北京市顺义区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1．本试卷共5页，共两部分，第一部分共10道小题，共40分，第二部分共11道小题，共110分，满分150分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
2. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求集合，再根据集合间的关系和运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
所以之间没有包含关系，且，故ABC错误，D正确；
故选：D.
3. 已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的单调性判断即可.
【详解】由得，，结合在上单调递减，
则必有，显然B正确，A错误，
而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.
故选：B
4. 已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解.
【详解】已知向量,,所以，
因为与共线，所以，解得：.
故选：C
5. 已知双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．
【详解】由已知可得双曲线的焦点在轴上时，，，
所以
，由，解得.
故选：A.
6. 设为等差数列的前项和．若，公差，，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先由等差数列的前项和公式求得，将转化为关于的方程求解.
【详解】根据题意：，公差，可知，
所以，
所以即为：，解得：.
故选：C
7. 已知，，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式可知当时，；反之不成立，即可得出结论.
【详解】若“”，可知当时，不成立，即可知充分性不成立；
若，可得，即可得，即必要性成立，
因此可得“”是“”的必要不充分条件；
故选：B
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，利用导数求得的单调性，再转化即可得解.
【详解】令，则，
所以当时，，
所以在上单调递减，
因为，，，
而，所以，即.
故选：A.
9. 地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：
用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④．其中，正确说法的个数有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，列方程组，根据方程组解的值，判断正确的说法.
【详解】设每个出口每秒可疏散的人数为（），由题意，可得方程组：，可得：.
因为，所以，所以①正确；
因为，所以，所以②正确；
因为，所以，所以③正确；
因为，所以，所以④错误.
故选：B
10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可求得，建立空间坐标系，利用已知设，，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果.
【详解】平面，，连接，由，可得，
四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系，
则，设，，
则，
所以
因为，则，则，
所以.
故选：D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）
【答案】10
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】展开式的通项为，
令，可得，
所以的系数为，
故答案为：10
12. 已知函数在上是奇函数，当时，，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据奇函数的定义得到，代入求解即可.
【详解】函数在上是奇函数，，
.
故答案为：.
13. 在中，，，则__________；__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由正切函数定义可求得，可得，再由正弦定理可得.
【详解】由，，可得；
所以可得，所以，即；
易知，，
由正弦定理可得；
故答案为：，
14. 已知，若存在，使，则正整数的一个取值是__________．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据三角函数的性质即可得，进而可求解.
【详解】由可得,
由于，所以不妨，，则，满足，
故答案为：3（答案不唯一）
15. 已知数列满足，给出下列四个结论：
①若，则数列中有无穷多项等于；
②若，则对任意，有；
③若，则存在，当时，有；
④若，则对任意，有；
其中，所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】对于①：根据递推公式分析求解即可；对于②④：根据递推公式结合基本不等式分析判断；对于③：根据递推公式结合基本不等式可知，分和两种情况，结合④中结论分析判断.
【详解】对于①：若，则，，
以此类推可知：，即数列an中有无穷多项等于，故①正确；
对于②：若，则，
，
以此类推可知：，
则，即，故②正确；
对于④：若，可知，，
以此类推，可知：，
且，
因为，可得，故④错误；
对于③：若，可知，当且仅当等号成立，
，当且仅当，即等号成立，
以此类推，可知：，当且仅当等号成立，
若，对任意，可得，显然成立；
若，且，可知当时，，
由④可知：当时，则，
当时，，
因为，对于结合指数性质可知：
存在且，当时，使得，
即；
综上所述：存在，当时，有，故③正确；
故选：①②③.
【点睛】关键点睛：对于③：根据④中结论分析可知：当时，，结合指数性质分析判断.
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数，求在区间上的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用定义求最小正周期和单调递增区间即可.
（2）利用导数求函数最值即可.
【小问1详解】
设的最小正周期为，显然，令，解得.
【小问2详解】
由已知得，，
当时，令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则最大值是.
17. 某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下：
假设在各路口是否遇到红灯相互独立．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率；
（3）假设交管部门根据实际路况，5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟．估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是“增加，不变还是减少”．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3）增加
【解析】
【分析】（1）易知这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯，计算可得结果；
（2）分别求出遇到不同红灯个数时满足题意的概率，由加法公式即可得出结果；
（3）利用期望值定义分别求出红灯时间调整前后红灯停留的总时间平均值，即可得出变化情况是增加的.
【小问1详解】
根据题意可知，这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯，
因此到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
【小问2详解】
依题意，若仅遇到一个红灯，停留的总时间不会不大于3分钟；
若遇到两个红灯，可知在路口一和路口二，路口一和路口三遇到红灯满足题意，
此时的概率为；
若遇到三个红灯，此时的概率为；
所以因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率为
【小问3详解】
根据题意可知，红灯时间没有调整前红灯停留的总时间的取值；
则，，，，
，，
；
可得；
时间都变为2分钟后因红灯停留的总时间的取值；
，，，
；
可得
显然；
所以调整后总时间的变化情况，是“增加”的．
18. 如图，在三棱柱中，E，F分别为，的中点，．

（1）求证：平面；
（2）若，平面平面，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值．
条件①：；条件②）：；条件③）：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
取中点,连接
由于分别为的中点，所以,
又,所以,
因此四边形为平行四边形，
故平面,平面,
故平面
【小问2详解】
由于平面平面，且交线为，又，平面，所以平面，
平面，故
若选①：；
因此，两两垂直，
故建立如图所示的空间直角坐标系，

,
故,
设平面法向量为m=x,y,z，
则，
取，则，
设与平面所成角为，则，
若选择条件②）：；
，，平面
所以平面平面故，
因此，两两垂直，
以下与选择①相同.
若选择条件③）：．
因为，所以由可以推出，
此时推不出.此时三棱柱不唯一，故不可选择作为已知条件，
19. 已知椭圆过点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为的直线与交于A，B两点（异于点P），直线，分别与轴交于点M，N，求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据，把点代入，即可求出椭圆方程．
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，得，所以，，计算直线的斜率与直线的斜率的和，即可根据对称求解.
【小问1详解】
由于，设所求椭圆方程为，
把点代入，得，，
椭圆方程为．
【小问2详解】
设直线的方程为，
代入椭圆方程，整理得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
，，，所以,
直线直线斜率为，
直线直线斜率为，
则
所以，，即直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
故直线与直线关于对称，
因此．
故
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
20. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上存在极值，求实数的取值范围：
（3）写出的零点个数．（直接写出结论即可）
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）分类讨论即可结合极值的定义求解，
（3）构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解交点个数求解.
【小问1详解】
当时，，则，
故，，
在点处的切线方程为，即
【小问2详解】
，
当时，在单调递增，此时无极值点，
当时，令或，
要使得在上存在极值，则需要，解得，
【小问3详解】
令，
令，则，
记，则，
当时，单调递减，时，单调递增，
且，时，， 而当时，，
作出大致图象如下：
故当时，无零点，
当或时，一个零点，
当时，两个零点，
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
21. 给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．
（1）分别判断集合与是否具有性质；
（2）若集合具有性质，求的值；
（3）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．
【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质
（2）
（3），，或
【解析】
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【小问1详解】
集合中，，
所以集合不具有性质，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；
【小问2详解】
若集合具有性质，记，则，
令，则，从而必有，
不妨设，则，且，
令，，则，且，且，
以下分类讨论：
1）当时，若，此时，满足性质；
若，舍；若，无解；
2）当时，则，注意且，可知无解；
经检验符合题意，
综上；
【小问3详解】
首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，
不妨设，其中，，
根据题意，
且，从而或，
1）当时，，
并且，，
由上可得，并且，
综上可知；
2）当时，同理可得，
据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，或.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
安全出口编号
疏散乘客时间
120
220
160
140
200
路口
路口一
路口二
路口三
遇到红灯的概率
遇到红灯停留的时间
3分钟
2分钟
1分钟