2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题05解三角形(角平分线问题问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

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\l "_Tc32624" 二、典型题型 PAGEREF _Tc32624 \h 2
\l "_Tc4425" 方法一：等面积法 PAGEREF _Tc4425 \h 2
\l "_Tc498" 方法二：角互补 PAGEREF _Tc498 \h 4
\l "_Tc20811" 三、专项训练 PAGEREF _Tc20811 \h 5
一、必备秘籍
角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在中有：;
在中有：
二、典型题型
方法一：等面积法
1．（23-24高一下·山东·阶段练习）的内角的对边分别为，满足
(1)求；
(2)的角平分线与交于点，求的最小值.
2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长．
3．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图在中，，，分别是角，，所对的边，是边上的一点.
(1)若，，，，求的面积.
(2)试利用“”证明：“”；
(3)已知，是的角平分线，且，，求的面积.
4．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
5．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
方法二：角互补
1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求；
(2)若点在边上，，且满足 ，求边长；
请在以下三个条件：
①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；
其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
3．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
三、专项训练
1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．
2．（2024·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则 ，的面积为 ．
3．（23-24高三下·浙江·开学考试）在△中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 ， .
7．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求角A的大小；
(2)若是角平分线，求证：.
8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
9．（2024·广东惠州·模拟预测）条件①，
条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
10．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，.
(1)若点D为的中点且，求的余弦值；
(2)若的角平分线与相交于点E，当取得最大值时，求的长.
专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31175" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc31175 \h 1
\l "_Tc32624" 二、典型题型 PAGEREF _Tc32624 \h 1
\l "_Tc4425" 方法一：等面积法 PAGEREF _Tc4425 \h 1
\l "_Tc498" 方法二：角互补 PAGEREF _Tc498 \h 7
\l "_Tc20811" 三、专项训练 PAGEREF _Tc20811 \h 10
一、必备秘籍
角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在中有：;
在中有：
二、典型题型
方法一：等面积法
1．（23-24高一下·山东·阶段练习）的内角的对边分别为，满足
(1)求；
(2)的角平分线与交于点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式正弦定理倍角公式化简已知等式，即可求解；
（2）由，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】（1）由得：，
由正弦定理得：，倍角公式得，
由，有，所以，
得，所以.
（2）由，得，
即，得，
，
当且仅当即 时等号成立
所以的最小值为.
2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简即可求出.
（2）利用余弦定理及已知求出，然后利用三角形面积公式列方程求解即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，得
，即，
而，解得，又，
所以.
（2）由及余弦定理得，又，解得，
由得，
即，则，
所以.
3．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图在中，，，分别是角，，所对的边，是边上的一点.
(1)若，，，，求的面积.
(2)试利用“”证明：“”；
(3)已知，是的角平分线，且，，求的面积.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据，利用三角形面积公式求解即可；
（2）由得，两边同时乘以，再利用向量的数量积即可证明；
（3）根据正弦定理将角化边求出，利用和余弦定理求出的值即可求出的面积.
【详解】（1），，
，
的面积为；
（2），，
两边同时乘以得，
即,
，
两边同时除以，得，
；
（3），
根据正弦定理有，即，
，，，即，
，，即，
是的角平分线，，
，
，
即，
整理得①，
在中，,
即②，
①②联立解得（舍）或，
,
的面积为.
4．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，
（2）由，可得，根据等面积法可求，由余弦定理即可求的值．
【详解】（1）由可得
故，进而，
由于所以
（2）由面积公式得，解得，
，，
即，，
又，，
．
5．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【答案】(1)
(2)长的最小值为，的最大值
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
方法二：角互补
1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求；
(2)若点在边上，，且满足 ，求边长；
请在以下三个条件：
①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；
其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可；
（2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
由倍角公式可得，则，
又因为，则，
所以，
即．
且，则，可得，
又因为，所以．
（2）若选择①：若为的中线，设（），
由余弦定理可得，，
因为，可得，
即，整理得，可知，
又因为，解得或（舍去），
所以；
若选择②：若为的角平分线，则，
在中，由余弦定理得，即，
可知，即，可知，，
所以；
若选择③：若为的高线，则，
则，即，则，
可知，可知，,
所以．
2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
【答案】
【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】解：因为，
所以，，
即，由正弦定理可得，
因为的角平分线交于，则，所以，．
又因为，，由可得，
即，则，．
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得．②
因为，
则①②可得，，即，
即，即，解得，
此时满足，故，所以，．
3．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和，根据为的角平分线，得到，再与求解.
(2)由和，得到，再结合，得到求解.
【详解】（1）在中，，①
在中，，②
因为为的角平分线，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，
所以，，
所以的周长为.
（2）在中，，
在中，，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
所以所以，
令，则，
则，，
，
当时， ，当 时， ，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以的取值范围为.
三、专项训练
1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．
【答案】
【分析】由余弦定理求得，然后由角平分线定理求得，，再由余弦定理利用，求得．
【详解】中，由余弦定理得，
解得（舍去），
是角平分线，则，
所以，，
又由余弦定理得：
，
，
而，
因此，
，
，．
故答案为：．

2．（2024·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则 ，的面积为 ．
【答案】 6
【分析】根据给定条件，求出边AB，AC长的关系，再利用余弦定理、三角形面积定理求解作答.
【详解】在中，是的角平分线，且，则有：
，令，则，
在与中，由余弦定理得：，，
因此，，得，即有，解得，
的面积为.
故答案为：；6
3．（23-24高三下·浙江·开学考试）在△中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 ， .
【答案】
【分析】由角平分线的性质可得，设结合列方程求参数m，即可求，再由余弦定理求.
【详解】由角平分线的性质知：，若，
因为，则，
所以，整理得，解得或（舍）.
所以，则.
故答案为：
4．（23-24高三上·江西赣州·）在中，内角的对边分别为，满足为的角平分线，且，则 .
【答案】6
【解析】根据题意先求出的三角函数值，在中，已知两边夹一角，可以利用余弦定理求出， 再求出的三角函数值，在中，已知和，先求出，再利用正弦定理求解即可.
【详解】记，因为，所以，，
在中，由余弦定理，，代入数据，解得，
，
，所以，，
在中，，
由正弦定理， ，即，解得，，即.
故答案为：6
【点睛】本题主要考查解三角形正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生对三角形中角和边关系的分析能力，同时还考查学生的计算能力，属于中档题.
5．（2024·江苏常州·模拟预测）已知中内角的对边分别是，.
(1)求的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形的正弦定理，结合诱导公式以及两角和的正弦公式可得所求值；
（2）设ADx，运用三角形的面积公式，结合等积法可得，解方程可得所求值．
【详解】（1），由，可得，
，可得B为锐角，则，
所以sin=，
由=可得，解得；
（2）由（1）可得，
因为是的平分线，
所以,
设，由，
可得，
化为，
解得，
则．
6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.
（2）利用三角形面积公式，先求，再利用余弦定理求即可.
【详解】（1），
，
由正弦定理得，
，
又，.
（2）
，
，
，
由题意知，
，
，
，
，
，故.
的周长为.
7．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求角A的大小；
(2)若是角平分线，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合同角的三角函数关系即可求得答案；
（2）根据角平分线性质可得，利用展开化简即可证明结论.
【详解】（1）由，由正弦定理可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，可得.
（2）因为是角平分线，且，所以，
所以，
可得，
可得，
所以，所以，
即.
8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.
（2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
又在中，,
（2）由已知结合三角形的面积公式可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，
即，
所以，
而，，故，因为，所以；
选②：因为，由正弦定理，
即，由余弦定理，
因为，所以；
选③：因为，
正弦定理及三角形内角和定理可得，
即，
因为、，则，所以，，，
所以，所以，即.
（2）解：由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，即，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
10．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，.
(1)若点D为的中点且，求的余弦值；
(2)若的角平分线与相交于点E，当取得最大值时，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）延长到F，构造平行四边形，转化角后由余弦定理计算；
（2）设，，由余弦定理用表示出，由面积把用表示，然后计算出，利用基本不等式得最大值．
【详解】（1）根据题意，延长到F，使得，连接，
可得四边形为平行四边形，
所以；
（2）设，，
可得，
因此，
又
当且仅当时等号成立，
所以.