专题07 利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练) -2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题07 利用导函数研究函数零点问题
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14368" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc14368 \h 1
\l "_Tc252" 二、典型题型 PAGEREF _Tc252 \h 2
\l "_Tc10002" 题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题 PAGEREF _Tc10002 \h 2
\l "_Tc16576" 题型二：证明唯一零点问题 PAGEREF _Tc16576 \h 4
\l "_Tc26133" 题型三：根据零点（根）的个数求参数 PAGEREF _Tc26133 \h 5
\l "_Tc7268" 三、专项训练 PAGEREF _Tc7268 \h 7
一、必备秘籍
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
4、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
二、典型题型
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题
1．（2024·广东梅州·二模）已知函数，，（）．
(1)证明：当时，；
(2)讨论函数在上的零点个数．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数，．
(1)求的值;
(2)求在上的零点个数．
3．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）．
(1)讨论的单调性；
(2)讨论的零点个数．
4．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）给定函数.
(1)求的极值;
(2)讨论解的个数.
题型二：证明唯一零点问题
1．（2024·浙江杭州·二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数在区间内恰有一个极值点，其中为自然对数的底数.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：在区间内有唯一零点.
3．（2024高三上·全国·专题练习）已知，函数，.证明：函数，都恰有一个零点.
4．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明：有唯一零点．
题型三：根据零点（根）的个数求参数
1．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数.
(1)时，证明：时，；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数．
(1)当的图象与轴相切时，求实数的值；
(2)若关于的方程有两个不同的实数根，求的取值范围．
4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，，为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)判断函数能否有3个零点？若能，试求出的取值范围；若不能，请说明理由.
5．（23-24高二下·天津·阶段练习）若函数，当时，函数有极值．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
三、专项训练
1．（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数，的值；
(2)证明：函数有两个零点．
3．（2024·福建·模拟预测）已知函数在处的切线在轴上的截距为．
(1)求的值；
(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围．
4．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数，曲线在点处切线斜率为
(1)求的值；
(2)求证：有且只有一个极值点；
(3)求证：方程无解．
5．（2024·辽宁·二模）已知函数．
(1)求曲线的平行于x轴的切线的切点横坐标；
(2)证明曲线与x轴恰有两个交点．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，方程有两个解，求参数的取值范围.
7．（23-24高二下·浙江·期中）设
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若方程有3个不同的实根， 求a的取值范围．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
9．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数在处取得极值．
(1)确定的值并求的单调区间；
(2)若关于的方程至多有两个根，求实数的取值范围．
10．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)关于x的方程有两个不同的实数解，求实数a的取值范围.