重庆市2024年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份重庆市2024年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知二次函数y＝ax1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b1﹣4ac＝0；③a＞1；④ax1+bx+c＝﹣1的根为x1＝x1＝﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y1）为函数图象上的两点，则y1＞y1．其中正确的个数是（ ）
A．1B．3C．4D．5
2、（4分）如图，在正方形中，为边上一点，将沿折叠至处， 与交于点，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4、（4分）已知，顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连接新的矩形各边的中点得到一个新的菱形，如图3；……如此反复操作下去，则第2018个图形中直角三角形的个数有（ ）
A．2018个B．2017个C．4028个D．4036个
5、（4分）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）若，则下列式子成立的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32，42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8、（4分）以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是
A．2，3，4B．，，C．，，1D．6，9，13
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，中，，，点为边上一动点（不与点、重合），当为等腰三角形时，的度数是________.
10、（4分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，DE的长=________________．
11、（4分）正方形，，按如图所示放置，点、、在直线上，点、、在x轴上，则的坐标是________．
12、（4分）如图，在己知的中，按以一下步骤作图:①分别以为圆心，大于的长为半径作弧，相交于两点;②作直线交于点，连接.若,,则的度数为___________.
13、（4分）如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2＜0的解集为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
15、（8分）先化简，再求值：当a=7时，求a+的值．
16、（8分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
17、（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
18、（10分）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，顺风车行经营的型车2017年7月份销售额为万元，今年经过改造升级后，型车每辆的销售价比去年增加元，若今年7月份与去年7月份卖出的型车数量相同，则今年7月份型车销售总额将比去年7月份销售总额增加.求今年7月份顺风车行型车每辆的销售价格．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知函数，则自变量x的取值范围是___________________．
20、（4分）若分式值为0，则的值为__________．
21、（4分）直线与直线平行，则__________．
22、（4分）若一组数据1，3，，5，4，6的平均数是4，则这组数据的中位数是__________.
23、（4分）已知方程，如果设，那么原方程可以变形成关于的方程为__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）遂宁骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，某车行经营的A型车去年2月份销售总额为3万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加300元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加20%．
（1）求今年2月份A型车每辆销售价多少元？
（2）该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共40辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，A、B两种型号车的进货和销售价格如表，问应如何进货才能使这批车获利最多？
25、（10分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6cm， ∠BAO＝30°，点F为AB的中点.
（1）求OF的长度；
（2）求AC的长.
26、（12分）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉的种植费用（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元.
（1）直接写出当和时，与的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
解：①由抛物线的对称轴可知：，
∴，
由抛物线与轴的交点可知：，
∴，
∴，故①正确；
②抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴，故②正确；
③令，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④由图象可知：令，
即的解为,
∴的根为，故④正确；
⑤∵，
∴，故⑤正确；
故选D．
考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.
2、B
【解析】
首先利用正方形性质得出∠B=∠BCD=∠BAD=90°，从而得知∠ACB=∠BAC=45°，然后进一步根据三角形外角性质可以求出∠BEF度数，再结合折叠性质即可得出∠BAE度数，最后进一步求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=∠BAD=90°，
∴∠ACB=∠BAC=45°，
∵∠EFC=69°，
∴∠BEF=∠EFC+∠ACB=114°，
由折叠性质可得：∠BEA=∠BEF=57°，
∴∠BAE=90°−57°=33°，
∴∠EAC=45°−33°=12°，
故选：B.
本题主要考查了正方形性质与三角形外角性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
3、A
【解析】
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.
【详解】
移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为1得，，
在数轴上表示为：
.
故选：.
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键.
4、D
【解析】
写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n，根据此规律求解即可．
【详解】
第1，2个图形各有4个直角三角形；
第3，4个图形各有8个直角三角形；
第5，6个图形各有12个直角三角形……
第2017，2018个图形各有4036个直角三角形，
故选:D．
本题主要考查了中点四边形、图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．
5、B
【解析】
先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判定即可．
【详解】
解：A、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误．
B、=2，与的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确．
C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误．
D、=3 ，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：B．
本题考查同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．
6、B
【解析】
由，设x=2k，y=3k，然后将其代入各式，化简求值即可得到答案
【详解】
因为，设x=2k，y=3k
∴，故A错
，故B对
，故C错
，故D错
选B
本题考查比例的性质，属于简单题，解题关键在于掌握由，设x=2k，y=3k的解题方法
7、C
【解析】因为72+242=252；122+162=202；92+402=412；42+62≠82；（32）2+（42）2≠（52）2，所以能组成直角三角形的个数为3个.
故选C.
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，已知一个三角形三边的长，常用勾股定理的逆定理判断这个三角形是否是直角三角形.
8、C
【解析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、，不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、，能构成直角三角形，故本选项正确；
D、，不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：C．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、或
【解析】
根据AB=AC，∠A=40°，得到∠ABC=∠C=70°，然后分当CD=CB时和当BD=BC时两种情况求得∠ABD的度数即可．
【详解】
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
当CD=CB时，
∠CBD=∠CDB=(180°-70°) ÷2=55°，
此时∠ABD=70°-55°=15°；
当BD=BC时，
∠BDC=∠BCD=70°，
∴∠DBC=180°-70°-70°=40°，
∴∠ABD=70°-40°=30°，
故答案为：15°或30°．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不是很大，是常考的题目之一．
10、5
【解析】
首先根据矩形的性质可得出AD∥BC，即∠1=∠3，然后根据折叠知∠1=∠2，C′D=CD、BC′=BC，可得到∠2=∠3，进而得出BE=DE，设DE=x，则EC′=8-x，利用勾股定理求出x的值，即可求出DE的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即∠1=∠3，
由折叠知,∠1=∠2,C′D=CD=4、BC′=BC=8，
∴∠2=∠3，即DE=BE，
设DE=x,则EC′=8−x，
在Rt△DEC′中,DC′2+EC′2=DE2
∴42+(8−x)2=x2解得：x=5，
∴DE的长为5.
本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质和矩形的性质.
11、
【解析】
先求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可得出的坐标．
【详解】
解：∵直线y=x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），即OA1=1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1=OA1=1，
把x=1代入y=x+1得：y=2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理，A3的坐标为（3，4），
…
∴An的坐标为（2n-1-1，2n-1），
∴的坐标是，
故答案为：．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
12、105°
【解析】
根据垂直平分线的性质，可知，BD=CD，进而，求得∠BCD的度数，由，，可知，∠ACD=80°，即可得到结果.
【详解】
根据尺规作图，可知，MN是线段BC的中垂线，
∴BD=CD，
∴∠B=∠BCD，
又∵，
∴∠A=∠ADC=50°，
∵∠B+∠BCD=∠ADC=50°，
∴∠BCD==25°，
∵∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-50°-50°=80°，
∴=∠BCD+∠ACD=25°+80°=105°.
本题主要考查垂直平分线的性质定理以及等腰三角形的性质定理与三角形外角的性质，求出各个角的度数，是解题的关键.
13、-1＜x＜1．
【解析】
先将点P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣1，求出n的值，再找出直线y=1x+m落在y=﹣x﹣1的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】
解：∵一次函数y=﹣x﹣1的图象过点P（n，﹣4），
∴﹣4=﹣n﹣1，解得n=1，
∴P（1，﹣4），
又∵y=﹣x﹣1与x轴的交点是（﹣1，0），
∴关于x的不等式1x+m＜﹣x﹣1＜0的解集为﹣1＜x＜1．
故答案为﹣1＜x＜1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】
原式＝
=，
当a＝+1时，原式＝．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15、，13
【解析】
先根据二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】
原式=
当a=7时，
原式=
本题考查的是二次根式的性质化简求值，熟知二次根式的性质是解答此题的关键．
16、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
17、证明见详解.
【解析】
（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可.
（2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可.
【详解】
（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形
∴AG=DC
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE=AG，DF=DC，
即GE=DF，GE∥DF
∴四边形DEGF是平行四边形
（2）连接DG，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AD=CG
∵G为BC中点，
∴BG=CG=AD
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB∥DG
∵∠B=90°，
∴∠DGC=∠B=90°
∵F为CD中点，
∴GF=DF=CF，
即GF=DF
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形.
18、2000
【解析】
设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x＋400）元，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x＋400）元，
根据题意得
解得x＝1600，
经检验，x＝1600是方程的解．
答：今年A型车每辆2000元．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分式方程必须检验.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
分析：根据函数的自变量取值范围的确定方法，从分式和二次根式有意义的条件列不等式求解即可.
详解：由题意可得
解得x≥-2且x≠3.
故答案为：x≥-2且x≠3.
点睛：此题主要考查了函数的自变量的取值范围，关键是明确函数的构成：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于0等条件.
20、-1
【解析】
根据分式值为0的条件进行求解即可.
【详解】
由题意得，x+1=0，
解得x=-1，
故答案为：-1.
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0时，分子为0且分母不为0是解题的关键.
21、
【解析】
根据平行直线的k相同可求解.
【详解】
解：因为直线与直线平行，所以
故答案为：
本题考查了一次函数的图像，当时，直线和直线平行.
22、4.5
【解析】
根据题意可以求得x的值，从而可以求的这组数据的中位数．
【详解】
解：∵数据1、3、x、5、4、6的平均数是4，
∴
解得：x=5，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6
则中位数为
故答案为：4.5
本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
23、（或）
【解析】
观察方程的两个分式具备的关系，如果设，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程．去分母即可．
【详解】
∵=
∴把代入原方程得：，
方程两边同乘以y整理得：.
此题考查换元法解分式方程，解题关键在利用换元法转化即可.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）今年的销售价为1800元；（2）购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
【解析】
（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，然后依据今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同列方程求解即可；
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，然后列出W与m的函数关系式，然后依据一次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，
则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，
根据题意得：，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，
则今年的销售价为1500+300＝1800元．
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，
根据题意得：
w＝（1800﹣900）m+（2000﹣1000）（40﹣m）＝﹣10m+1．
又∵40﹣m≤2m，
∴m≥13．
∵k＝﹣100＜0，
∴当m＝14时，w取最大值．
答：购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，依据题意列出分式方程、得到W与m的函数关系式是解题的关键．
25、 (1) ；（2）.
【解析】
分析：(1)由四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，由点F为AB的中点，得到OF=AB，即可得到结论；
（2）在Rt△AOB中，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到OB的长，然后由勾股定理求得OA的长，继而求得AC的长．
详解：(1)∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
在RtΔAOB中，OF为斜边AB边上的中线，
∴OF=AB=3cm ；
（2）在Rt△AOB中， ∠BAO＝30°， ∴OB=AB=3 ，
由勾股定理得：OA==3，∴AC=OA=6．
点睛：本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形以及勾股定理．熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
26、（1）；（2）应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元.
【解析】
分析：（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000-a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
详解：（1）
（2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为.
.
当时，.
当时，元.
当时，.
当时，元.
，当时，总费用最低，最低为119000元.
此时乙种花卉种植面积为.
答：应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元.
点睛：本题是看图写函数解析式并利用解析式解决问题的题目，考查分段函数的表达和分类讨论的数学思想．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
A型车
B型车
进货价格（元/辆）
900
1000
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2000