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数学第一册上册第二章 函数函数课后测评
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这是一份数学第一册上册第二章 函数函数课后测评，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的最小正周期为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C．π D．2π
2．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))且x≠0))的值域为( )
A．[－1,1]
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)，0)) D．(π，0)
4．下列各式中正确的是( )
A．tan735°>tan800° B．tan1C．taneq \f(5π,7)5．函数y＝tan(sinx)的值域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
C．[－tan1，tan1] D．[－1,1]
6．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝( )
A．3 B.eq \r(3)
C．1 D.eq \f(\r(3),3)
7．已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f(x)＝x＋tanx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( )
A．aC．c8．已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|A.eq \f(π,6) B．－eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3) D．－eq \f(π,3)
二、填空题
9．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的定义域是
10．已知函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为 .
三、解答题
11．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的值域、周期和单调区间．
12．已知x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出f(x)取最大值和最小值时相应的x值．
13．(多选题)下列各项中，是函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1在(0，π)上的零点的是( )
A.eq \f(π,24) B.eq \f(π,12)
C.eq \f(7π,24) D.eq \f(13π,24)
14．(多选题)已知函数f(x)＝tanx，对任意x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是( )
A．f(x1＋π)＝f(x1)
B．f(－x1)＝f(x1)
C.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)(x1x2>0)
15．已知函数f(x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx＋\f(π,3)))，g(x)＝btaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))(k>0)，它们的周期之和为eq \f(3π,2)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－eq \r(3)·geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋1，则f(x)＝ ；g(x)的单调递增区间为 ．
16．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数．
课时作业50 正切函数的性质与图象【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的最小正周期为( D )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C．π D．2π
解析：函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的最小正周期为eq \f(π,\f(1,2))＝2π.
2．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))且x≠0))的值域为( B )
A．[－1,1]
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
解析：∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)且x≠0，
∴eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)－x≤eq \f(3π,4)且eq \f(π,2)－x≠eq \f(π,2)，
∴值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))的一个对称中心是( C )
A．(0,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)，0)) D．(π，0)
解析：令x＋eq \f(π,5)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,5)，k∈Z，∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,5)，0))(k∈Z)．令k＝2，可得函数的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)，0)).
4．下列各式中正确的是( D )
A．tan735°>tan800° B．tan1C．taneq \f(5π,7)解析：taneq \f(9π,8)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋π))＝taneq \f(π,8)5．函数y＝tan(sinx)的值域是( C )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
C．[－tan1，tan1] D．[－1,1]
解析：∵－1≤sinx≤1，
而－eq \f(π,2)<－1≤sinx≤1∴tan(－1)≤tan(sinx)≤tan1，
即函数值域为[－tan1，tan1]．
6．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝( A )
A．3 B.eq \r(3)
C．1 D.eq \f(\r(3),3)
解析：由题意知，eq \f(T,2)＝eq \f(5π,12)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,4)，∴T＝eq \f(π,2)，
∴ω＝eq \f(π,T)＝2.又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))，
∴eq \f(5π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－eq \f(5π,6)，k∈Z.
∵|φ|∴A＝eq \r(3)，∴f(x)＝eq \r(3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝eq \r(3)taneq \f(π,3)＝3.故选A.
7．已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f(x)＝x＋tanx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( D )
A．aC．c解析：∵函数f(x)＝f(π－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称．又当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f(x)＝x＋tanx，故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上单调递减．再根据a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，
可得f(2)>f(1)>f(3)，即b>a>c.故选D.
8．已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|A.eq \f(π,6) B．－eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3) D．－eq \f(π,3)
解析：正切曲线相邻两个对称中心的距离d＝eq \f(T,2)，∴函数f(x)的周期T＝2d＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－\f(2π,3)))＝π，
即eq \f(π,ω)＝π，解得ω＝1，∴f(x)＝tan(x＋φ)．
又∵函数f(x)＝tan(x＋φ)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(5π,3)))内单调递增，且eq \f(5π,3)－eq \f(2π,3)＝π＝T，
∴eq \f(2π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z.
又∵|φ|二、填空题
9．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的定义域是{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \r(3).
解析：由题意知x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x≠kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．故f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,6)))＝eq \r(3).
10．已知函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为0.
解析：∵f(x)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段的长度即为f(x)＝tanωx的一个周期，∴eq \f(π,ω)＝eq \f(π,4)，ω＝4，因此feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×\f(π,4)))＝tanπ＝0.
三、解答题
11．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的值域、周期和单调区间．
解：由y＝|tanx|＋tanx知
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ)),2tanx，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))))(k∈Z)．
其图象如图所示．
所以值域：[0，＋∞)；周期性：T＝π；
单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.
12．已知x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出f(x)取最大值和最小值时相应的x值．
解：f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，所以tanx∈[－eq \r(3)，1]．
所以当tanx＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，f(x)有最小值，f(x)min＝1；
当tanx＝1，即x＝eq \f(π,4)时，f(x)有最大值，f(x)max＝5.
13．(多选题)下列各项中，是函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1在(0，π)上的零点的是( AD )
A.eq \f(π,24) B.eq \f(π,12)
C.eq \f(7π,24) D.eq \f(13π,24)
解析：令f(x)＝0得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝1，
∴2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.当k＝0时，x＝eq \f(π,24)，当k＝1时，x＝eq \f(13π,24).故选AD.
14．(多选题)已知函数f(x)＝tanx，对任意x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是( AC )
A．f(x1＋π)＝f(x1)
B．f(－x1)＝f(x1)
C.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)(x1x2>0)
解析：由于f(x)＝tanx的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tanx为奇函数，故B不正确；C表明函数为增函数，而f(x)＝tanx为区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的增函数，故C正确；由函数f(x)＝tanx的图象可知，函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上有
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))15．已知函数f(x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx＋\f(π,3)))，g(x)＝btaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))(k>0)，它们的周期之和为eq \f(3π,2)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－eq \r(3)·geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋1，则f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；g(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)．
解析：根据题意，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,k)＋\f(π,k)＝\f(3π,2)，,asin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)))＝btan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,3)))，,asin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)＋\f(π,3)))＝－\r(3)btan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,3)))＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,a＝1，,b＝\f(1,2)，))故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
g(x)＝eq \f(1,2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
令kπ－eq \f(π,2)<2x－eq \f(π,3)得eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)所以g(x)的单调递增区间为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)．
16．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，
f(x)＝x2－eq \f(2\r(3),3)x－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),3)))2－eq \f(4,3).
∵x∈[－1，eq \r(3)]，
∴当x＝eq \f(\r(3),3)时，f(x)取得最小值－eq \f(4,3)，
当x＝－1时，f(x)取得最大值eq \f(2\r(3),3).
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.∵y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥eq \r(3)，
即tanθ≥1或tanθ≤－eq \r(3).
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴θ的取值范围是
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
一、选择题
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的最小正周期为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C．π D．2π
2．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))且x≠0))的值域为( )
A．[－1,1]
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)，0)) D．(π，0)
4．下列各式中正确的是( )
A．tan735°>tan800° B．tan1
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
C．[－tan1，tan1] D．[－1,1]
6．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝( )
A．3 B.eq \r(3)
C．1 D.eq \f(\r(3),3)
7．已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f(x)＝x＋tanx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( )
A．a
C.eq \f(π,3) D．－eq \f(π,3)
二、填空题
9．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的定义域是
10．已知函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为 .
三、解答题
11．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的值域、周期和单调区间．
12．已知x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出f(x)取最大值和最小值时相应的x值．
13．(多选题)下列各项中，是函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1在(0，π)上的零点的是( )
A.eq \f(π,24) B.eq \f(π,12)
C.eq \f(7π,24) D.eq \f(13π,24)
14．(多选题)已知函数f(x)＝tanx，对任意x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是( )
A．f(x1＋π)＝f(x1)
B．f(－x1)＝f(x1)
C.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)(x1x2>0)
15．已知函数f(x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx＋\f(π,3)))，g(x)＝btaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))(k>0)，它们的周期之和为eq \f(3π,2)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－eq \r(3)·geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋1，则f(x)＝ ；g(x)的单调递增区间为 ．
16．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数．
课时作业50 正切函数的性质与图象【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的最小正周期为( D )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C．π D．2π
解析：函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的最小正周期为eq \f(π,\f(1,2))＝2π.
2．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))且x≠0))的值域为( B )
A．[－1,1]
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
解析：∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)且x≠0，
∴eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)－x≤eq \f(3π,4)且eq \f(π,2)－x≠eq \f(π,2)，
∴值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))的一个对称中心是( C )
A．(0,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)，0)) D．(π，0)
解析：令x＋eq \f(π,5)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,5)，k∈Z，∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,5)，0))(k∈Z)．令k＝2，可得函数的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)，0)).
4．下列各式中正确的是( D )
A．tan735°>tan800° B．tan1
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
C．[－tan1，tan1] D．[－1,1]
解析：∵－1≤sinx≤1，
而－eq \f(π,2)<－1≤sinx≤1
即函数值域为[－tan1，tan1]．
6．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝( A )
A．3 B.eq \r(3)
C．1 D.eq \f(\r(3),3)
解析：由题意知，eq \f(T,2)＝eq \f(5π,12)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,4)，∴T＝eq \f(π,2)，
∴ω＝eq \f(π,T)＝2.又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))，
∴eq \f(5π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－eq \f(5π,6)，k∈Z.
∵|φ|
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝eq \r(3)taneq \f(π,3)＝3.故选A.
7．已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f(x)＝x＋tanx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( D )
A．a
可得f(2)>f(1)>f(3)，即b>a>c.故选D.
8．已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|
C.eq \f(π,3) D．－eq \f(π,3)
解析：正切曲线相邻两个对称中心的距离d＝eq \f(T,2)，∴函数f(x)的周期T＝2d＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－\f(2π,3)))＝π，
即eq \f(π,ω)＝π，解得ω＝1，∴f(x)＝tan(x＋φ)．
又∵函数f(x)＝tan(x＋φ)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(5π,3)))内单调递增，且eq \f(5π,3)－eq \f(2π,3)＝π＝T，
∴eq \f(2π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z.
又∵|φ|
9．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的定义域是{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \r(3).
解析：由题意知x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x≠kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．故f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,6)))＝eq \r(3).
10．已知函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为0.
解析：∵f(x)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段的长度即为f(x)＝tanωx的一个周期，∴eq \f(π,ω)＝eq \f(π,4)，ω＝4，因此feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×\f(π,4)))＝tanπ＝0.
三、解答题
11．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的值域、周期和单调区间．
解：由y＝|tanx|＋tanx知
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ)),2tanx，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))))(k∈Z)．
其图象如图所示．
所以值域：[0，＋∞)；周期性：T＝π；
单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.
12．已知x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出f(x)取最大值和最小值时相应的x值．
解：f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，所以tanx∈[－eq \r(3)，1]．
所以当tanx＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，f(x)有最小值，f(x)min＝1；
当tanx＝1，即x＝eq \f(π,4)时，f(x)有最大值，f(x)max＝5.
13．(多选题)下列各项中，是函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1在(0，π)上的零点的是( AD )
A.eq \f(π,24) B.eq \f(π,12)
C.eq \f(7π,24) D.eq \f(13π,24)
解析：令f(x)＝0得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝1，
∴2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.当k＝0时，x＝eq \f(π,24)，当k＝1时，x＝eq \f(13π,24).故选AD.
14．(多选题)已知函数f(x)＝tanx，对任意x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是( AC )
A．f(x1＋π)＝f(x1)
B．f(－x1)＝f(x1)
C.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)(x1x2>0)
解析：由于f(x)＝tanx的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tanx为奇函数，故B不正确；C表明函数为增函数，而f(x)＝tanx为区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的增函数，故C正确；由函数f(x)＝tanx的图象可知，函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上有
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))
解析：根据题意，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,k)＋\f(π,k)＝\f(3π,2)，,asin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)))＝btan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,3)))，,asin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)＋\f(π,3)))＝－\r(3)btan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,3)))＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,a＝1，,b＝\f(1,2)，))故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
g(x)＝eq \f(1,2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
令kπ－eq \f(π,2)<2x－eq \f(π,3)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)．
16．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，
f(x)＝x2－eq \f(2\r(3),3)x－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),3)))2－eq \f(4,3).
∵x∈[－1，eq \r(3)]，
∴当x＝eq \f(\r(3),3)时，f(x)取得最小值－eq \f(4,3)，
当x＝－1时，f(x)取得最大值eq \f(2\r(3),3).
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.∵y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥eq \r(3)，
即tanθ≥1或tanθ≤－eq \r(3).
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴θ的取值范围是
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
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