吉林省2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

这是一份吉林省2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知曲线，则下列说法正确的是，已知球的半径为，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.若直线与直线平行，则（ ）
A. B. C.1 D.
3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
5.空间内有三点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为3的正四面体中，为的中心，为的中点，，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
8.如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则是椭圆，其焦点在轴上
B.若，则是双曲线，其渐近线方程为
C.若，则是椭圆，其离心率为
D.若，则是双曲线，其离心率为
10.已知球的半径为，则（ ）
A.球的内接正方体的内切球表面积为
B.球的内接正方体的内切球体积为
C.球的内接正四面体的内切球半径为
D.球的内接正四面体的内切球半径为
11.如图，正方体的棱长为分别为的中点，为底面内的动点，且，则（ ）
A.动点的轨迹长度为
B.存在点，使异面直线与所成的角为
C.点到平面的距离的最小值为
D.点到平面的距离的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在平行六面体中，设，则__________.（用表示）
13.若点在圆的外部，则正实数的取值范围是__________.
14.已知圆，直线为直线上一动点，为圆上一动点，定点，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知直线，圆.
（1）证明：直线与圆相交.
（2）记直线与圆的交点为，求的最小值.
16.（15分）
已知椭圆的焦距为12，长半轴长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
17.（15分）
如图，在体积为的三棱柱中，平面平面.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18.（17分）
如图，在三棱台中，平面是棱的中点，为棱上一动点.
（1）若，证明：平面.
（2）是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由.
19.（17分）
已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为.
（1）证明：椭圆在点处的切线方程为.
（2）求动点的轨迹的方程.
（3）过点作斜率不为0的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上.
高二数学试卷参考答案
1.B 直线的斜率为，所以倾斜角为.
2.C 因为，所以，所以或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
3.A 向量在向量上的投影向量为.
4.D 因为，所以共面；
因为，所以共面；
因为，所以共面；
因为不存在，使得，所以不共面.
5.A 因为，所以的一个单位方向向量为.
因为，所以点到直线的距离为.
6.C 设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知，所以.当三点共线时，，所以的最小值为.
7.B 连接（图略）.因为.
8.D （解法1）设，
因为，所以.
，所以.因为，所以.
因为，所以解得.
（解法2）设，
因为，所以，
所以.
因为，所以.因为存在.，所以在上有解.因为，且，所以在上有解，即在上有解.因为，所以解得.
9.ACD 若，则的方程可整理成，其表示焦点在轴上的椭圆，所以A正确；
若，则的方程可整理成，其表示双曲线，渐近线方程为，所以B不正确；
若，则的方程可整理成，其表示椭圆，离心率为，所以C正确；
若，则的方程可整理成，其表示双曲线，离心率为，所以D正确.
10.BC 对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，则球的内接正方体的内切球半径，球的半径，所以，所以表面积，体积，故A不正确，B正确.
对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，如图，可知.由，解得.
因为球的内接正四面体的体积，球的内接正四面体的表面积，所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确.
11.ACD 因为为底面内的动点，且，所以，所以动点
的轨迹是以为圆心，1为半径的圆落在底面内的部分，
所以动点的轨迹长度为，故A正确.
如图，建立空间直角坐标系，则，
设，因为，所以.
因为无解，
所以不存在满足条件的点，故B错误.
设平面的法向量为，因为，所以令，得.因为，所以点到平
面的距离，当时，，所以C确.
当或时，，所以D正确.
12. .
13. 由得.
14. 设点关于的对称点为，则解得即，所以.故的最小值为.
15.（1）证明：将直线的方程整理得，
令得即直线经过定点.
将点的坐标代入圆的方程得，
所以点在圆的内部，所以直线与圆相交.
（2）解：圆的圆心为，半径为3.
记点到直线的距离为，则.
记点为，因为，
所以.
16.解：（1）由题意可知
因为，所以椭圆的方程为.
（2）设，则
两式相减得，整理可得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.
17.（1）证明：取的中点，连接，由为正三角形，得.
因为平面平面且交于，所以平面，即为该三棱柱的高.
因为三棱柱的体积，且，所以.
因为，所以，即.
由平面平面且交于，可得平面.
因为平面，所以.因为，所以
在菱形中，.因为，所以平面.
（2）解：如图，以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则.
设平面的法向量为，因为.
所以
令，得.
设平面的法向量为，
因为，
所以
令，得.
因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.
18.解：如图，以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则.
（1）证明：因为，则，
设平面的法向量为，因为，所以
令，得.
因为，
所以，
所以平面.
（2）解：设平面的法向量为，因为，，
所以令，得.
设，则，
设平面的法向量为，因为，
所以令，得.假设平面平面，则.
由，解得，所以.
设与平面所成的角为，
则，
所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为.
19.（1）证明：联立方程组消去整理得，
即，整理得，解得，
所以直线与椭圆有且仅有一个交点，即切线方程为.
（2）解：由（1）中切线方程，令，得，令，得，
因为，所以直线，①
因为，所以直线，②
由①②得.
因为，得，所以动点的轨迹的方程为）.
（3）解：设直线的方程为，
联立方程组得，
则，所以.
因为直线的方程为，直线的方程为，
所以，所以，
所以，
整理得
所以，即点在定直线上.