写出关于x的方程x2-4|x|+3=k有4个不相等的实数根时，k的取值范围．
【详解】解：（1）∵函数y=x2-4|x|+3，
∴x的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）由函数y=x2-4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；

（3）由图象可得，
函数图象关于y轴对称，故①正确；
函数有最小值，但没有最大值，故②错误；
当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜-2时，y随x的增大而减小，故③正确；
函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；
故答案为：①③；
（4）由图象可得，
关于x的方程x2-4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是-1＜k＜3，
故答案为：-1＜k＜3．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（1）2秒或4秒；（2）秒或秒
【分析】（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB=（6-x）厘米，BQ=2x厘米，根据三角形的面积公式结合△PBQ的面积等于8平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过y秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的，则PB=（6-y）厘米，BQ=2y厘米，根据三角形、矩形的面积公式及△PBQ的面积等于矩形面积的，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设经过x秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米．
根据题意，得，
整理，得，
解得．
答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米；
（2）设经过y秒时，的面积等于矩形面积的，
则厘米，厘米，
根据题意，得，整理，得，
解得：．
答：经过秒或秒时，的面积等于矩形面积的．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(1)
(2)直线的函数表达式为
(3)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或
【分析】（1）分别令即可求出、、三点的坐标；
（2）根据、三点的坐标求直线的函数表达式即可；
（3）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：∵，
设直线的表达式为：；
将代入得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：存在：
设直线的表达式为：；
将代入得：，
解得：，
故直线的表达式为：；
设点的坐标为，其中，
，
，
，
∴当时，以点为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
，
，
解得：（舍去），
∴点的坐标为，
∵点B向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C，
∴点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
，
，
解得：(舍去)，
∴点的坐标为，
∵点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B，
∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点的坐标为；
综上，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质、一次函数图象的性质、一次函数的解析式、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
D
C
D
A
D
C
B