2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|x≤a}，N={x|−2A. a>0B. a≥0C. a≤−2D. a<−2
2.复数i3+i在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列函数中，在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )
A. y=lg2xB. y=2x+2−xC. y=x+ xD. y=tanx
4.如图，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为35，则sin(π2+α)的值为( )
A. −35B. 35C. −45D. 45
5.已知a=lg23，b=lg46，c=lg49，则( )
A. a=bbD. a>c>b
6.在△ABC中，acsB−12b=c，则A=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
7.已知a,b是平面内两个非零向量，那么“a//b”是“存在λ≠0，使得|a+λb|=|a|+|λb|”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若−a1A. {Sn}为递减数列B. {Sn}为递增数列
C. 数列{Sn}有最大项D. 数列{Sn}有最小项
9.在△ABC中，AB=AC=2，BC=2 3，点P在线段BC上.当PA⋅PB取得最小值时，PA=( )
A. 32B. 72C. 34D. 74
10.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列{an}满足a1=a2=1，给出下列四个结论：
①存在m∈N∗，使得am，am+1，am+2成等差数列；
②存在m∈N∗，使得am，am+1，am+2成等比数列；
③存在常数t，使得对任意n∈N∗，都有an，tan+2，an+4成等差数列；
④存在正整数i1，i2，…，im，且i1其中所有正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数y= x+1ex−1的定义域是______．
12.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|= ．
13.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A,ω>0,|φ|≤π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移T4(T为f(x)的最小正周期)个单位长度得到g(x)的图象，则g(0)= ______．
14.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，S5，S7∈{−5,0}，则Sn的最小值为______．
15.已知函数f(x)=|ax−1|,x≤1,(a−2)(x−1),x>1.其中a>0且a≠1.给出下列四个结论：
①若a≠2，则函数f(x)的零点是0;
②若函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0,1)；
③若a>2，则f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增;
④若关于x的方程f(x)=a−2恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则a的取值范围为(2,3)，且x1+x2+x3的取值范围为(−∞,2)．
其中，所有正确结论的序号是．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知等差数列{an}满足a3=5，且a5−2a2=3.又数列{bn}中，b1=3且3bn−bn+1=0(n=1,2,3,…)．
(I)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(II)若ai=bj，则称ai(或bj)是{an}，{bn}的公共项．
①求出数列{an}，{bn}的前4个公共项；
②从数列{an}的前100项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后，求剩下所有项的和．
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=2csx⋅cs(x+φ)(|φ|<π2)，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在．
条件①：f(π3)=1；
条件②：函数f(x)在区间[0,π4]上是增函数；
条件③：∀x∈R,f(x)≥f(2π3)．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求φ的值；
(2)求f(x)在区间[−π2,0]上的最大值和最小值．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=lnxx+a(a>0)．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)判断f(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由．
19.(本小题14分)
如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点A、B、C.为增加景区人民的收入，景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向上，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km，AD>BD．
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
(2)求∠ACD的正弦值．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=xex．
(Ⅰ)求f(x)在区间[−2,2]上的最大值和最小值；
(Ⅱ)若x=0是函数g(x)=f(a)f(x)+sinx的极值点．
(ⅰ)证明：−2ln2(ⅱ)讨论g(x)在区间(−π,π)上的零点个数．
21.(本小题15分)
已知集合P的元素个数为3n(n∈N∗)且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即P=A∪B∪C，A∩B=⌀，A∩C=⌀，B∩C=⌀，其中A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bn}，C={c1,c2,…,cn}，且满足c1(Ⅰ)若集合P={1,2,3}，Q={1,2,3,4,5,6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；(Ⅱ)已知集合P={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”，求正整数x的值；
(Ⅲ)设集合P={x|1≤x≤3n,n∈N∗}，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1(n∈N∗).
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.B
5.C
6.C
7.C
8.D
9.B
10.C
11.{x|x≥−1且x≠0}
12.2 3
13.− 3
14.−6
15.①④
16.解：(I)设等差数列{an}的公差为d，则
∵a3=5，且a5−2a2=3
∴a1+2d=5，−a1+2d=3
解得a1=1，d=2，
∴an=1+(n−1)×2=2n−1；
∵3bn−bn+1=0，
∴bn+1bn=3，
∴数列{bn}是以b1=3为首项，公比为3的等比数列．
∴bn=3×3n−1=3n；
(II)①数列{an}，{bn}的前4个公共项为3，9，27，81；
②∵a100=199，81∴数列{an}的前100项中包含4个公共项
∵S100=100(1+199)2=10000
∴数列{an}的前100项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后，剩下所有项的和为10000−3−9−27−81=9980．
17.解：(1)由题意得：f(x)=2csx⋅cs(x+φ)=2csx⋅[csxcsφ−sinxsinφ]
=2csϕcs2x−2sinϕcsxsinx=csϕ(cs2x+1)−sinϕsin2x=csϕcs2x−sinϕsin2x+csϕ=cs(2x−ϕ)+csϕ．
当选条件①：f(π3)=csφ(cs2π3+1)−sinφsin2π3=12csφ− 32sinφ=cs(φ+π3)=1，
又因为|φ|<π2，所以−π2<φ<π2，所以−π6<φ+π3<5π6，
所以cs(φ+π3)=1时，即得：φ+π3=0，即φ=−π3．
当选条件②：f(x)=2csx⋅cs(x+φ)=cs(2x−φ)+csφ
从而得：当2kπ−π≤2x−φ≤2kπ，k∈Z时，f(x)单调递增，
化简得：当kπ−π2+φ2≤x≤kπ+φ2,k∈Z时，f(x)单调递增，
又因为函数f(x)在区间[0,π4]上是增函数，
所以得：kπ−π2+φ2≤0kπ+φ2≥π4,k∈Z，解之得：−2kπ+π2≤φ≤−2kπ+π,k∈Z，
当k=0时，得π2≤φ≤π，与已知条件|φ|<π2矛盾，故条件②不能使函数f(x)存在．
故：若选条件②，φ不存在．
当选条件③：由∀x∈R,f(x)≥f(2π3)，f(x)=2csx⋅cs(x+φ)=cs(2x−φ)+csφ，
得当x=2π3时，cs(2x−φ)=cs(4π3−φ)=−1，
得4π3−φ=π，得φ=π3．
(2)当选条件①：由(1)知：φ=−π3，则得：f(x)=cs(2x+π3)+12，
又因为x∈[−π2,0]，所以2x+π3∈[−2π3,π3]，
所以当x=−π6时，f(x)有最大值f(−π6)=cs(−π3+π3)+12=32；
所以当x=−π2时，f(x)有最小值f(−π2)=cs(−π+π3)+12=0；
当选条件③：由(1)知：φ=π3，则得：f(x)=cs(2x−π3)+12，
又因为x∈[−π2,0]，所以2x−π3∈[−4π3,−π3]，
所以当x=0时，f(x)有最大值f(0)=cs(−π3)+12=12+12=1；
所以当x=−π3时，f(x)有最小值f(−π3)=cs(−2π3−π3)+12=−12；
18.解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2．
因为f(1)=0，f′(1)=1a+1，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，
即x−(a+1)y−1=0；
(Ⅱ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：
令g(x)=−lnx+ax+1，
因为g′(x)=−1x−ax2=−x+ax2<0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．
注意到g(1)=a+1>0．
且g(ea+1)=−lnea+1+aea+1+1=a(1ea+1−1)<0．
所以存在m∈(1,ea+1)，使得g(m)=0．
当x∈(0,m)时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,m)上单调递增；
当x∈(m,+∞)时，g(x)<0，从而f′(x)<0，所以函数f(x)在(m,+∞)上单调递减．
故函数f(x)在定义域内不是单调函数．
19.解：(1)法1：在△DAB中，∠ADB=30°，AD=8km，AB=5km，
设DB=xkm，由余弦定理，得52=82+x2−2×8xcs30°，
解得x=4 3−3，
可得这条公路的长为4 3−3km．
法2：如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=12AD=12×8=4，
∴DF= AD2−AF2= 82−42=4 3；
在Rt△ABF中，BF= AB2−AF2= 52−42=3，
∴BD=DF−BF=4 3−3，
∴这条公路的长为4 3−3km．
(2)在△ADB中，ABsin∠ADB=BDsin∠DAB，
所以sin∠DAB=BD⋅sin∠ADBAB=4 3−310，可得cs∠DAB=3 3+410，
在△ACD中，∠ADC=∠ADB+∠BDC=30°+75°=105°，
所以cs∠ADC=cs105°=cs(60°+45°)=cs60°cs45°−sin60°sin45°= 2− 64，
sin∠ADC=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cs45°+cs60°sin45°= 2+ 64，
所以sin∠ACD=sin[180°−(∠DAC+∠ADC)]=sin(∠DAC+∠ADC)=sin∠DACcs∠ADC+cs∠DACsin∠ADC
=4 3−310× 2− 64+3 3+410× 2+ 64=7 6− 220．
20.解：(Ⅰ)f(x)=xex，f′(x)=1−xex，取f′(x)=1−xex=0，得到x=1，
当x∈(−2,1)时，f′(x)>0，函数单调递增，
当x∈(1,2)时，f′(x)<0，函数单调递减，
又f(−2)=−2e−2=−2e2，f(1)=1e1=e−1，f(2)=2e2=2e−2，
故f(x)在区间[−2,2]上的最大值为e−1，最小值为−2e2．
(Ⅱ)(ⅰ)证明：g(x)=f(a)⋅f(x)+sinx=aea⋅xex+sinx，g′(x)=aea⋅1−xex+csx，g′(0)=aea+1=0，故ea+a=0，
设F(x)=ex+x，函数单调递增，F(0)=1>0，F(−2ln2)=e−2ln2−2ln2=14−ln4<0．
根据零点存在定理知−2ln2(ⅱ)g(x)=−xex+sinx，g(0)=0，g′(x)=x−1ex+csx，
设ℎ(x)=x−1ex+csx，ℎ′(x)=2−xex−sinx，
当x∈(−π,0)时，2−xex>0,sinx<0，故ℎ′(x)>0，g′(x)单调递增，g′(x)故函数g(x)单调递减，g(x)>g(0)=0，
故函数在(−π,0)上无零点；
当x∈(0,π)时，g(x)=−xex+sinx=1ex(exsinx−x)，
设F(x)=exsinx−x，F′(x)=ex(sinx+csx)−1，
设k(x)=ex(sinx+csx)−1，则k′(x)=2excsx，
当x∈(0,π2)时，k′(x)=2excsx>0，当x∈(π2,π)时，k′(x)=2excsx<0，
故k(x)在(0,π2)单调递增，在(π2,π)上单调递减，k(0)=0，k(π2)=eπ2−1>0，k(π)=−eπ−1<0，
故存在x0∈(π2,π)使k(x0)=0，
当x∈(0,x0)时，k(x)>0，F(x)单调递增；
当x∈(x0,π)时，k(x)<0，F(x)单调递减．
F(0)=0，故F(x0)>0，F(π)=−π<0，故函数在(x0,π)上有1个零点．
综上所述：g(x)在区间(−π,π)上的零点个数为2．
21.解：(Ⅰ)将P分为{1}，{2}，{3}满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，则a1+b1=c1，a2+b2=c2；Q中所有元素之和为21，21÷2=10.5=c1+c2，不符合要求．
(Ⅱ)若集合A={1,4}，B={3,5}，根据完美集合的概念知集合C={6,7}；
若集合A={1,5}，B={3,6}，根据完美集合的概念知集合C={4,11}；
若集合A={1,3}，B={4,6}，根据完美集合的概念知集合C={5,9}；
故x的可能值为：7，9，11中任一个．
(Ⅲ)证明：P中所有元素之和为：
1+2+3+…+3n=3n(3n+1)2=a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+an+bn+cn+=2(c1+c2+…+cn)；
∵cn=3n；
∴3n(3n+1)4=c1+c2+…+cn−1+3n；
∴c1+c2+…+cn−1=9n(n−1)4；
等式左边为正整数，则等式右边9n(n−1)可以被4整除；
∴n=4k或n−1=4k(n∈N∗)，即n=4k或n=4k+1(n∈N∗).

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