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高二上学期期中测试卷02（范围：第一二章＋椭圆）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）
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这是一份高二上学期期中测试卷02（范围：第一二章＋椭圆）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版），文件包含高二上学期期中测试卷02范围第一二章＋椭圆原卷版docx、高二上学期期中测试卷02范围第一二章＋椭圆解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
即，所以.
故选：B.
2．若椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，，则，
在中，由余弦定理可得，
,
所以.
故选：B．
3．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由，，联立方程可得：
又直线斜率为，
所以要求直线斜率为，故直线方程为，即.
故选：D
4．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【详解】因为不能构成空间的一个基底，
所以存在实数使得，即，
即，
因为是空间的一个基底，则，解得.
故选：B.
5．直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（ ）
A． B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】由题可知，直线的斜率存在且不为0，
故，即且，
令，得；令，得；即，
所以，所以，
则或，解得或，
故解得的实数m的解有4个.
故选：D.
6．已知直线：与直线：交于点A，若点，则AB的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【详解】当时，直线：，直线：，此时直线与直线垂直；
当时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直；
易知直线经过定点，直线经过定点，
所以点A在以为直径的圆上，
的中点为，所以，
所以圆，
所以,
所以，
故选：A.
7．设分别为椭圆的左､右顶点，是上一点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在中，由，
得，所以，
由，得，
所以，
设，则，
又，
又，
.
故选：D.
8．在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、A2,0,0、、、，
设点，其中，则，
，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
所以，，
因为，则，则，则，
所以，，则.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．关于方程，下列说法正确的是（ ）
A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则该方程表示圆，其半径为
C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D．若，则该方程表示两条直线
【答案】ACD
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误；
对于C，，则可化为，
由于，所以，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确；
对于D，若，则可化为，即，
此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
故选：ACD
10．（多选）在直三棱柱中，，是的中点，则（ ）
A．
B．若，则
C．在上存在一点，使得平面
D．若，则平面与平面不平行
【答案】CD
【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，所以，A错误；
若，则，所以，B错误；
当为中点时，平面平面，
所以平面，C正确；
若，，则，
所以．
设平面的法向量，
平面的法向量，
则，即，
令，则，又，
则，即，令，则，
所以与不平行，D正确．
故选：CD
11．若，点满足，记点的轨迹为曲线，直线为上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为､，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．线段的最小值为
C．的最小值为
D．当最小时，直线的方程为
【答案】ACD
【详解】由题知，设，
因为，
所以，
即，
所以曲线是以为圆点，半径为的圆，
如图所示，因为为上的动点，是曲线上动点，
则PQ最小时，三点共线，且，
因为，，
所以PQ的最小值为，故A正确；
对于B，设，则，
又，
所以，
则以为圆心，
以为半径的圆的方程为①，
又曲线为②，
由①②相减，
得直线：，即，
由，得，
所以直线恒过定点，
所以线段的最小时，过，
则此时与定点距离为，
此时，故B错误；
对于C，因为最小时为，
所以，
所以此时为全等的等腰直角三角形，
所以，
所以，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，因为四边形面积为
，
所以此时四边形为正方形，
则，，
所以直线的方程为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为 ．
【答案】或
【详解】因为直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，
当截距为时，斜率为，此时直线方程为，即，
当截距不为时，由题可设直线方程为，又直线过点，
所以，得到，故直线方程为，即，
故答案为：或.
13．如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为 ．
【答案】0
【详解】如图，过点作直线，过点作直线与点
设
由题意可知：，∴
在圆台中，
∴以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设夹角为，则
故答案为：0.
14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则 .若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 .
【答案】
【详解】由椭圆为“黄金椭圆”，
则离心率，
可得，
所以；
如图所示，连接，
设的内切圆半径为，
则，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设直线的方程为．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)若不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）直线：在y上的截距为，
由在两坐标轴上的截距相等，知，且直线在x轴上的截距为，
于是，解得或，
所以直线的方程为或.
（2）直线：，由，得，即直线过定点，
显然点P在第四象限，要使直线不经过第二象限，而直线的斜率存在，
因此直线的斜率不小于0，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解法一：因为底面是正方形，侧棱底面，
以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
依意得，，，，
所以，，
因为，所以，
由已知，且，平面，平面，
所以平面．
解法二：底面是正方形，，
底面，且平面，，
，平面，平面，
平面，平面，，
，E为中点，，
，平面，平面，
平面，平面，，
由已知，且，平面，平面，
所以平面.
（2）解法一：依题意得，且，，
设平面的一个法向量为，
则，即取，
因为，，设平面的一个法向量为，
则即取，
设平面与平面的夹角为，则，
又，所以，所以平面与平面的夹角为．
解法二：由（1）知平面，，
又，平面，平面，
为平面与平面所成角，
，E为中点，，，
平面，平面，，
直角三角形中，，所以，
所以平面与平面的夹角为
17．已知椭圆的焦距为，短半轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，所以，
故椭圆C的方程为．
（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，Mx1,y1，Nx2,y2，
则两式相减得，整理得．
因为的中点为，所以，
所以，
所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意.
18．已知圆：上，圆：．
(1)圆与圆交于点，，若，求圆的半径；
(2)是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过点？若有，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
【答案】(1)2
(2)存在，
【详解】（1）因为圆：，
圆：，
所以两圆方程相减得直线方程为，
又，
所以圆心到直线距离为，
两圆心距离为，
所以圆心到距离为，解得，.
（2）设直线方程为，，，
联立直线与圆消去得，
所以，，
，得，
，
，
因为被圆截得的弦为直径的圆过，
所以，，
所以，
即，解得，
所以存在斜率为的直线，
使以被圆截得的弦为直径的圆过点，
且直线方程为.
19．如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形．
(1)求证：平面；
(2)若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【详解】（1），平面，平面．
平面，
由，同理可得平面，
又，平面，平面，
平面平面，平面，
平面；
（2）
如图所示，
过作，过作平面，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
在平面上的射影在直线上，
设， ，
因为，且，；
，解得，，
而，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量是，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值；
（3）
设，，
因为，，
所以，
所以，
从而，
设平面的法向量为，
所以，
设，解得，即，
由（2）可知平面的一个法向量是，，
由题意可知平面与平面所成锐二面角的余弦值
，
整理得，，解得，
即.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
即，所以.
故选：B.
2．若椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，，则，
在中，由余弦定理可得，
,
所以.
故选：B．
3．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由，，联立方程可得：
又直线斜率为，
所以要求直线斜率为，故直线方程为，即.
故选：D
4．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【详解】因为不能构成空间的一个基底，
所以存在实数使得，即，
即，
因为是空间的一个基底，则，解得.
故选：B.
5．直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（ ）
A． B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】由题可知，直线的斜率存在且不为0，
故，即且，
令，得；令，得；即，
所以，所以，
则或，解得或，
故解得的实数m的解有4个.
故选：D.
6．已知直线：与直线：交于点A，若点，则AB的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【详解】当时，直线：，直线：，此时直线与直线垂直；
当时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直；
易知直线经过定点，直线经过定点，
所以点A在以为直径的圆上，
的中点为，所以，
所以圆，
所以,
所以，
故选：A.
7．设分别为椭圆的左､右顶点，是上一点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在中，由，
得，所以，
由，得，
所以，
设，则，
又，
又，
.
故选：D.
8．在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、A2,0,0、、、，
设点，其中，则，
，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
所以，，
因为，则，则，则，
所以，，则.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．关于方程，下列说法正确的是（ ）
A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则该方程表示圆，其半径为
C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D．若，则该方程表示两条直线
【答案】ACD
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误；
对于C，，则可化为，
由于，所以，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确；
对于D，若，则可化为，即，
此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
故选：ACD
10．（多选）在直三棱柱中，，是的中点，则（ ）
A．
B．若，则
C．在上存在一点，使得平面
D．若，则平面与平面不平行
【答案】CD
【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，所以，A错误；
若，则，所以，B错误；
当为中点时，平面平面，
所以平面，C正确；
若，，则，
所以．
设平面的法向量，
平面的法向量，
则，即，
令，则，又，
则，即，令，则，
所以与不平行，D正确．
故选：CD
11．若，点满足，记点的轨迹为曲线，直线为上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为､，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．线段的最小值为
C．的最小值为
D．当最小时，直线的方程为
【答案】ACD
【详解】由题知，设，
因为，
所以，
即，
所以曲线是以为圆点，半径为的圆，
如图所示，因为为上的动点，是曲线上动点，
则PQ最小时，三点共线，且，
因为，，
所以PQ的最小值为，故A正确；
对于B，设，则，
又，
所以，
则以为圆心，
以为半径的圆的方程为①，
又曲线为②，
由①②相减，
得直线：，即，
由，得，
所以直线恒过定点，
所以线段的最小时，过，
则此时与定点距离为，
此时，故B错误；
对于C，因为最小时为，
所以，
所以此时为全等的等腰直角三角形，
所以，
所以，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，因为四边形面积为
，
所以此时四边形为正方形，
则，，
所以直线的方程为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为 ．
【答案】或
【详解】因为直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，
当截距为时，斜率为，此时直线方程为，即，
当截距不为时，由题可设直线方程为，又直线过点，
所以，得到，故直线方程为，即，
故答案为：或.
13．如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为 ．
【答案】0
【详解】如图，过点作直线，过点作直线与点
设
由题意可知：，∴
在圆台中，
∴以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设夹角为，则
故答案为：0.
14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则 .若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 .
【答案】
【详解】由椭圆为“黄金椭圆”，
则离心率，
可得，
所以；
如图所示，连接，
设的内切圆半径为，
则，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设直线的方程为．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)若不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）直线：在y上的截距为，
由在两坐标轴上的截距相等，知，且直线在x轴上的截距为，
于是，解得或，
所以直线的方程为或.
（2）直线：，由，得，即直线过定点，
显然点P在第四象限，要使直线不经过第二象限，而直线的斜率存在，
因此直线的斜率不小于0，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解法一：因为底面是正方形，侧棱底面，
以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
依意得，，，，
所以，，
因为，所以，
由已知，且，平面，平面，
所以平面．
解法二：底面是正方形，，
底面，且平面，，
，平面，平面，
平面，平面，，
，E为中点，，
，平面，平面，
平面，平面，，
由已知，且，平面，平面，
所以平面.
（2）解法一：依题意得，且，，
设平面的一个法向量为，
则，即取，
因为，，设平面的一个法向量为，
则即取，
设平面与平面的夹角为，则，
又，所以，所以平面与平面的夹角为．
解法二：由（1）知平面，，
又，平面，平面，
为平面与平面所成角，
，E为中点，，，
平面，平面，，
直角三角形中，，所以，
所以平面与平面的夹角为
17．已知椭圆的焦距为，短半轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，所以，
故椭圆C的方程为．
（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，Mx1,y1，Nx2,y2，
则两式相减得，整理得．
因为的中点为，所以，
所以，
所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意.
18．已知圆：上，圆：．
(1)圆与圆交于点，，若，求圆的半径；
(2)是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过点？若有，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
【答案】(1)2
(2)存在，
【详解】（1）因为圆：，
圆：，
所以两圆方程相减得直线方程为，
又，
所以圆心到直线距离为，
两圆心距离为，
所以圆心到距离为，解得，.
（2）设直线方程为，，，
联立直线与圆消去得，
所以，，
，得，
，
，
因为被圆截得的弦为直径的圆过，
所以，，
所以，
即，解得，
所以存在斜率为的直线，
使以被圆截得的弦为直径的圆过点，
且直线方程为.
19．如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形．
(1)求证：平面；
(2)若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【详解】（1），平面，平面．
平面，
由，同理可得平面，
又，平面，平面，
平面平面，平面，
平面；
（2）
如图所示，
过作，过作平面，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
在平面上的射影在直线上，
设， ，
因为，且，；
，解得，，
而，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量是，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值；
（3）
设，，
因为，，
所以，
所以，
从而，
设平面的法向量为，
所以，
设，解得，即，
由（2）可知平面的一个法向量是，，
由题意可知平面与平面所成锐二面角的余弦值
，
整理得，，解得，
即.
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