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所属成套资源:2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)【精品典型题型归类训练】(学生版+解析)
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2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题04解三角形(中线问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)
展开这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题04解三角形(中线问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析),共22页。
\l "_Tc1835" 二、典型题型 PAGEREF _Tc1835 \h 1
\l "_Tc4849" 方法一:向量化(三角形中线向量化) PAGEREF _Tc4849 \h 1
\l "_Tc22826" 方法二:角互补 PAGEREF _Tc22826 \h 3
\l "_Tc17106" 三、专项训练 PAGEREF _Tc17106 \h 4
一、必备秘籍
1、向量化(三角形中线问题)
如图在中,为的中点,(此秘籍在解决三角形中线问题时,高效便捷)
2、角互补
二、典型题型
方法一:向量化(三角形中线向量化)
1.(2024·全国·模拟预测)记的内角的对边分别为,已知.
(1)求.
(2)若,且边上的中线,求的面积.
2.(23-24高一下·云南·阶段练习)在中,角的对边分别是,且.
(1)求角;
(2)若的中线,求面积的最大值.
3.(23-24高一下·广西河池·阶段练习)如图,在中,已知边上的两条中线AM,BN相交于点.
(1)求AM的长度;
(2)求∠MPB的正弦值.
4.(23-24高一下·广东深圳·阶段练习)在中,满足.
(1)求;
(2)若,边BC上的中线,设点为的外接圆圆心.
①求的周长和面积:
②求的值.
5.(2024·辽宁抚顺·三模)在中,内角的对边分别为.
(1)求;
(2)若为的中线,且,求的面积.
方法二:角互补
1.(23-24高一·全国·随堂练习)如图,已知AM是中BC边上的中线.求证:.
的面积等于 .
3.(22-23高一下·河北·阶段练习)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则中线AD的长为 .
4.(22-23高一下·四川攀枝花·期末)已知的内角的对边分别为,,,且满足,,则 ;的中线的最大值为 .
5.(22-23高一下·山东淄博·期中)已知在中,AD为BC边上的中线,且,,则的最小值为 .
6.(22-23高一下·河南焦作·期中)已知在中,为边上的中线,且=4,则的取值范围为 .
7.(21-22高一·全国·课后作业)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,,则BC边上的中线AD长度的最大值为 .
8.(22-23高一下·辽宁大连·期中)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,.
(1)求;
(2)若的面积为,求边上的中线的长.
9.(22-23高一下·湖北武汉·期中)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角C的大小;
(2)若,边AB的中点为D,求中线CD长的取值范围.
10.(22-23高一下·湖南长沙·期中)在锐角中,角的对边分别是,,,若
(1)求角的大小;
(2)若,求中线长的范围(点是边中点).
专题04 解三角形(中线问题)(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1527" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc1527 \h 1
\l "_Tc1835" 二、典型题型 PAGEREF _Tc1835 \h 1
\l "_Tc4849" 方法一:向量化(三角形中线向量化) PAGEREF _Tc4849 \h 1
\l "_Tc22826" 方法二:角互补 PAGEREF _Tc22826 \h 6
\l "_Tc17106" 三、专项训练 PAGEREF _Tc17106 \h 9
一、必备秘籍
1、向量化(三角形中线问题)
如图在中,为的中点,(此秘籍在解决三角形中线问题时,高效便捷)
2、角互补
二、典型题型
方法一:向量化(三角形中线向量化)
1.(2024·全国·模拟预测)记的内角的对边分别为,已知.
(1)求.
(2)若,且边上的中线,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理及三角公式求,根据角的范围可得
(2)根据余弦定理可得,根据面积公式求解可得
【详解】(1)由已知条件及正弦定理,得.
整理,得,
即.
又,
所以,
即.
因为,所以.
又,所以.
(2)由题意得,,
所以,
即,
所以.
故
2.(23-24高一下·云南·阶段练习)在中,角的对边分别是,且.
(1)求角;
(2)若的中线,求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理边化角,结合和差公式即可求解;
(2)将两边平方,结合基本不等式和面积公式可解.
【详解】(1)因为,
由正弦定理可得,
在中,
所以,
整理得,
所以, 因为,,
所以,.
(2)因为的中线,,
因为,
所以,
即,可得,当且仅当时取等号,
所以的面积,
所以面积的最大值为.
3.(23-24高一下·广西河池·阶段练习)如图,在中,已知边上的两条中线AM,BN相交于点.
(1)求AM的长度;
(2)求∠MPB的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据AM是中线,由求解;
(2)易知为向量的夹角,然后利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】(1)解:因为AM是中线,
所以,
所以,
则;
(2)由图象知:为向量的夹角,
因为,
所以,
,则,
又,
,
所以,
因为,
所以.
4.(23-24高一下·广东深圳·阶段练习)在中,满足.
(1)求;
(2)若,边BC上的中线,设点为的外接圆圆心.
①求的周长和面积:
②求的值.
【答案】(1);
(2)①周长为,面积为;②13.
【分析】(1)由已知及正弦定理边化角,借助和角的正弦理解即得.
(2)①由中点向量公式、余弦定理、三角形面积公式列式计算即得;②边的中点分别为,利用数量积的运算律并结合圆的性质计算即得.
【详解】(1)在中,由及正弦定理,得,
而,则,
显然,因此,,
则,得,解得,
所以.
(2)①由边BC上的中线,得,两边平方得,
则,即,
在中,由余弦定理,得,解得,
因此,所以的周长为,面积为.
②令边的中点分别为,由点为的外接圆圆心,得,
,
,
所以.
5.(2024·辽宁抚顺·三模)在中,内角的对边分别为.
(1)求;
(2)若为的中线,且,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意,得到,结合,求得,结合余弦的倍角公式,即可求解;
(2)由(1)得到,根据,求得,再由由余弦定理得到,求得,结合三角形的面积公式,即可求解.
【详解】(1)解:由,可得,
因为,可知,所以,
又因为,联立方程组得,
所以.
(2)解:由(1)知,可得,
因为为的中线,且,所以,
两边平方得,
又由余弦定理得,即,
两式相减,可得,所以.
方法二:角互补
1.(23-24高一·全国·随堂练习)如图,已知AM是中BC边上的中线.求证:.
【答案】证明过程见解析
【分析】根据这一等式,利用余弦定理进行证明即可.
【详解】因为AM是中BC边上的中线,
所以,
因为,所以
,
.
2.(23-24高三上·北京西城·阶段练习)在中,.
(1)求;
(2)求边上的中线.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)计算,根据面积公式得到,再利用余弦定理计算得到答案.
(2)是中点,连接,根据余弦定理结合计算即可.
【详解】(1)因为,,故,
所以,解得,
故,故.
(2)如图所示,是中点,连接,
,,,
故,解得,即边上的中线为.
3.(2024·湖南益阳·一模)在①;②;③,这三个条作中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 .
(1)求角C的大小;
(2)若,求的中线长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】(1)若选①,则根据正弦定理,边化角,再利用余弦定理即可求得答案;若选②,则根据正弦定理,边化角,再利用两角和的正弦公式化简,求得答案;若选③,则根据正弦定理,边化角,再利用诱导公式结合倍角公式化简,求得答案;
(2)根据可得,利用余弦定理得到,在三角形中,由余弦定理求得,即可求得答案.
【详解】(1)选择条件①:由及正弦定理,得:,
即,由余弦定理,得,
因为,所以;
选择条件②:由及正弦定理,
得:,
即.
即.
在中,,所以,
即,因为,所以,所以,
因为,所以;
选择条件③:由及正弦定理,
得:,
因为,,所以.
在中,,则,
故.
因为,所以,则,
故;
(2)因为,所以,
整理得,
在三角形中,由余弦定理得.
因为,当且仅当时取等号,
所以,即,
所以,即,
即长度的最小值为.
三、专项训练
1.(23-24高一下·山东烟台·阶段练习)如图,在中,已知,,AB,BC边上的中线CE,AF交于点D,则
【答案】
【分析】由题意知,以和作为基底来表示和,即为和的夹角,再结合平面向量数量积运算及向量的夹角的求法求解即可.
【详解】因为、边上的两条中线CE,AF交于点D,
所以,,
又,,,
则,,
,
则,
.
故答案为:.
2.(23-24高一下·重庆渝中·阶段练习)在中,角所对的边分别为,已知,若为边上的中线,且,则的面积等于 .
【答案】/
【分析】将条件式,利用正弦定理角化边,再根据余弦定理求得,以为邻边做平行四边形,在中,利用余弦定理求得,所以,得解;方法二,设,在中由余弦定理得,又,由余弦定理可得,解得,后面同解法一.
【详解】由,得,
,
注意,得,得,
记,由,知,
如图,以为邻边做平行四边形,
在中:,即,
得,所以,
故答案为:.
法(2):设,在中:①
因为,则,
由余弦定理可得,得②
联立①②知:,即,解得,后面同上.
故答案为:
3.(22-23高一下·河北·阶段练习)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则中线AD的长为 .
【答案】
【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.
【详解】如图,由余弦定理得,
,又,
两式相加得,即,化简得,
所以.
故答案为:
4.(22-23高一下·四川攀枝花·期末)已知的内角的对边分别为,,,且满足,,则 ;的中线的最大值为 .
【答案】 /
【分析】空1:根据题意结合正、余弦定理运算求解;空2:根据基本不等式可得,结合向量的运算求解.
【详解】空1:因为,由正弦定理可得,
由余弦定理可得,
且,所以;
空2:因为,可得,
由,当且仅当时,等号成立,所以,
又因为为的中线,则,
可得
,
所以,即中线的最大值为.
故答案为:;.
5.(22-23高一下·山东淄博·期中)已知在中,AD为BC边上的中线,且,,则的最小值为 .
【答案】/0.6
【分析】在和中,分别用余弦定理建立关系,并求得,再在中利用余弦定理结合基本不等式求解作答.
【详解】依题意,,,如图,
在中,由余弦定理得,
在中,由余弦定理得,
而,即,
两式相加得,于是,当且仅当时取等号,
在中,,
所以的最小值为.
故答案为:
6.(22-23高一下·河南焦作·期中)已知在中,为边上的中线,且=4,则的取值范围为 .
【答案】
【分析】分别在和中,利用余弦定理得到,,根据,两式相加得到,然后利用余弦定理结合基本不等式求解.
【详解】解:如图所示:
在中,由余弦定理得,
,
在中,由余弦定理得,
,
因为,所以,
两式相加得,则,
当且仅当时,等号成立,
所以,
因为,
所以,
故答案为:
7.(21-22高一·全国·课后作业)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,,则BC边上的中线AD长度的最大值为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理将条件进行变形,结合三角形内角之和为π,可求得csA,设AD=x,由cs∠ADB+cs∠ADC=0,由余弦定理建立方程可得2x2+2=b2+c2,,利用基本不等式可得b2+c2的取值范围,从而求得x的取值范围.
【详解】因为,
由正弦定理可知:,
又因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB,
则2csAsinB=sinB,又由于B∈(0,π),所以sinB>0,
所以csA,因为A∈(0,π),所以,
设AD=x,又DB=DC=1,
在△ADB,△ADC中分别有:cs∠ADB,cs∠ADC,
又由于cs∠ADB+cs∠ADC=0,所以2x2+2=b2+c2,
在△ABC中,,即,
因为b2+c2≥2bc,所以,从而b2+c2≤8,
所以2x2+2≤8,解之得,(当且仅当b=c时等号成立),
所以BC边上的中线AD长度的最大值为,
故答案为:.
8.(22-23高一下·辽宁大连·期中)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,.
(1)求;
(2)若的面积为,求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用二倍角公式,结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果;
(2)利用三角形面积公式,及(1)的相关结论,再结合平面向量的四边形法则,利用向量的线性表示出,最后利用求模公式即可求边上的中线的长.
【详解】(1)因为,
所以,
所以,
即,
所以,
由余弦定理及得:
,
又,
所以,
即,
所以,
所以;
(2)由,
所以,
由(1),
所以,
因为为边上的中线,
所以,
所以
,
所以,
所以边上的中线的长为.
所以,
由题意得,解得,则,
所以,所以,
所以,所以中线CD长的取值范围为.
10.(22-23高一下·湖南长沙·期中)在锐角中,角的对边分别是,,,若
(1)求角的大小;
(2)若,求中线长的范围(点是边中点).
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据条件,利用正弦定理进行边角转化,可得到,从而求出结果;
(2)先利用向量的中线公式得到,再利用正、余弦定理及条件求出的范围,进而求出结果.
【详解】(1)因为,由正弦定理可得:
即,所以,
因为,所以,所以,因为,所以.
(2)由(1)得,且,由余弦定理知,,得到,
因为点D是边BC中点,所以,两边平方可得:
,
所以,
因为,又,,
所以,
又因为为锐角三角形, 所以,,得到,
所以,由的图像与性质知,,
所以,所以,得到
故.