北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共10小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集的运算即可求解.
【详解】解：，
，
故选：B．
2. 设复数,则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算法则,将求出,即可得该复数在复平面内对应的点的坐标.
【详解】解:由题知,
,
在复平面内对应的点的坐标是.
故选:A
3. 设且,则“”是“”成立的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】易知当时，成立，又当时，，所以“x>1”是“”成立的充分而不必要条件.故选A.
4. 已知向量满足，且，则（ ）
A. 12B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】借助向量的模长与数量积的关系计算即可得.
详解】.
故选：B.
5. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数单调性比较大小判断A，利用幂函数单调性比较大小判断B，利用对数函数单调性比较大小判断C，举特例判断D.
【详解】对于A，因为，所以指数函数单调递减，所以，错误；
对于B，因为，所以幂函数在0,+∞上单调递增，所以，正确；
对于C，因为，所以对数函数单调递减，所以，错误；
对于D，当时，满足，有，
此时不满足，错误.
故选：B
6. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图可得，求得，再利用图象过点，可得到，从而得到，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】由图象可知，解得，因为，所以，解得，
将代入解析式化简得，因为，则，得，
故，所以.
故选：A
7. 在中，若，，，则的面积是（ ）．
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理得，再根据得，进而得，最后求出,再利用三角形面积公式即可求出答案.
【详解】由余弦定理得，代入，得，
因为，所以，即
所以，解得，
因为，则,
所以，.
故选：D.
8. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.
【详解】依题意，，
由解得或
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集是.
故选：A
9. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，是偶函数，且在区间上单调递减，
由得，
所以，所以或，
所以或，
所以的取值范围是.
故选：D
10. 八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（ ）

①；
②；
③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由图可知对于线段长和夹角的值，由向量的相关计算分别得出对于命题的结果，从而得出结论.
【详解】由题意可知：，
∴，故①不成立；
∵，
∴，故②成立；
∵在上的投影：
∴在上的投影向量为，成立；故③成立；
如图：

当点在线段上时，此时在上的投影最大，
在中，，∴
∴
，故④不正确.
故选：C.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式、对数的性质列不等式组求定义域即可.
【详解】由题设，故，
所以定义域为.
故答案为：
12. 设等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】24
【解析】
【分析】根据等差数列的性质与前项和公式计算．
【详解】是等差数列，
∴，，
．
故答案为：24.
13. 在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝________，y＝________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.

考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
14. 已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数的解析式化简为，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出的表达式，即可得出正数的最小值.
【详解】，
将其图象向右平移个单位长度后所得的图象的函数解析式为，
由于函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，
，，
由于，当时，取得最小值.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
15. 已知函数给出下列四个结论：
①当时，存在唯一的零点；
②当时，存在最小值；
③当时，对任意，，；
④的零点个数为，则函数的值域为；
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①④
【解析】
【分析】①根据指数函数、二次函数性质求的最值判断；②由函数零点概念求解；③讨论，分析各段上零点的个数判断；④用特殊值判断即可.
【详解】当时，，令得，则有唯一零点，故①正确;
当时，，当时，在上单调递增，故的值域为；当时，在上单调递增，故的值域为；综上：的值域为，无最小值；故②不正确；
当时，，则，，，则，故③不正确；
至多有一个零点，至多有两个零点，当时，若，则由可得：或，故恒有两个零点；
当时，若，则存在一个零点；若，不存在零点，则时，零点的个数可能为2或3个；
若时，，当，，不存在零点，当时，，则，即；
若时，则，此时当时，，无零点，当时，也没有零点，即；
综上：的值域为，故④正确.
故答案为：①④.
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，求函数的最值及取得最值时自变量的值.
【答案】（1）周期为，单调递减区间为；
（2）时，函数有最大值；时，函数有最小值.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递减区间；
（2）由，可计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出函数的最大值和最小值及对应的的值.
【详解】（1），
所以，函数的最小正周期为.
解不等式，得，
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，.
当，即时，函数有最大值，最大值为.
当，即时，函数有最小值，且最小值为.
【点睛】本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用二倍角公式以及辅助角公式化简，并结合正余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17. 设的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．
第①组条件：，；
第②组条件：边上的高，；
第③组条件：，．
【答案】（1）
（2）选①不符合题意；选②；选③
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解；
（2）选①利用余弦定理可求出边，可判断不满足题意；选②先利用高和角列式可求出，然后利用余弦定理可求出边，进而求出面积；选③先求，然后利用正弦定理求出边，再结合两角和的正弦公式求，进而可求出面积.
【小问1详解】
因为，所以由正弦定理得,
又因为，所以，所以，
显然，则，
又因为，所以.
【小问2详解】
若选①，由余弦定理得，即，即，
解得或，不符合题意；
若选②，因为边上的高，所以，则，
由余弦定理得，即，即，
解得（舍去），
故唯一，符合题意，
此时的面积；
若选③，因为知道角，，边，所以唯一，符合题意，
因为，，所以，
由正弦定理得，
则，
此时的面积.
18. 设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）.
（2）条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【解析】
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【小问1详解】
因为
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
19. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；
（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望.
（3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系.
【小问1详解】
根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.
设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.
【小问2详解】
根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，
分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，
分别是第2场、第5场、第8场、第9场.
所以的所有可能取值为0，1，2.
，，.
所以的分布列为
所以.
【小问3详解】
由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，
而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以
，，
故.
20. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）判断极值点个数，并说明理由．
【答案】（1） （2）答案见解析
（3）；理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出导数，然后求出，从而求解.
（2）由（1）知，然后求出导数，从而可求解.
（3）根据（2）中分类讨论情况，然后求出相应的解，从而求出fx单调区间，从而求解.
【小问1详解】
由题意知，定义域为，所以，
所以直线的斜率，，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
由（1）知，所以，
令，即，解得或，
当，，
当，，
当，，
所以在，单调递增，在单调递减.
【小问3详解】
个极值点，理由如下：
由（2）知当时，在区间上单调递增，
，，
所以存在唯一，使；
当时，在区间上单调递减，
，，
所以存在唯一，使；
当时，，，所以
所以在区间无零点；
综上，当，，
当，，
当，，
所以当时，fx取到极小值；当时，fx取到极大值；
故fx有个极值点.
21. 已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
（1）分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集A具有性质P．
①当时，证明，且成等比数列；
②证明：．
【答案】（1）数集具有性质，不具有性质，理由见解析
（2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据性质P的定义带入数值判断即可；
（2）①根据题意分析可得，即可得结果；②采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，对其元素进行排序后对应相等可解.
【小问1详解】
数集具有性质，不具有性质，理由如下：
因为，，，，，都属于数集，所以具有性质；
因为，都不属于数集，所以不具有性质．
【小问2详解】
①当时，，．
因为，所以，，所以与都不属于A，
因此，，所以．
因为，且，所以，
且，所以，所以成等比数列．
②因为具有性质，所以，至少有一个属于A，
因为，所以，，因此，．
因为，所以（），
故当时，，，（），
又因为，
则，，，，，
可得，
所以.
【点睛】关键点点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差.题目了解之后再考虑提炼第二问的解决方法，本题采用了构造一个新的集合与原集合相等，得到答案.
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
0
1
2