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    山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考测试(10月)数学试卷

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    山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考测试(10月)数学试卷

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    这是一份山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考测试(10月)数学试卷,共10页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
    一、选择题(共40分)
    1.(5分)已知空间向量,,且,则向量与的夹角为( )
    A.B.C.D.
    2.(5分)在三棱锥中,已知,G是线段的中点,则( )
    A.B.
    C.D.
    3.(5分)已知,,,点M在直线上运动.当取最小值时,点M的坐标为( )
    A.B.C.D.
    4.(5分)如图,在下列各正方体中,l为正方体的一条体对角线,M、N分别为所在棱的中点,则满足的是( )
    A.B.C.D.
    5.(5分)菱形的边长为4,,E为的中点(如图1),将沿直线DE翻折至处(如图2),连接,,若四棱锥的体积为,点F为的中点,则F到直线的距离为( )
    A.B.C.D.
    6.(5分)已知,,,,则点D到平面ABC的距离为( )
    A.B.C.D.
    7.(5分)在四面体中,记,,,若点M、N分别为棱OA、BC的中点,则( )
    A.B.
    C.D.
    8.(5分)如图,在正方体中,E是棱的中点,F是侧面上的动点,且平面,则下列说法正确的个数有( )
    ①二面角的大小为常数
    ②二面角的大小为常数
    ③二面角的大小为常数
    A.0个B.1个C.2个D.3个
    二、多项选择题(共18分)
    9.(6分)已知直线,的方向向量分别是,,若且,则的值可以是( )
    A.B.C.1D.3
    10.(6分)已知直线,,下列命题中正确的是( )
    A.若,则
    B.若,则或
    C.当时,是直线的方向向量
    D.原点到直线的最大距离为
    11.(6分)如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是,下列说法中正确的是( )
    A.B.
    C.向量与的夹角是D.与所成角的余弦值为
    三、填空题(共10分)
    12.(5分)已知空间向量,,则在上的投影向量的坐标是________.
    13.(5分)四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,则PG与平面PAD所成角的正弦值为________.
    四、双空题(共5分)
    14.(5分)已知直线l的方向向量为a,平面的一个法向量为,若,则直线l与平面的位置关系为_________;若,则直线l与平面的位置关系为_________.
    五、解答题(共77分)
    15.(13分)已知,.
    (1)若,求实数k的值;
    (2)若,求实数k的值.
    16.(15分)如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,M为的中点,且.
    (1)求;
    (2)求二面角的正弦值.
    17.(15分)如图,在三棱锥中,,D是BC的中点,平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知,,,.
    (1)求证:.
    (2)若点M是线段AP上一点,且,试证明平面平面BMC.
    18.(17分)如图,在正三棱柱中,,,D是中点,E在棱上,且.
    (1)求证:平面平面;
    (2)求平面与平面ABC的夹角的余弦值.
    19.(17分)如图,三棱锥中,平面,,,,M是棱上一点,且.
    (1)证明:平面;
    (2)若,求与平面所成角的正弦值.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:,解得,则,
    ,,
    设向量与的夹角为,则,
    ,,即与的夹角为.
    故选:A.
    2.答案:D
    解析:连接,因为G是线段的中点,所以
    因为,所以
    所以
    故选:D.
    3.答案:D
    解析:设,即,故,

    当时,向量数量积有最小值,此时.
    故选:D.
    4.答案:C
    解析:在正方体中,建立空间直角坐标系,令棱长为2,体对角线l的端点为B,,
    对于A,,,,,直线l的方向向量,
    ,显然,直线与l不垂直,A不是;
    对于B,由选项A知,直线l的方向向量,,,
    则,显然,直线与l不垂直,B不是;
    对于C,由选项A知,直线l的方向向量,,,
    则,显然,,C是;
    对于D,由选项A知,直线l的方向向量,,,
    则,显然,直线与l不垂直,D不是.
    故选:C
    5.答案:A
    解析:连接,因为四边形为菱形,且,所以为等边三角形,因为E为的中点,所以,所以,,
    因为,平面,所以平面,
    因为菱形的边长为4,所以,,,
    所以直角梯形的面积为,
    设四棱锥的高为h,则,得,
    所以,所以平面,
    所以以E为原点,,,所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,,,
    所以,
    所以,
    所以,,
    所以F到直线的距离为,
    故选:A
    6.答案:C
    解析:易知,,,
    设平面ABC的法向量,则即
    令,则,,所以平面ABC的一个法向量为,
    所以点D到平面ABC的距离.
    故选:C.
    7.答案:B
    解析:由题意得:,
    故选:B.
    8.答案:B
    解析:
    设正方体的棱长为a,以D为坐标原点,,,分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
    则,,,,
    又F是侧面上的动点,设,,,
    则,
    设平面的法向量为,又,,
    则,即,令,则,,
    即,
    又平面,则,即,
    则,解得,
    因此可得,,
    设平面的法向量为,又,,
    则,即,令,则,,
    即,

    因此可得二面角的大小为常数,故①正确;
    设平面的法向量为,又,,
    则,即,令,则,,
    即,
    因为中含参数,故的值不定,
    因此二面角的大小不是常数,故②不正确;
    设平面的法向量为,又,,
    则,即,令,则,,
    即,
    因为中含参数,故的值不定,
    因此二面角的大小不是常数,故③不正确;
    故选:B.
    9.答案:AC
    解析:直线、的方向向量分别是,
    ,且,
    ,解得,
    或,
    或.
    10.答案:AD
    解析:对选项A:,则,解得,故A正确;
    对选项B:当时,两条直线重合,故B错误;
    对选项C:时,,斜率为,的方向向量是,故C错误;
    对选项D:过定点,故原点到直线的最大距离为,故D正确.
    故选:AD.
    11.答案:AB
    解析:以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是,
    可设棱长为1,则,

    而,所以A正确.
    ,所以B正确.
    向量,显然为等边三角形,则.
    所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确又,则,,,所以,所以D不正确.
    12.答案:
    解析:,,
    ,
    故在上的投影向量的坐标.
    故答案为:
    13.答案:
    解析:因为底面ABCD,底面ABCD是正方形,
    所以DA,DC,DP两两垂直,以D为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,
    则,,,,,则重心,
    因而,,,
    设平面PAD的一个法向量为,
    则,令则,
    则,
    故答案为:.
    14.答案:垂直;或
    解析:若,则,则n,a共线,故直线l与平面垂直;
    若,则,则,又不确定直线l是否在平面内,所以或.
    15.答案:(1),
    (2)或
    解析:(1),,
    若,则,
    即,,,
    解得,.
    (2),,
    若,则,
    即,
    化简可得,解得或.
    16.答案:(1);
    (2)
    解析:(1)因为平面,所以,.
    在矩形中,,故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,
    设,则,,,,
    所以,.
    因为,所以,得,
    所以.
    (2)易知,由(1)可得,,,.
    设平面的法向量为,
    则即
    令,则,,所以平面的一个法向量为.
    设平面的法向量为,
    则即
    得,令,则,所以平面的一个法向量为.

    二面角的正弦值为.
    17.答案:(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    解析:(1)因为,D是BC的中点,所以.
    如图,以O为原点,过点O作CB的平行线为x轴,以射线AD方向为y轴正方向,以射线OP的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系,
    则,,,,,
    所以,,
    所以,
    所以,即.
    (2)因为平面ABC,平面ABC,所以.
    因为,,所以.
    因为M为AP上一点,且,所以.
    由(1)得,所以.
    又,所以.
    所以,.
    设平面BMC的法向量为,
    则即
    令,则,,所以.
    设平面AMC的法向量为,
    则即
    令,则,,所以.
    所以,
    所以,所以平面平面BMC.
    18.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)设的中点为F,过F作分别交AC,于G,,连接EF、,
    则G,分别为AC,的中点,
    所以,
    由,,得,即,又因为,
    所以四边形是平行四边形,
    所以,
    因为是的中点,为正三角形,所以,
    由正三棱柱的性质得,底面,且底面,
    所以,,,平面,
    所以平面.
    又因为,所以平面,
    平面,所以平面平面.
    (2)以BC中点O为原点,OA,OC,(为中点)分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
    则,,,
    易得平面ABC的一个法向量,
    设向量为平面一个法向量,
    ,,
    则由,,得,,
    令,得,
    设平面与平面ABC的夹角为,
    则.
    所以平面与平面ABC的夹角的余弦值为.
    19.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)证明:因为,,,所以,
    由,即,
    又因为,可得为边上的高,所以,
    因为平面且平面,所以
    又因为且,平面,所以平面.
    (2)因为平面且,
    以A为坐标原点,以,,所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,因为,可得,,,
    则,,,
    设平面的法向量为,则,
    令,可得,,所以,
    设直线与平面所成角为,
    则,
    故与平面所成角的正弦值为.

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