专题02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）(典型题型归类训练) -2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）

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二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
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专题02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14047" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc14047 \h 1
\l "_Tc15273" 二、典型题型 PAGEREF _Tc15273 \h 2
\l "_Tc7229" 题型一：求已知函数（不含参）的单调区间 PAGEREF _Tc7229 \h 2
\l "_Tc21462" 题型二：已知函数在区间上单调求参数 PAGEREF _Tc21462 \h 3
\l "_Tc28284" 题型三：已知函数在区间上存在单调区间求参数 PAGEREF _Tc28284 \h 5
\l "_Tc12773" 题型四：已知函数在区间上不单调求参数 PAGEREF _Tc12773 \h 7
\l "_Tc26255" 题型五：已知函数在单调区间的个数 PAGEREF _Tc26255 \h 9
\l "_Tc24853" 三、专项训练 PAGEREF _Tc24853 \h 11
一、必备秘籍
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
2、已知函数的递增（递减）区间为
，是的两个根
3、已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
4、已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调递增区间，有解.
②已知在区间上单调递区间减，有解.
5、已知函数在区间上不单调，使得（且是变号零点）
二、典型题型
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为，所以，
由已知得 ，解得，
所以，所以，
由，解得，所以函数的单调递增区间是.
故选：C．
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求导，再由求解.
【详解】解：因为，
所以，
由，即，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
故选：D
3．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的单调增区间为 .
【答案】
【分析】根据导函数求单调区间即可.
【详解】函数的定义域为R，，令，解得，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
4．（2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】先确定函数定义域，利用导数与函数单调性的关系求单调增区间.
【详解】函数的定义域为，
，
由得或（因为，故舍去），
所以在区间上单调递增．
故答案为：
题型二：已知函数在区间上单调求参数
1．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
2．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数求导后，在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得.
【详解】由函数（且）在区间上单调递增，
得在区间上恒成立，
又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可，
令，
若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正；
若，则，则一次函数在区间单调递增，
所以只需，即，解得，
故答案为：.
3．（22-23高二下·全国·课后作业）函数在上的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】直接利用导数求递增区间即可.
【详解】由题意得，则，又，
解得，所以函数的单调递增区间为，
故答案为：.
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用函数的单调性转化为在区间上恒成立，
构造函数，利用导数求最小值即可求得即.
【详解】因为，所以．
由的图象在区间上单调递增，
可知不等式即在区间上恒成立．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
故要使在上恒成立，只需．
由，解得，
故实数a的取值范围为，则a的最小值为．
故答案为：
题型三：已知函数在区间上存在单调区间求参数
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
2．（2023高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是 .
【答案】
【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可.
【详解】，
因为函数存在单调递减区间，
所以存在，使得小于零，
所以导函数的判别式，解得或，
所以实数的取值范围为是，
故答案为：.
4．（2024高二·全国·专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意知，存在使得，利用参变量分离法得出，利用基本不等式在时的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即.
当时，，
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
题型四：已知函数在区间上不单调求参数
1．（2024高三下·全国·专题练习）若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】先将问题转化成求或在上恒成立，注意到，从而转化成在上恒成立，从而求得，再求其补集，即可解决问题.
【详解】若在上单调函数，则或在上恒成立，
由题意，，注意到，所以只能恒成立，即在上恒成立，
所以，解得：，
因为在上不是单调函数，所以的取值范围是.
故答案为：.
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求导，根据导函数的正负与单调性的关系将问题转化为在区间上有解，即可分类讨论求解.
【详解】函数的导数，
若在区间上不是单调函数，
则在区间上有解，
由在区间上有解，
即在区间上有解，
若，显然不符合题意；
若，即，即
此时，
若在区间上有解，
则，平方得，即，
故实数的取值范围是，
故答案为：.
3．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解.
【详解】由题意单调递增，且，
所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，
则，解得.
故答案为：.
4．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数在内存在极值点，根据导函数在上单调递增可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则，
因为函数在上不是单调函数，则函数在内存在极值点，
又因为函数在上是增函数，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
题型五：已知函数在单调区间的个数
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.
【详解】由题意得函数的定义域为，，
要使函数恰有三个单调区间，
则有两个不相等的实数根，∴，解得且，
故实数a的取值范围为，
故选：C.
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围．
【详解】，
由于函数有三个单调区间，
∴有两个不相等的实数根，∴．
故选：C．
3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解.
【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，
即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，
令，则，故当 单调递增，
当 单调递减，且
即，
故选：BD
4．（23-24高三·全国·对口高考）设函数恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．
【答案】.
【分析】根据导数与函数的单调性的关系，分和讨论结合条件即得.
【详解】由题可知的定义域为R，，
若，则恒成立，此时在R上单调递增，即只有一个单调区间，不符题意；
若，由解得，
由解得或，
此时在上单调递增，在与上单调递减，共有三个单调区间，符合题意；
所以a的取值范围是．
三、专项训练
1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．
【详解】由得：，即的定义域为；
因为，
所以当时，；当时，；
所以的单调递增区间为．
故选：A.
2．（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知在上单调递增，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，结合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由在上单调递增，
得在上恒成立，
即，恒成立，而在上单调递增，即，
故，
故选：A
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立．利用二次函数的性质求出在上的最大值即可得答案.
【详解】解：的定义域为，且在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，
，
即实数的取值范围为．
故选：B
4．（23-24高二下·广东清远·期中）已知函数，则的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将函数求导，求得导函数的零点，结合函数定义域，由即可求得.
【详解】由求导得，，
因，由可得，即的单调递减区间是.
故选：B.
5．（23-24高二下·重庆·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可求参数的取值范围.
【详解】由得，
当在区间上单调递增时，即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
对应函数在上单调递减，则，故.
故选：A
6．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用导数求出函数的单调区间，然后列不等式求解即可
【详解】，故，
且．
由，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
若在内不是单调函数，则解得，
故选：C．
7．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据在有解，结合参变分离，即可求得参数范围.
【详解】，若在区间内存在单调递增区间，
则在有解，故有解，
而在递增，，故.
故选：A.
8．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题意可知，对任意的，，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的值域，即可得出实数的最小值.
【详解】由得，
因为函数在区间上单调递减，则对任意的，，
可得，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，当时，，
即，所以，，故的最小值为.
故选：B.
9．（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】AB
【分析】根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，求出的最小值，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
由题知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，所以，故，即，
故选：AB.
10．（多选）（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0B．1C．2D．e
【答案】CD
【分析】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数单调递增，所以，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
11．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求得的导函数，进而求得函数的单调递减区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值范围.
【详解】因为，
令，可得，
所以要使函数在区间上单调递减，
则区间是区间的子区间，
所以，求解不等式组可得：，
解得，所以实数的取值范围是.
故答案是：.
12．（2024高三下·全国·专题练习）若函数 在区间 上单调递增， 则 的最小值为 .
【答案】
【分析】由函数 在区间 上单调递增，转化为 对 恒成立，求参数的取值范围即可.
【详解】因为函数 在区间 上单调递增，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
与目标式 比较，令 ，得 ，
因此令 (等比例赋值法),
则 . ( 时等号成立).
所以 的最小值为 .
故答案为：
13．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】函数在上存在单调递增区间，转化为在上有解，利用二次函数的性质求实数的取值范围．
【详解】函数在上存在单调递增区间，
由，则在上有解．
令，因为，所以只需或，
即或，解得．
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数在区间[1,2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，分离参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围.
【详解】因为，，，
若在上存在单调递增区间，则在上有解，
即在上有解，，
又，，则的取值范围是：.
故答案为：.