热点专题 3.1 导数的概念与运算（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题3-1 导数的概念与运算
模块一
总览
热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171547347" 【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率）
\l "_Tc171547348" 【题型2】 导数的定义中极限的简单计算
\l "_Tc171547349" 【题型4】导数的运算
\l "_Tc171547350" 【题型3】导数的几何意义初步
\l "_Tc171547351" 【题型5】复合函数求导
\l "_Tc171547352" 【题型6】导数的赋值运算
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率）
1.求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).
2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆．
函数在区间，上的平均变化率为15，则实数的值为
A．B．C．1D．2
已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________．
【巩固练习1】某物体的运动方程为，若（位移单位：，时间单位：，则下列说法中正确的是
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．是物体从到△这段时间内的速度
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到△这段时间内的平均速度
【巩固练习2】若函数在区间，△上的平均变化率为，在区间△，上的平均变化率为，则
A．
B．
C．
D．与的大小关系与的取值有关
【巩固练习3】如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【题型2】 导数的定义中极限的简单计算
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
导数的物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
若函数在区间内可导，且，则 的值为（ ）
A．B．
C．D．0
（2024·江苏南通·二模）已知，当时， .
【巩固练习1】设函数可导，（1）则 ．
【巩固练习2】函数在区间内可导，且若，则
A．B．C．D．不确定
【巩固练习3】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型4】导数的运算
一、基本初等函数的导数公式
二、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
特别地：
①，
②，
求下列函数的导数．
(1)(2)；
设函数，则的值为（ ）
A．10B．59C．D．0
【巩固练习1】求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
【巩固练习2】求下列函数的导函数．
(1)；
(2)；
【巩固练习3】在等比数列中，，若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【题型3】导数的几何意义初步
导数的几何意义
导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小，函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
（23-24高三上·福建福州·期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是
A．（2）（4）（2）（4）B．（4）（2）（4）（2）
C．（2）（4）（4）（2）D．（4）（2）（4）（2）
【巩固练习2】（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A．B．1C．D．
【题型5】复合函数求导
简单复合函数的导数
（1）复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
（2）复合函数的求导法则 正确地拆分复合函数是求导的前提
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
求下列函数的导数．
(1)；(2)；
【巩固练习1】求下列各函数的导数：
(1)；(2)
【巩固练习2】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【巩固练习3】求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
【题型6】导数的赋值运算
若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解
已知函数（是的导函数），则________
已知函数满足满足；求的解析式
（2024·全国·模拟预测）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ．
【巩固练习1】已知函数f(x)=f '(1)+xln x,则f(e)=________
【巩固练习2】已知函数的导函数为，且满足，则______
【巩固练习3】已知函数y=f(x),其导函数y=f '(x)满足f(x)=2xf '(e)+ln x,则f '(e)= .
【巩固练习4】已知函数，则__________.
【巩固练习5】已知，则 .近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年甲卷第6题，5分
高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．
（1）导数的概念和定义
（2）导数的运算
（3）求过某点的切线方程
2024年I卷第13题，5分
2023年甲卷第8题，5分
2021年I卷第7题，5分
2021年甲卷第13题，5分
原函数
导函数
（为常数）