专题02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）(典型题型归类训练) -2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14047" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc14047 \h 1
\l "_Tc15273" 二、典型题型 PAGEREF _Tc15273 \h 2
\l "_Tc7229" 题型一：求已知函数（不含参）的单调区间 PAGEREF _Tc7229 \h 2
\l "_Tc21462" 题型二：已知函数在区间上单调求参数 PAGEREF _Tc21462 \h 3
\l "_Tc28284" 题型三：已知函数在区间上存在单调区间求参数 PAGEREF _Tc28284 \h 5
\l "_Tc12773" 题型四：已知函数在区间上不单调求参数 PAGEREF _Tc12773 \h 7
\l "_Tc26255" 题型五：已知函数在单调区间的个数 PAGEREF _Tc26255 \h 9
\l "_Tc24853" 三、专项训练 PAGEREF _Tc24853 \h 11
一、必备秘籍
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
2、已知函数的递增（递减）区间为
，是的两个根
3、已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
4、已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调递增区间，有解.
②已知在区间上单调递区间减，有解.
5、已知函数在区间上不单调，使得（且是变号零点）
二、典型题型
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为，所以，
由已知得 ，解得，
所以，所以，
由，解得，所以函数的单调递增区间是.
故选：C．
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求导，再由求解.
【详解】解：因为，
所以，
由，即，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
故选：D
3．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的单调增区间为 .
【答案】
【分析】根据导函数求单调区间即可.
【详解】函数的定义域为R，，令，解得，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
4．（2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】先确定函数定义域，利用导数与函数单调性的关系求单调增区间.
【详解】函数的定义域为，
，
由得或（因为，故舍去），
所以在区间上单调递增．
故答案为：
题型二：已知函数在区间上单调求参数
1．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
2．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数求导后，在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得.
【详解】由函数（且）在区间上单调递增，
得在区间上恒成立，
又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可，
令，
若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正；
若，则，则一次函数在区间单调递增，
所以只需，即，解得，
故答案为：.
3．（22-23高二下·全国·课后作业）函数在上的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】直接利用导数求递增区间即可.
【详解】由题意得，则，又，
解得，所以函数的单调递增区间为，
故答案为：.
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用函数的单调性转化为在区间上恒成立，
构造函数，利用导数求最小值即可求得即.
【详解】因为，所以．
由的图象在区间上单调递增，
可知不等式即在区间上恒成立．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
故要使在上恒成立，只需．
由，解得，
故实数a的取值范围为，则a的最小值为．
故答案为：
题型三：已知函数在区间上存在单调区间求参数
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
2．（2023高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是 .
【答案】
【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可.
【详解】，
因为函数存在单调递减区间，
所以存在，使得小于零，
所以导函数的判别式，解得或，
所以实数的取值范围为是，
故答案为：.
4．（2024高二·全国·专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意知，存在使得，利用参变量分离法得出，利用基本不等式在时的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即.
当时，，
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
题型四：已知函数在区间上不单调求参数
1．（2024高三下·全国·专题练习）若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】先将问题转化成求或在上恒成立，注意到，从而转化成在上恒成立，从而求得，再求其补集，即可解决问题.
【详解】若在上单调函数，则或在上恒成立，
由题意，，注意到，所以只能恒成立，即在上恒成立，
所以，解得：，
因为在上不是单调函数，所以的取值范围是.
故答案为：.
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求导，根据导函数的正负与单调性的关系将问题转化为在区间上有解，即可分类讨论求解.
【详解】函数的导数，
若在区间上不是单调函数，
则在区间上有解，
由在区间上有解，
即在区间上有解，
若，显然不符合题意；
若，即，即
此时，
若在区间上有解，
则，平方得，即，
故实数的取值范围是，
故答案为：.
3．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解.
【详解】由题意单调递增，且，
所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，
则，解得.
故答案为：.
4．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数在内存在极值点，根据导函数在上单调递增可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则，
因为函数在上不是单调函数，则函数在内存在极值点，
又因为函数在上是增函数，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
题型五：已知函数在单调区间的个数
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.
【详解】由题意得函数的定义域为，，
要使函数恰有三个单调区间，
则有两个不相等的实数根，∴，解得且，
故实数a的取值范围为，
故选：C.
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围．
【详解】，
由于函数有三个单调区间，
∴有两个不相等的实数根，∴．
故选：C．
3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解.
【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，
即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，
令，则，故当 单调递增，
当 单调递减，且
即，
故选：BD
4．（23-24高三·全国·对口高考）设函数恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．
【答案】.
【分析】根据导数与函数的单调性的关系，分和讨论结合条件即得.
【详解】由题可知的定义域为R，，
若，则恒成立，此时在R上单调递增，即只有一个单调区间，不符题意；
若，由解得，
由解得或，
此时在上单调递增，在与上单调递减，共有三个单调区间，符合题意；
所以a的取值范围是．
三、专项训练
1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．
【详解】由得：，即的定义域为；
因为，
所以当时，；当时，；
所以的单调递增区间为．
故选：A.
2．（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知在上单调递增，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，结合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由在上单调递增，
得在上恒成立，
即，恒成立，而在上单调递增，即，
故，
故选：A
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立．利用二次函数的性质求出在上的最大值即可得答案.
【详解】解：的定义域为，且在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，
，
即实数的取值范围为．
故选：B
4．（23-24高二下·广东清远·期中）已知函数，则的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将函数求导，求得导函数的零点，结合函数定义域，由即可求得.
【详解】由求导得，，
因，由可得，即的单调递减区间是.
故选：B.
5．（23-24高二下·重庆·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可求参数的取值范围.
【详解】由得，
当在区间上单调递增时，即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
对应函数在上单调递减，则，故.
故选：A
6．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用导数求出函数的单调区间，然后列不等式求解即可
【详解】，故，
且．
由，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
若在内不是单调函数，则解得，
故选：C．
7．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据在有解，结合参变分离，即可求得参数范围.
【详解】，若在区间内存在单调递增区间，
则在有解，故有解，
而在递增，，故.
故选：A.
8．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题意可知，对任意的，，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的值域，即可得出实数的最小值.
【详解】由得，
因为函数在区间上单调递减，则对任意的，，
可得，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，当时，，
即，所以，，故的最小值为.
故选：B.
9．（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】AB
【分析】根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，求出的最小值，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
由题知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，所以，故，即，
故选：AB.
10．（多选）（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0B．1C．2D．e
【答案】CD
【分析】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数单调递增，所以，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
11．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求得的导函数，进而求得函数的单调递减区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值范围.
【详解】因为，
令，可得，
所以要使函数在区间上单调递减，
则区间是区间的子区间，
所以，求解不等式组可得：，
解得，所以实数的取值范围是.
故答案是：.
12．（2024高三下·全国·专题练习）若函数 在区间 上单调递增， 则 的最小值为 .
【答案】
【分析】由函数 在区间 上单调递增，转化为 对 恒成立，求参数的取值范围即可.
【详解】因为函数 在区间 上单调递增，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
与目标式 比较，令 ，得 ，
因此令 (等比例赋值法),
则 . ( 时等号成立).
所以 的最小值为 .
故答案为：
13．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】函数在上存在单调递增区间，转化为在上有解，利用二次函数的性质求实数的取值范围．
【详解】函数在上存在单调递增区间，
由，则在上有解．
令，因为，所以只需或，
即或，解得．
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数在区间[1,2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，分离参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围.
【详解】因为，，，
若在上存在单调递增区间，则在上有解，
即在上有解，，
又，，则的取值范围是：.
故答案为：.