重庆市江津中学2025届九上数学开学统考模拟试题【含答案】

这是一份重庆市江津中学2025届九上数学开学统考模拟试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列说法中正确的是( )
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2、（4分）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，1．其中能作为直角三角形的三边长的有
A．1组B．2组C．3组D．4组
3、（4分）如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）已知a、b、c是的三边，且满足，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
6、（4分）以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．3，5，2C．6，9，14D．4，10，13
7、（4分）某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A．6cmB．12cmC．24cmD．36cm
8、（4分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x≥1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∠A=50°，则∠DFE= ________
​
10、（4分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，若CE=8，则DF的长是________．
11、（4分）如图，在平面直角坐标系中，有A（﹣3，4）、B（﹣1，0）、C（5，10）三点，连接CB，将线段CB沿y轴正方向平移t个单位长度，得到线段C1B1，当C1A+AB1取最小值时，实数t＝_____．
12、（4分）把方程x2+4xy﹣5y2＝0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．
13、（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长，与BA的延长线交于点F，证明：EF＝EC．
15、（8分）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．
①该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）
②若该厂每月生产的这种机器当月全部售出，则每个月生产多少台这种机器才能使每台机器的利润最大？
16、（8分）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE⊥AC与AD边的延长线交于点E．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）延长DB至点F，联结CF，若CF=BD，求∠BCF的大小．
17、（10分）问题发现：
（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为 ．
问题探究：
（2）如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；
问题解决：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值．
18、（10分）为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的长度如下表所示（单位：厘米）通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在五边形中，若，则______.
20、（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是 ．
21、（4分）已知直线过点和点，那么关于的方程的解是________．
22、（4分）如图，二次函数的图象过点A（3,0），对称轴为直线，给出以下结论：
①；②；③；④若M（-3，）、N（6，）为函数图象上的两点，则，其中正确的是____________．（只要填序号）
23、（4分）数据3,7,6，，1的方差是__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算
（1） ; （2）
25、（10分）已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为： ．
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE＝CF；
（3）求△AEF周长的最小值．
26、（12分）如图，正方形，点在边上，为等腰直角三角形.
（1）如图1，当，求证；
（2）如图2，当，取的中点，连接，求证：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
运用正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定可求解．
【详解】
解：A、有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形（如梯形），故该选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如梯形的对角线也可能垂直），故该选项错误；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确；
D、对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形（如菱形），故该选项错误；
故选：C．
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定，灵活运用这些判定定理是解决本题的关键．
2、C
【解析】
①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；
②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；
③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；
④72+242=12，∴能组成直角三角形．
故选C.
3、B
【解析】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，求EC的长.
【详解】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM=AE，
∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，
∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，
∴EC=2，
故选A.
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．
4、B
【解析】
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD=，∠BCD=90°．
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=．
故选：B．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
5、C
【解析】
由a3-ac2-ab2=0知a（a2-c2-b2）=0，结合a≠0得出a2=b2+c2，根据勾股定理逆定理可得答案．
【详解】
解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a≠0，b≠0，c≠0，
又a3-ac2-ab2=0，
∴a（a2-c2-b2）=0，
则a2-c2-b2=0，即a2=b2+c2，
∴△ABC一定是直角三角形．
故选：C．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握勾股定理逆定理与因式分解的运用．
6、A
【解析】
先分别求出两个小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【详解】
解：A、52+122＝132，即以5、12、13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、32+52≠（2）2，即以3、5、2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、62+92≠142，即以6、9、14为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、42+102≠132，即以4、10、13为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
7、A
【解析】
设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．
【详解】
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝1．
故选A．
本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
8、B
【解析】
根据二次根式有意义的条件判断即可．
【详解】
解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故选：B．
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、40°
【解析】
根据HL可证Rt△ABC≌Rt△DEF，由全等三角形的性质可得∠EDF=∠A=50°，即可求解.
【详解】
∵△ABC和△DEF是直角三角形且AC=DF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF.
∵∠A=50°，
∴∠EDF=∠A=50°，
∵△DEF是直角三角形，
∴∠EDF+∠DFE=90°.
∵∠EDF=50°，
∴∠DFE=90°-50°=40°.
故答案为40°.
本题主要考查全等三角形的性质与判定，以及直角三角形两个锐角互余，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键.
10、1
【解析】
根据直角三角形的性质得到AB=2CE=16，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
∵∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴AB=2CE=16，
∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF=AB=1．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
11、
【解析】
平移后的点B'（﹣1，t），C'（5，10+t），C1A+AB1取最小值时，A，B'，C'三点在一条直线上.
【详解】
解：将B（﹣1，0）、C（5，10）沿y轴正方向平移t个单位长度，
B'（﹣1，t），C'（5，10+t），
C1A+AB1取最小值时，A，B'，C'三点在一条直线上，
∴，
∴t＝；
故答案为；
考查最短距离问题，平面坐标变换；掌握平面内坐标的平移变换特点，利用三角形中两边之和大于第三边求最短距离是解题的关键．
12、x+5y＝1 x﹣y＝1
【解析】
通过十字相乘法,把方程左边因式分解,即可求解.
【详解】
∵x2+4xy﹣5y2＝1，
∴(x+5y)(x﹣y)＝1，
∴x+5y＝1或x﹣y＝1，
故答案为：x+5y＝1和 x﹣y＝1．
该题重点考查了因式分解中的十字相乘法,能顺利的把方程左边因式分解是解题的关键所在.十字相乘法相关的知识点是:必须是二次三项式,并且符合拆解的原则,即可利用十字相乘分解因式.
13、6
【解析】
首先在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，根据勾股定理，求出AC=4，然后求出以AC为直径的半圆面积为2π，以AB为直径的半圆面积为，以BC为直径的半圆面积为，Rt△ABC的面积为6，阴影部分的面积为2π+-（-6），即为6.
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴
以AC为直径的半圆面积为2π，
以AB为直径的半圆面积为，
以BC为直径的半圆面积为，
Rt△ABC的面积为6
阴影部分的面积为2π+-（-6），即为6.
此题主要考查勾股定理和圆面积公式的运用，熟练掌握，即可得解.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析.
【解析】
由题意可得AE=DE，∠FEA=∠DEC，∠FAE=∠D，则可证△AEF≌△DEC，则可得结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠EAF=∠EDC
∵E是AD中点
∴AE=DE
∵AE=DE，∠FEA=∠DEC，∠FAE=∠EDC
∴△EAF≌△DEC
∴EF=EC
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是熟练运用这些性质解决问题．
15、 (1)y=-0.5x+65(10≤x≤70，且为整数)；(2)①200万元；②10.
【解析】
(1)根据函数图象和图象中的数据可以求得y与x的函数关系式；
(2)①根据函数图象可以求得z与a的函数关系式，然后根据题意可知x＝40，z＝40，从而可以求得该厂第一个月销售这种机器的总利润；
②根据题意可以得到每台的利润和台数之间的关系式，从而可以解答本题．
【详解】
解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
即y与x的函数关系式为y=-0.5x+65(10≤x≤70，且为整数)；
(2)①设z与a之间的函数关系式为z=ma+n，
，得，
∴z与a之间的函数关系式为z=-a+90，
当z=40时，40=-a+90，得a=50，
当x=40时，y=-0.5×40+65=45，
40×50-40×45
＝2000-1800
＝200(万元)，
答：该厂第一个月销售这种机器的总利润为200万元；
②设每台机器的利润为w万元，
W=(-x+90)-(-0.5x+65)=-x+25，
∵10≤x≤70，且为整数，
∴当x=10时，w取得最大值，
答：每个月生产10台这种机器才能使每台机器的利润最大．
故答案为(1)y=-0.5x+65(10≤x≤70，且为整数)；(2)①200万元；②10.
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
16、（1）见解析；（2）∠BCF=15°
【解析】
(1) 利用正方形的性质得出AC⊥DB，BC//AD,再利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定方法得出答案;
(2)利用正方形的性质结合直角三角形的性质得出∠OFC=30°，即可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AC⊥DB，BC∥AD
∵CE⊥AC
∴∠AOD=∠ACE=90°
∴BD∥CE
∴BCED是平行四边形
（2）如图：连接AF，
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BD=AC=2OB=2OC，
即OB=OC
∴∠OCB=45°
∵ Rt△OCF中， CF=BD=2OC，
∴∠OFC=30°
∴∠BCF=60°-45°=15°
本题考查了正方形的性质以及平行四边形的判定和直角三角形的性质，掌握正方形的性质是解题关键．
17、（1）4；（2）5；（3）600（+1）．
【解析】
（1）如图①中，证明△EOB≌△FOC即可解决问题；
（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．利用四点共圆，证明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．
（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，首先证明AB+BC+BD＝（+1）BD，当BD最大时，AB+BC+BD的值最大．
【详解】
解：（1）如图①中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠BOC，
∴∠EOB＝∠FOC，
∴△EOB≌△FOC（SAS），
∴S△EOB＝S△OFC，
∴S四边形OEBF＝S△OBC＝•S正方形ABCD＝4，
故答案为：4；
（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．
∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DBC＝∠DAC，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠DBQ＝45°，
根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝BQ＝5．
（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BCD+∠BAD＝∠EAD+BAD＝180°，
∴B，A，E三点共线，
∵DE＝DB，∠EDB＝90°，
∴BE＝BD，
∴AB+BC＝AB+AE＝BE＝BD，
∴BC+BC+BD＝（+1）BD，
∴当BD最大时，AB+BC+BD的值最大，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴当BD为直径时，BD的值最大，
∵∠ADC＝90°，
∴AC是直径，
∴BD＝AC时，AB+BC+BD的值最大，最大值＝600（+1）．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
18、甲种水稻出苗更整齐
【解析】
根据平均数、方差的计算公式求出平均数和方差，再根据平均数、方差的意义，进行比较可得出结论．
【详解】
解：（厘米），
（厘米），
（厘米），
（厘米），
∵，
∴甲种水稻出苗更整齐．
本题考查平均数、方差的计算及意义，需熟记计算公式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、100
【解析】
根据五边形内角和即可求解.
【详解】
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠E=540°-（）=540°-440°=100°，
故填100.
此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知多边形的内角和公式.
20、1．
【解析】
试题分析：延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．
解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE=DE，
在△AEB和△KED中，
，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF=CK=（DC﹣DK）=（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC，
又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD，
∴EG+GF=（AD+BC），
∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC﹣AB=6，
∴EG+GF=6，FE=3，
∴△EFG的周长是6+3=1．
故答案为：1．
点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
21、
【解析】
观察即可知关于的方程的解是函数中y=0时x的值.
【详解】
解：∵直线过点
∴当y=0时x=-3
即的解为x=-3
故答案为：
本题考查了一次函数与一元一次方程的问题,掌握函数图像上的点与方程的关系是解题的关键.
22、①②③
【解析】
①根据函数图像的开口、对称轴以及与y轴的交点可得出a、b、c的正负，即可判断正误；
②根据函数对称轴可得出a、b之间的等量关系，将转化为，再由函数与x轴的交点关于对称轴对称，可得出另一个交点是（-1,0），即可得出的结果，即可判断正误；
③根据a、b之间的等量关系，将不等式中的b代换成a，化简不等式即可判断正误；
④根据开口向下的函数有最大值，距离顶点越近的函数值越大，先判断M、N距离顶点的距离即可判断两个点y值得大小.
【详解】
解：①∵函数开口向下，∴,
∵对称轴,,∴；
∵函数与y轴交点在y轴上半轴，∴，
∴；所以①正确；
②∵函数对称轴为，
∴，∴，
∵A（3,0）是函数与x轴交点，对称轴为，
∴函数与x轴另一交点为（-1,0）；
∵当时，，
∴，②正确；
③∵函数对称轴为，
∴，
∴将带入可化为：，
∵，不等式左右两边同除a需要不等号变方向，可得：
，
即，此不等式一定成立，所以③正确；
④M（-3，）、N（6，）为函数图象上的两点，
∵点M距离顶点4个单位长度，N点距离顶点5个单位长度，函数开口向下，距离顶点越近，函数值越大，
∴，所以④错误.
故答案为①②③.
本题考查二次函数图像与系数的关系，可通过开口判断a的正负，再根据对称轴可判断a、b的关系，即“左同右异”，根据函数与y轴交点的正负可判断c的正负；根据对称轴的具体值可得出a、b之间的等量关系；在比较函数值大小的时候，开口向下的二次函数上的点距离顶点越近，函数值越大即可判断函数值大小.
23、10.8
【解析】
根据平均数的计算公式先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
【详解】
解：这组数据的平均数是：（3+7+6-2+1）÷5=3，
则这组数据的方差是：
[（3-3）2+（7-3）2+（6-3）2+（-2-3）2+（1-3）2]=10.8
故答案为：10.8
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1） （2）
【解析】
（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可。
（2）根据完全平方式和平方差公式展开，再根据二次根式的混合运算进行计算即可
【详解】
解：（1）原式=
=
（2）原式=
=
=
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方式和平方差公式和二次根式的混合运算法则是解题的关键
25、（1）AE＝EF＝AF；（2）详见解析；（3）6．
【解析】
（1）结论AE＝EF＝AF．只要证明AE＝AF即可证明△AEF是等边三角形；
（2）欲证明BE＝CF，只要证明△BAE≌△CAF即可；
（3）根据垂线段最短可知；当AE⊥BC时，△AEF的周长最小；
【详解】
（1）AE＝EF＝AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°
∵BE＝EC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，
∵∠EAF＝60°，
∴∠CAF＝∠DAF＝30°，
∴AF⊥CD，
∴AE＝AF（菱形的高相等）
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF．
故答案为AE＝EF＝AF；
（2）证明：如图2，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
∴△BAE≌△CAF（ASA）
∴BE＝CF．
（3）由（1）可知△AEF是等边三角形，
∴当AE⊥BC时，AE的长最小，即△AEF的周长最小，
∵AE＝EF＝AF＝2，
∴△AEF的周长为6．
本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
26、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）可证，易知三角形FCG为等腰直角三角形，即，再求出；
（2）添加辅助线，连接，在上截取，使得，连接，先求证，继而可证，在中，利用勾股定理即可求证.
【详解】
解：作
四边形是正方形
是等腰直角三角形
连接，在上截取，使得，连接
为等腰直角三角形，
四边形是正方形
三点共线
为的中点，
在中，
即
本题是正方形与三角形的综合，主要考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理，辅助线的添加难度较大.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
x单位：台）
10
20
30
y（单位：万元/台）
60
55
50
编号
1
2
3
4
5
甲
12
13
14
15
16
乙
13
14
16
12
10