高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共31页。试卷主要包含了单空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26040" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc26040 \h 1
\l "_Tc20570" 二、典型题型 PAGEREF _Tc20570 \h 3
\l "_Tc21226" 题型一：在型求切线方程 PAGEREF _Tc21226 \h 3
\l "_Tc2118" 题型二：过型求切线方程 PAGEREF _Tc2118 \h 3
\l "_Tc25530" 题型三：已知切线斜率求参数 PAGEREF _Tc25530 \h 3
\l "_Tc1715" 题型四：确定过一点可以做切线条数 PAGEREF _Tc1715 \h 4
\l "_Tc17915" 题型五：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc17915 \h 4
\l "_Tc30456" 题型六：距离问题转化为相切问题 PAGEREF _Tc30456 \h 5
\l "_Tc8493" 题型七：公切线问题 PAGEREF _Tc8493 \h 5
\l "_Tc3579" 三、专项训练 PAGEREF _Tc3579 \h 6
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
4、已知和存在（）条公切线问题
二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数 .
2．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式）
3．（2023上·上海闵行·高三校考期中）曲线在点处的切线方程为 ．
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为 .
5．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
题型二：过型求切线方程
1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数过点的切线方程为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 .
4．（2023下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线在点处切线的斜率为，过点的切线方程 .
5．（2023下·四川绵阳·高二期末）过点作曲线的切线，则切线方程为 ．
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．D．
C．D．
3．（2023·全国·校联考二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·山西运城·高三校考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（2022上·四川成都·高三校联考阶段练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
2．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．（2023下·广西河池·高二校联考期中）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．B．1C．D．
题型七：公切线问题
1．（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
3．（湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期11月调研考试数学试题）写出曲线与的一条公切线方程： .
4．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．
5．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
(1)当时， 求的极值；
(2)若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围.
三、专项训练
1．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．-2D．
2．（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023下·高二课时练习）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．
C．D．不存在
4．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．ln 2D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．第一步
设的切点
设的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得：
整理得：
联立已知条件
消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
专题01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29784" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc29784 \h 1
\l "_Tc3113" 二、典型题型 PAGEREF _Tc3113 \h 2
\l "_Tc31782" 题型一：在型求切线方程 PAGEREF _Tc31782 \h 2
\l "_Tc15187" 题型二：过型求切线方程 PAGEREF _Tc15187 \h 4
\l "_Tc28689" 题型三：已知切线斜率求参数 PAGEREF _Tc28689 \h 6
\l "_Tc23547" 题型四：确定过一点可以做切线条数 PAGEREF _Tc23547 \h 8
\l "_Tc5883" 题型五：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc5883 \h 9
\l "_Tc21038" 题型六：距离问题转化为相切问题 PAGEREF _Tc21038 \h 13
\l "_Tc25263" 题型七：公切线问题 PAGEREF _Tc25263 \h 14
\l "_Tc5836" 三、专项训练 PAGEREF _Tc5836 \h 18
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
4、已知和存在（）条公切线问题
二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数 .
【答案】-2
【详解】因为，定义域为，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以不符合题意，所以直线的斜率为，
所以，所以.
故答案为：.
2．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式）
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以在处的切线方程为，整理得，
故答案为：.
3．（2023上·上海闵行·高三校考期中）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】∵，∴，则点即为.
∵，∴切线斜率为，
∴切线方程为，即.
故答案为：.
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为 .
【答案】
【详解】根据题意：函数在处有切线，切点为，
又，故切线斜率为，
直线的方程为，
该直线过定点的坐标为.
故答案为：
5．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
【答案】/
【详解】因为的导数为，则，
所以曲线在处的切线方程为，即，
又切线与曲线相切，设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为；.
题型二：过型求切线方程
1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数过点的切线方程为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【详解】由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：D
2．（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设切点为，，则切线斜率为，
所以，所求切线方程为，
将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得，
因此，所求切线方程为.
故选：D.
3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 .
【答案】或或(写出其中一条即可)
【详解】解：设曲线表示抛物线的一部分，
设其切线方程为，代入，
得.由，得.
当时，，符合题意，
当时，，均符合题意，
所以切线方程.
设的切线的切点为.
由，得，，
得切线方程为.
将的坐标代入切线方程，得，
所以，所以切线方程为.
故答案为：或或(写出其中一条即可)
4．（2023下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线在点处切线的斜率为，过点的切线方程 .
【答案】
【详解】设
，，解得：，；
当是切点时，切线方程为：，即；
当不是切点时，设切点坐标为，
则在点处的切线方程为：，
代入点得：，
，
解得：，切点为，与重合，不合题意；
综上所述：切线方程为.
故答案为：.
5．（2023下·四川绵阳·高二期末）过点作曲线的切线，则切线方程为 ．
【答案】
【详解】因为点不在曲线上，设切点，且，则，①
又，则切线斜率为，②
由①②解得，，所以，切线的斜率为，
切线方程为，即.
故答案为：.
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【详解】，则，
设直线l与曲线的切点，则直线l的斜率，
由于直线斜率为，则，解得，
所以，即切点为，
故，解得．
故选：A.
2．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知直线与曲线相切，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【详解】设切点为，
，故斜率为，
则切线方程为，
整理得，
所以，解得.
故选：B
3．（2023上·辽宁·高三校考阶段练习）函数（、）在点处的切线斜率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】的定义域为R，，
又在点处的切线斜率为，∴，
∴，
当且仅当，即，时，“”成立，
∴的最小值为.
故选：D．
4．（2023上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设切点为，则，解得，
所以．令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
故选：A
5．（2023上·天津·高三统考期中）已知函数，若曲线的一条切线的方程为，则 .
【答案】3
【详解】设切点坐标为，易知，
则，由切线方程为可得，
即，解得，即切点坐标为，
将代入切线方程可得，解得.
故答案为：3
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
【答案】A
【详解】，故，，
，，
设切点为，则，且，
整理得到，解得，，
故切线方程为，
故选：A
2．（2021下·北京·高二校考期中）已知函数，则曲线过点的切线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【详解】设切点为A，直线AP的斜率为k,则，
又，，
∴
又方程的判别式为，且，
∴ 方程有两个不同的解，
∴ 曲线过点的切线有两条，
故选：D.
3．（2021下·湖南·高二校联考阶段练习）经过点作曲线的切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【详解】因为，
设切点为，所以曲线在点处的切线方程为.
将代入，得即：或，
所以，此时，切点为；
或
因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条.
故选：D.
4．（2019上·四川内江·高三统考阶段练习）已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设在曲线上的切点为，，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，即，
解得，，.
因此，过点可向引切线，有三条.
故选：D.
题型五：已知切线条数求参数
1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【详解】设切点．因为，所以，
所以点处的切线方程为，
又因为切线经过点，所以，即.
令，则与有且仅有1个交点，，
当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；
当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，
则，即．
综上，或．
故选：D
2．（2023下·陕西汉中·高二校联考期中）过点作曲线切线有且只有两条，则b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设切点为，
由，则，
所以过的切线方程为，即，
故有且仅有两根，
设，则，
当时，，此时单调递增；
当，，此时单调递减，
又当时，，，，
所以的图象如下：
故有且仅有两根，则b的取值范围为．
故选：A．
3．（2023·全国·校联考二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
4．（2022上·山西运城·高三校考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设曲线在点处的切线为，
由可知直线的斜率为，
故直线的方程为，
将代入直线可得关于的方程具有两个不相等的正数解，
构造函数，
则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
且当时，；
，当，即时，，
即当时，；
故为了使方程有两个不相等的正数解，
则须使.
故选：B.
5．（2022上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知：，故，设切点为
根据导数的几何意义，知切线斜率为，切线方程为,
将点坐标代入切线方程可得
化简可得
即函数与函数有三个不同的交点.
故，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
则当时，有极小值，
当时，有极大值.
所以的取值范围为.
故选：D.
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（2022上·四川成都·高三校联考阶段练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【详解】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为，
则，解得，
所以切点为，代入切线方程，可得，
即切线为，由两平行线间的距离，
所以最小值为，
故选：D．
2．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】A
【详解】由，得，令，则，
令得，当时，单调递减，当时，单调递增；
由，得，令，
的图像如下图：

则表示上一点与上一点的距离的平方，
显然，当过M点的的切线与平行时，最小，
设上与平行的切线的切点为，由，解得，
所以切点为，切点到的距离的平方为，
即的最小值为8；
故选：A.
3．（2023下·广西河池·高二校联考期中）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【详解】点是曲线上的任意一点，设，
令，解得1或（舍去），，此时，
∴曲线上与直线平行的切线的切点为，
点到直线的最小距离.
故选：A.
题型七：公切线问题
1．（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
【答案】或（写出一个即可）
【详解】设公切线与曲线切于点，
与曲线切于点.
由，得.由，得.
令，即，则，
且，
即，
化为，
所以，解得或.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可.
故答案为：或，写出任意一个即可.
3．（湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期11月调研考试数学试题）写出曲线与的一条公切线方程： .
【答案】（或）（答案不唯一）
【详解】设公切线与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，
由，求导得，由，求导得，
于是，即有，公切线方程为，
显然该切线过点，因此，
整理得，即，解得或，
当时，，公切线方程为，当时，，公切线方程为.
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题可知，，，
设与曲线相切的切点为，与相切的切点为，
则有公共切线斜率为，则，，
又，，可得，
即有，即，
可得，，
设，，，
可得时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，,
可得处取得极大值，且为最大值，
则正实数a的取值范围，
故答案为：
5．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
(1)当时， 求的极值；
(2)若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值；
(2).
【详解】（1）当时，设，显然，
求导得，由，得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以在取得极大值，无极小值.
（2）设曲线上切点，则切线斜率为，方程为，
依题意，切线与曲线相切，于是方程有两个相等的正实根，
而，则，且，即有，
由公切线有两条，得关于的方程:有两个不同的实数解，
令，则与的图象有两个交点，
由，求导得，由，得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
因此，函数的图象如图，
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以a的取值范围是.
三、专项训练
1．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．-2D．
【答案】B
【详解】由题意知在曲线上，所以.
又，所以曲线在点处的切线的斜率为.
又因为曲线在点处切线的倾斜角为，所以切线的斜率为1.
故而.由解得，所以.
故选：B
2．（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵，∴，∴，，
∴所求的切线方程为，即.
故选：D
3．（2023下·高二课时练习）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．
C．D．不存在
【答案】A
【详解】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，
即
故选：A
4．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．ln 2D．
【答案】B
【详解】设直线与曲线相切的切点为，由求导得，
于是，则，，
设，求导得，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
因此当时，，
所以的最小值为.
故选：B
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解法一 由，得．设切点坐标为，
则切线方程为，
把代入可得，即，
因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．
解法二 由，得，令，得．
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，且，则点在曲线的下方，
数形结合可知，过点可作曲线的2条切线．
故选：B
6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】由题意知，
因为与曲线相切，
所以，整理得，
同理，
则，是方程的两个实数根，
所以，
所以．
故选：.
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为，
求导得，依题意，，于是，
令函数，显然函数在上单调递增，且，
则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意，
所以.
故选：B
8．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
设切点为， 则，
因为，所以切线斜率为，
由题知，解得或（舍），
所以，此时点到直线的距离，
故选：B.
9．（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【详解】由，得，
设切点坐标为，
则，切线方程为，
将代入可得，即，
依题意关于的方程有两个不同的解、，
即关于的方程有两个不同的解、，
．
故选：A．
二、多选题
10．（2023下·高二课时练习）若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】因为点在直线上，所以.
由，则求导可得，
所以在点处的切线的斜率为.
故选：AD.
11．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】，，则，当且仅当即等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，
选项A中直线的斜率为，符合题意；
选项B中直线的斜率为，不符合题意；
选项C中直线的斜率为，符合题意；
选项D中直线的斜率为，符合题意；
故选：ACD.
12．（2023上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）若过点可以作三条直线与函数相切，则实数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】CD
【详解】设切点，
由函数，可得，
则切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为点在切线上，可得，
【详解】当时，，所以切点的坐标为，
当时，，，所以切线的斜率，
所以切线的方程为：
而，即过点
当切线过点时，切线与函数的图象有三个公共点，
将代入切线方程得：，得
当切线与相切时，切线与数的图象只有两个公点，
设切线：与在处相切，
由，得，
所以，得，，所以切点坐标为
代入切线：，得，
因此在处的切线与的图像有三个公共点时，的取值范围为：.
故答案为：.
四、单空题
15．（2023下·高二课时练习）已知函数是曲线的一条切线，则 .
【答案】/
【详解】设切点为，∵，∴，∴，
∴切线方程为，又点在曲线上，
∴，∴，∴，∴.
故答案为：
五、问答题
16．（2023上·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，与有公切线，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：由函数，可得，
当时，可得时，，单调递减，
时，，单调递增；
当时，可得时，，单调递增，
时，，单调递减.
（2）解：设公切线与和的切点分别为，
可得，可得切线方程为，
即，即
由，可得，则，所以切线方程为
所以，可得，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，极大值为，
又由当时，；当时，，第一步
设的切点
设的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得：
整理得：
联立已知条件
消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；