2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题01三角函数的图象与性质(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题01三角函数的图象与性质(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共31页。试卷主要包含了必备秘籍，典型题型，专项训练，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、必备秘籍
二、典型题型
1．（2024·山西长治·一模）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A．B．
C．直线是图象的一条对称轴D．是图象的一个对称中心
3．（2024·陕西西安·三模）如图，函数的部分图象，若点是中点，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数的部分图像如图所示，，为的图像与轴的交点，为图像上的最高点，是边长为1的等边三角形，，则（ ）
A．
B．直线是图像的一条对称轴
C．的单调递减区间为
D．的单调递增区间为
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图，则关于的不等式的解集是 .
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．

三、专项训练
一、单选题
1．（2024·北京石景山·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）

A．B．1C．D．
2．（2024·江西南昌·一模）函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）知函数（，），如图：，，是曲线与坐标轴的三个交点，直线交曲线于点，若直线，的斜率分别为，3，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则函数的对称中心为
C．若函数在内单调递增，则的取值范围为
D．若函数在内没有最值，则的取值范围为
5．（2024·吉林长春·三模）已知的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．满足
C．在区间的值域为
D．在区间上有3个极值点
6．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间单调递减
C．在区间的值域为
D．在区间有3个极值点
三、填空题
7．（2024·重庆·一模）已知的部分图象如图所示，当时，的最大值为 ．

8．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，（，，）的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为 .
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.
12．（2023·河北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，且.

(1)求与的值；
(2)若斜率为的直线与曲线相切，求切点坐标.
13．（2023·山西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
14．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
必备公式
辅助角公式
，（其中）；
求解析式
求法
方法一：代数法 方法二：读图法表示平衡位置；表示振幅
求法
方法一：图中读出周期，利用求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.
求法
方法一：将最高（低）点代入求解；
方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入求解；但需注意根据具体题意取舍答案.
专题01 三角函数求法
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
二、典型题型
1．（2024·山西长治·一模）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再分析在上的图象性质即可得解.
【详解】观察图象知，，函数的周期，，
由，得，而，则，
于是，当时，，
当，即，函数单调递减，函数值从减小到，
当，即时，函数单调递增，函数值从增大到，
显然函数的上的图象关于直线对称，
方程在上有两个不相等的实数根，即直线与函数在上的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是.
故选：B
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A．B．
C．直线是图象的一条对称轴D．是图象的一个对称中心
【答案】D
【分析】根据周期性求出，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质判断即可.
【详解】依题意，又，所以，解得，
所以，
又函数过点，所以，所以，
又，所以，
所以，故A、B错误；
又，所以不是的对称轴，故C错误；
，所以是图象的一个对称中心，故D正确.
故选：D
3．（2024·陕西西安·三模）如图，函数的部分图象，若点是中点，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，，则，代入函数解析式得到方程组，结合诱导公式，变形得到，从而求出答案.
【详解】设，则，故，
设，，则，
故，
其中
，
则，解得，负值舍去，
即，故的纵坐标为.
故选：C
4．（多选）（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数的部分图像如图所示，，为的图像与轴的交点，为图像上的最高点，是边长为1的等边三角形，，则（ ）
A．
B．直线是图像的一条对称轴
C．的单调递减区间为
D．的单调递增区间为
【答案】BC
【分析】由图可得，再利用正弦函数的图象与性质分析各个选项即可.
【详解】对于A，由图可得：的最小正周期为2，所以，即，
易得，所以，
因为，所以，，，
由五点作图法可得：，即，所以，
所以，故A不正确；
对于B，由于，为最大值，
所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，解得；，
所以单调递减区间为，故C正确；
对于D，令，解得；，
所以的单调递增区间为，故D不正确，
故选：BC，
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合图象求得的最小正周期，即可求得，然后结合图象上的点的坐标及可求得，得到的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到的解析式，最后利用正弦函数的图象求得m的取值范围．
【详解】设的最小正周期为T，则由图象知，
所以，则，
由在处取得最小值，可得，，
得，．因为，所以，
所以；
（或由题意可得，，亦可得）
，
由，得，
所以由题意得，解得，
即实数m的取值范围是．
故答案为：.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图，则关于的不等式的解集是 .
【答案】，
【分析】先根据函数的图象求函数的解析式，再解不等式.
【详解】由题意得，所以.
因为，所以.
又，所以.
又，所以，所以.
又的图像过点，所以，所以，
所以，，则，.
又，所以.
又，所以，所以，则，所以.
又，所以，所以，
所以.
由，得，
即，
所以，，
解得，.
所以不等式的解集为，.
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：本题在求的值时，一个是根据函数图象，得到，再根据图象得，再结合，可得.这里利用不易想到.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．

【答案】
【分析】易得，再由点在的图象上，代入函数解析式求得，再利用伸缩变换和平移变换得到，作出其图象，利用数形结合法求解．
【详解】解：由的部分图象，可得．
由图可知点在的图象上，则，，
由五点作图法可得，，解得，则．
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍得到的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．
作出函数的部分图象如图所示，

由根据函数的图象知：
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
即方程在上有两个不相等的实数根．
故答案为：
三、专项训练
一、单选题
1．（2024·北京石景山·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）

A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】由图可得，求得，再利用图象过点，可得到，从而得到，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】由图象可知，解得，因为，所以，解得，
将代入解析式化简得，因为，则，得，
故，所以.
故选：A
2．（2024·江西南昌·一模）函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如图，过作轴于，根据题意得到，进而可求出，再利用，得到，则有，可求出，从而，即可求出结果.
【详解】如图，过作轴于，则，
又是等腰直角三角形，所以，故，得到，
又，所以，则，所以，
所以，得到，又，得到，
所以，则，
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）知函数（，），如图：，，是曲线与坐标轴的三个交点，直线交曲线于点，若直线，的斜率分别为，3，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据正弦型函数的周期公式得出，根据函数图像的对称性得出点是线段的中点；再根据图象设出点坐标，写出点，，的坐标；最后根据斜率公式和题意列出方程组，求解即可.
【详解】由题意可得：函数的最小正周期为，点是线段的中点.
根据图象可设，
则，.
由图象可得，
则.
因为直线，的斜率分别为，3,
所以，整理得：.
又因为，，
所以，解得：.
又因为，
所以.
故选：B.
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则函数的对称中心为
C．若函数在内单调递增，则的取值范围为
D．若函数在内没有最值，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】借助图象可得的值，再结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由题意可知，，由，可得，
因为，所以，故选项A正确；
对B：若，则，令，则，
所以函数的对称中心为，故选项B不正确；
对C：因为，令，
得，根据的部分图象可知，
所以，即，因为，所以，故选项C正确；
对D：由选项C可知，，在上单调递增．
因为在内没有最值，所以,又，可得，
故选项D正确.
故选：ACD．
5．（2024·吉林长春·三模）已知的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．满足
C．在区间的值域为
D．在区间上有3个极值点
【答案】AD
【分析】根据图象确定和周期，再确定，代入最值点确定，从而得出解析式，再由正弦函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知，，所以，故A正确；
又因为，所以，
而且，所以，所以函数解析式为.
所以，故B错误；
对于C，当时，，所以，所以的值域为，故C错误；
对于D，当时，，当取得时，取得极值，所以在上有3个极值点，故D正确.
故选：AD.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间单调递减
C．在区间的值域为
D．在区间有3个极值点
【答案】AD
【分析】求出函数解析式，进而求得函数值判断A，举反例判断BC，利用整体代换法判断D即可.
【详解】由图像得，，解得，
故，故此时有，
将代入函数解析式，得，
故，解得，
而，故，此时，
显然成立，故A正确，
易知，，而，，
又，故在区间上并非单调递减，故B错误，
易知，，
故在区间的值域不可能为，故C错误，
当时，，，
当时，取得极值，
可得在区间有3个极值点，故D正确.
故选：AD
三、填空题
7．（2024·重庆·一模）已知的部分图象如图所示，当时，的最大值为 ．

【答案】
【分析】
由图象求出函数的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数在上的最大值.
【详解】因为，
设，
由图可知，函数的最小正周期为，则，
又因为，则，
因为，可得，
所以，，则，
则，
当时，，
故.
故答案为：.
8．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，（，，）的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】先根据的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出的解析式，再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到的解析式，后可求的单调递增区间.
【详解】由图可知， 得，所以，
，，
所以，
由图，得，，
又，所以，
故，
由题意，
令，，得，
故函数的单调递增区间为，，
当时，函数的一个单调递增区间为，
故答案为：（答案不唯一）
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，，，则满足条件的最大负整数x为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，求得，把不等式转化为，得到或，求得不等式的解集，即可求解.
【详解】因为函数满足，结合图象可得
又因为，可得，，解得，，
又由，所以，可得，，
则不等式，即为，
即或，可得或，
所以或，
即或，
显然满足不等式．
故答案为：.
10．（2022·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则满足不等式的最小正整数x为 ．
【答案】3
【分析】由图求出函数，由得，再解不等式可得答案.
【详解】根据题意，本题可只考虑的情况，
由题图知函数的图象经过点和，
则，
由五点作图法可知，则，所以，
则，
所以，
因为，所以，
令，得，
令，则，令，则，
易知，而，
所以满足不等式的最小正整数x为3．
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由图象求出和正确解出.
四、解答题
11．（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果；
（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域.
【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得，
即，由，得，
即，，
而，则，
所以函数的解析式是.
（2）将的图象向左平移个单位长度，
可得到函数的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，则，
当时，，则，
所以，
因此在上的值域为.
12．（2023·河北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，且.

(1)求与的值；
(2)若斜率为的直线与曲线相切，求切点坐标.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】
（1）在中，由射影定理得长，即个周期，从而待定，再由求解即可；
（2）设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线斜率，求解切点坐标.
【详解】（1）
如图，过点向轴引垂线交于点，
由正弦曲线的性质知，
由射影定理知，而，∴，
∴，
∴，由，解得.
当时，由，且由已知图象及五点对应法，
得，
由，则当时，；
【分析】（1）由图可知，根据最小正周期求得，由图象经过点求得，即可得出；
（2）利用图象平移规律得，根据三角函数的性质求得值域.
【详解】（1）由图可知，
的最小正周期，则，即.
因为的图象经过点，所以，
解得，因为，所以，
故.
（2）由（1）结合题意可得.
因为，所以.
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值.
故在上的值域为.
14．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，根据的图象关于直线对称得到，即可得到的解析式；
（2）根据正弦型函数的单调性求值域即可.
【详解】（1）由图可得，的最小正周期．
因为，且，所以．
因为的图象关于直线对称，
所以，解得．
因为，所以．
故．
（2）由，得．
当，即时，取得最大值，最大值为2；
当，即时，取得最小值，最小值为．
故在上的值域为．
必备公式
辅助角公式
，（其中）；
求解析式
求法
方法一：代数法 方法二：读图法表示平衡位置；表示振幅
求法
方法一：图中读出周期，利用求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.
求法
方法一：将最高（低）点代入求解；
方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入求解；但需注意根据具体题意取舍答案.