2024届北京市海淀区首都师大附中高三上学期12月阶段检测数学试题含答案

这是一份2024届北京市海淀区首都师大附中高三上学期12月阶段检测数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法化简可得出复数.
【详解】由已知可得.
故选：C.
2．设平面向量，若，则等于（ ）
A．1B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据向量平行的坐标运算求解.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：D
3．设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
4．一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件概率结合古典概型计算求解即可.
【详解】由已知条件得
由条件概率公式可得
.
故选：D.
5．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．1792B．－1792C．1120D．－1120
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】因为，
令，得，
所以二项式展开式中的常数项为．
故选：C.
6．《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为（ ）

A．5立方丈B．20立方丈C．40立方丈D．80立方丈
【答案】A
【分析】刍甍的体积为直三棱柱的体积减去两个相同的三棱锥的体积，计算得到答案.
【详解】如图所示：刍甍的体积为直三棱柱的体积减去两个相同的三棱锥的体积，

即.
故选：A
7．已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意且，”与“”推出关系，进而确定它们的关系.
【详解】由等差数列前n项和公式知：，
∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列，
∴“对于任意且，”必有“”，
而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立，
∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件.
故选：B.
8．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
9．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出、、的长，利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，
因为为的中点，所以，，
当伞完全收拢时，，所以，，
在中，，
所以，.
故选：A.
10．下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作．
则下列命题中正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．在其定义域上单调递增D．的图象关于轴对称
【答案】C
【分析】借助于图形来看四个选项，先由可判断A，实数所在区间不关于原点对称，知B错，从图形上可得在定义域上单调递增，C对，先找到，再利用图形判断D错，
【详解】如图，因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，
对于A，当时，的坐标为，，
直线的方程为，即，所以点的坐标为，
故，即A错.
对于B，因为实数所在区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性．故B错．
对于C，当实数越来越大时，直线与轴的交点也越来越往右，即也越来越大，所以在定义域上单调递增，即C对．
对于D，当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，
再由图形可知的图象关于点，对称，而非关于轴对称，即D错．
故选：C．
二、填空题
11．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据被开方数是非负数，求解分式不等式即可求得结果.
【详解】要使得函数有意义，则，即，且，
解得，故的定义域为.
故答案为：.
12．已知直线和平面.给出下列三个论断：①∥；②∥；③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
【答案】若，则
【分析】分三种情况判断：①②作条件，③作结论；①③作条件，②作结论；②③作条件，①作结论.只要以上三个命题为真即可.
【详解】解：将①②作条件，③作结论：若∥，∥，则.此命题为假命题（结论应为或∥）；
将①③作条件，②作结论：若∥，，则∥.此命题为假命题（结论应为与相交或∥）；
将②③作条件，①作结论：若∥， ，则∥.由两平面平行的性质定理可知此命题为真命题.
故答案为：若∥， ，则∥.
三、双空题
13．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按，，，分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则 ；这300辆汽车中车速低于限速60 km/h的汽车有 辆.
【答案】
【分析】根据个小矩形面积之和为1即可求出的值；根据频率分布直方图可以求出车速低于限速60 km/h的频率，从而可求出汽车有多少辆．
【详解】由解得：．
这300辆汽车中车速低于限速60 km/h的汽车有．
故答案为：；．
14．设函数，
①若，则不等式的解集为 ；
②若，且不等式的解集中恰有一个正整数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】①在坐标系中分别作出和的图象，利用图像法求解即可；
②在坐标系中分别作出和的图象，根据图象列不等式组求解即可.
【详解】①当时，和的图象如图所示，
由图象可得当时，；
②当时，的图象如图所示，
若不等式的解集中恰有一个正整数，
则由图象可得，即，解得，
故答案为：；
四、填空题
15．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论：
①三棱锥的体积为定值；
②存在点使得平面；
③的最小值为；
④对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面；
⑤是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为．

其中正确的命题的序号是 ．
【答案】①⑤
【分析】对于①，利用等体积法转化为，从而得到体积为定值；
对于②，假设存在点使得平面，经过推理得，与矛盾；
对于③，将侧面与侧面展开铺平即可得到最小值;
对于④,当点在点时，此时与平面相交,得到在棱上不存在一点，使得平面；
对于⑤，利用立体几何的相关知识找到该截面，并表示截面的面积，求出最小值即可.
【详解】解：对于①，，显然是定值，
因为平面，所以是定值，所以三棱锥的体积是定值，①正确；
对于②，若存在点，使得平面，又平面，
可得，所以四边形为正方形，
即，这与矛盾，②错误；
对于③，如图，将侧面与侧面展开铺平，则的最小值，③错误；
对于④，当点在点时，平面即是平面，此时与平面相交，
故不存在点符合要求，④错误；
对于⑤，如图，在正方体中，可得，且是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，
所以，因为是上的动点，且过点的截面垂直，
所以截面过点，截面交与，交于，设，
则，在中，可得
，
，
则该截面的面积为，
因为，所以当时，，
此时分别是和的中点，当是中点时，，即，
所以平面，满足题意，⑤正确．
故答案为：①⑤．
五、证明题
16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值？若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析
【解析】(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
(3)由，C，M三点共线，利用向量共线得出，利用线面垂直的判定定理证明平面，由于，不平行，则不存在棱上的点，使得平面.
【详解】（1）在四棱锥中
因为平面平面，平面平面
又因为，平面
所以平面
因为平面
所以
（2）取中点，连接
因为
所以
因为平面平面，平面平面
因为平面
所以平面
所以
因为
所以
所以四边形是平行四边形
所以
如图建立空间直角坐标系，则
.
设平面的法向量为，则
即
令，则.
所以.
因为平面的法向量，
所以
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
（3）设是棱上一点，则存在使得.
设，则
所以
所以
所以.
所以.
因为平面
所以平面.
所以是平面的一个法向量.
若平面，则.
所以
因为方程组无解，
所以在棱上不存在点，使得平面.
【点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.
17．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
假设用频率估计概率.
(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）
【答案】(1)16；
(2)分布列见解析；
(3)“一个”在前更合适
【分析】（1）根据表中数据即可求得a的值；根据古典概型的概率公示可求得甲类题材中“一”出现的概率；
（2）确定，根据二项分布的概率计算即可求得答案；
（3）计算样本语料库A，中“一个”和“一格”出现的概率，比较大小，可得结论.
【详解】（1）由题意可得；
故甲类题材中“一”出现的概率为；
（2）由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为，
则，则,,
,
故X的分布列为：
则.
（3）由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为，
甲类题材中“一个”出现的概率为，
由于，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.
18．在△中，，.
(1)求证：△为等腰三角形；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值.
条件①：；
条件②：△的面积为；
条件③：边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析；
(2)详见解析.
【分析】（1）把转化为边a、b之间的倍数关系，把转化为三边a、b、c之间的关系，综合可得证；
（2）条件①,与已知矛盾，三角形无解，不可选；
条件②，通过三角形面积公式解得a，可使△存在且唯一；
条件③，通过转化条件，可使△存在且唯一.
【详解】（1）在△中，由，可得
则由，可得
即，故有
故△为等腰三角形.
（2）选择条件①：时，由（1）知，则有，
此时，
与已知矛盾，三角形无解.不能选；
选择条件②：△的面积为时，
由得，
故有，解得，,.
三角形存在且唯一，可选.
选择条件③：边上的高为.
由得，
可得，则有,.
三角形存在且唯一，可选.
综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，.
选择条件③时，三角形存在且唯一，.
六、解答题
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.
【答案】（1）（2）点在以为直径的圆上
【解析】（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设点，，则，，求出直线的方程，进而求出点的坐标，再利用中点坐标公式得到点的坐标，下面结合点在椭圆上证出，所以点在以为直径的圆上．
【详解】（1）由题意可知，，解得，
椭圆的标准方程为：.
（2）设点，，则，，
直线的斜率为，
直线的方程为：，
令得，，
点的坐标为，，
点的坐标为，，
，，
又点，在椭圆上，
，，
，
点在以为直径的圆上．
【点睛】本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）将代入函数中，对函数求导，求出切线斜率，利用点斜式即可；
（2）先对原函数求导，然后利用分类讨论的思想进行分析求解即可；
（3）构造函数，将问题转化，然后利用函数导数的单调性求解即可.
【详解】（1），
，
，
当时，，
切点坐标为，
又，切线斜率为，
曲线在处切线方程为：
.
（2），，
，，
，，
①当时，成立，
的单调递减区间为，无单调递增区间.
②当时，令，
所以当时，，在上单调递减
时，，在上单调递增
综上: 时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3），
，
，
令，，
由已知可得：
且，
的单调区间是
，，
时，恒成立，
，，
令，，即证，，
成立，
的单调递减区间为，
，
恒成立，
综上：的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
七、证明题
21．数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等．
(1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：
①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2
(2)记，若，证明：；
(3)若，求n的最小值．
【答案】(1)②③
(2)证明见解析
(3)2030
【分析】（1）根据题中数列满足的要求一一判断所给数列，可得结论；
（2）设数列中1，2，3出现的频数依次为，判断出的取值情况，即可证明结论；
（3）设出现的频数依次为，同（2）判断的取值情况，即可由取最小值时求得n的最小值，然后分类讨论，证明此时符合题目要求即可.
【详解】（1）对于①，由于，故或，不合题意；
对于②，当时，存在s，t两两不相等，使得；
当时，存在s，t两两不相等，使得；
当时，存在s，t两两不相等，使得；符合题意；
同理③也符合题意，
故所有符合题目条件的数列的序号为②③；
（2）证明：当时， 设数列中1，2，3出现的频数依次为，
由题意知，
假设，则有，（对任意），与已知矛盾，
故，同理可证；
假设，则存在唯一的使得，
那么对于，都有，（k，s，t两两不相等），
与已知矛盾，故；
综上可得，
所以，
即.
（3）设出现的频数依次为，
同（2）的证明，，，则；
取，，
得到的数列为：，
下面证明该数列满足题目要求：
对于，不妨令，
如果，或，由于，故符合条件；
②如果，或，由于，，
故也符合条件；
③如果，则可选取，，
同样的，如果，，则可选取，
使得，且两两不相等；
④如果，则可选取，
注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也符合条件，
综上，对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等，
即数列符合题目要求，
故n的最小值为2030.
【点睛】难点点睛：本题是给出了数列需满足的要求。也可以认为是数列的一个新定义，因此解答的关键是要理解这些要求，按其要求去判断解答问题；难点在于第三问的解答，设出现的频数依次为，要判断出，，进而取，求得n的最小值，继而分类讨论，证明求得的值符合题目要求.
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一穷”
2
“一条”
2
其他
X
0
1
2
P