高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题09数列求和(通项含绝对值数列求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题09数列求和(通项含绝对值数列求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共14页。试卷主要包含了双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32072" 一、典型题型 PAGEREF _Tc32072 \h 1
\l "_Tc4996" 题型一：通项含绝对值 PAGEREF _Tc4996 \h 1
\l "_Tc26840" 题型二：通项含取整函数 PAGEREF _Tc26840 \h 2
\l "_Tc12591" 题型三：通项含自定义符号 PAGEREF _Tc12591 \h 3
\l "_Tc3551" 二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 PAGEREF _Tc3551 \h 4
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求an=|2n−11|的前n项和Tn
例题1．（2023·福建宁德·校考二模）已知Sn为等差数列an的前n项和，S63S21=9，a11=21．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=(2)an+1−1000，求数列bn的前15项和T15．
例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）设等差数列an的前n项和为Sn，a2+a6=−12，a3⋅a5=32，且Sn有最小值.
(1)求数列an的通项公式an及前n项和Sn；
(2)设数列an的前n项和为Tn，求Tn.
题型二：通项含取整函数
如：求an=[n+12]的前n项和Tn
例题1．（2023·全国·高三专题练习）Sn为等差数列an的前n项和，且&2n−12,n为奇数&2n2,n为偶数记bn=lgan，其中表示不超过x的最大整数，如&2n−12,n为奇数&2n2,n为偶数.
（Ⅰ）求b1,b11,b101；
（Ⅱ）求数列bn的前1000项和.
例题2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn2−n2+n−2Sn−2n2+n=0.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=lgan（其中表示不超过x的最大整数），求数列bn的前100项的和T100.
题型三：通项含自定义符号
如：记⟨x⟩表示x的个位数字，如⟨2022⟩=2,⟨2023⟩=3
求an=1<2n−1><2n+1>的前n项和Tn
例题1．（2020秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期中）设Sn为数列an的前n项和，Sn=n2.数列bn前n项和为Tn且Tn=43bn−83.数列cn满足cn=lg2bn.
（1）求数列an和cn的通项公式；
（2）记n表示n的个位数字，如2018=8，求数列1an⋅cn的前30项的和.
例题2．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）设Sn为数列an的前n项和，Sn=n2，数列bn满足b2=a3,bn+1=bn.
(1)求an及bn；
(2)记n表示n的个位数字，如6174=4，求数列1an⋅bn的前20项和.
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高二专题练习）设数列an满足，a2=6，且an−2an+1+an=2n∈N∗，若表示不超过x的最大整数（例如1.6=1，−1.6=−2），则22a1+32a2+⋯+20192a2018＝（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
2．（2023·全国·高三专题练习）正项数列an满足：an+an+1+an=anan+1an，a1+a3=6，若前三项构成等比数列且满足，Sn为数列an的前n项和，则S2020的值为（ ）
（表示不超过x的最大整数）.
A．4040B．4041C．5384D．5385
二、填空题
3．（2023·全国·高三对口高考）已知an的前n项和Sn=n2−4n+1，则 .
三、双空题
4．（2023·全国·高三专题练习）对于数列an，如果存在最小的一个常数TT∈N∗，使得对任意的正整数恒有an+T=an成立，则称数列an是周期为T的周期数列.设m=qT+r,m,q,T,r∈N∗，数列前m,T,r项的和分别记为Sm,ST,Sr，则Sm,ST,Sr三者的关系式 ；已知数列an的通项公式为an=|n−13|，那么满足ak+ak+1+⋯+ak+19=102的正整数k = .
四、解答题
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列an是首项为1的等差数列，数列bn−1是公比为2的等比数列，且．
(1)求数列an,bn的通项公式；
(2)设表示不超过x的最大整数（如：），求集合中元素的个数．
6．（2023·全国·高二专题练习）从条件①2Sn=n+1an,an>0；②an2+an=2Sn,an>0；③Sn+Sn−1=ann≥2中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列an的前n项和为Sn，，_____________.
(1)求an的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，记，求bn的前100项和T100.
7．（2023·全国·高三专题练习）在①a3+a5=14；②S4=28；③a8是a5与a13的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知an为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn,bn为等比数列，其前n项和Tn=2n+λ,λ为常数，a1=b1，
（1）求数列an，bn的通项公式；
（2）令cn=lgan，其中表示不超过x的最大整数，求c1+c2+c3+…+c100的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}中，公差d=2，a2是a1和a4的等比中项；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=|11−12an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和为Sn=14n−n2.
（1）求数列an的通项公式；
（2） 求数列an的前n项和Tn.
13．（2023·全国·高二随堂练习）等差数列an中，a1=20，公差d=−52，令bn=|an|，求数列bn的前n项和Sn．
14．（2023·全国·高三专题练习）an=2n−1n∈N∗，bn=2n+1,n∈N∗，记⟨x⟩表示x的个位数字，如⟨2022⟩=2,⟨2023⟩=3， 求数列1⟨an⟩⋅⟨bn⟩的前20项的和T20
15．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知数列{an}是以2为公差的等差数列，a1， a2，a5成等比数列，数列{bn}前n项和为Sn，且Sn=n2n.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记⟨x⟩表示x的个位数字，如⟨2022⟩=2,⟨2023⟩=3， 求数列1⟨an⟩⋅⟨bn⟩的前20项的和T20.
专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32072" 一、典型题型 PAGEREF _Tc32072 \h 1
\l "_Tc4996" 题型一：通项含绝对值 PAGEREF _Tc4996 \h 1
\l "_Tc26840" 题型二：通项含取整函数 PAGEREF _Tc26840 \h 3
\l "_Tc12591" 题型三：通项含自定义符号 PAGEREF _Tc12591 \h 4
\l "_Tc3551" 二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 PAGEREF _Tc3551 \h 5
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求an=|2n−11|的前n项和Tn
例题1．（2023·福建宁德·校考二模）已知Sn为等差数列an的前n项和，S63S21=9，a11=21．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=(2)an+1−1000，求数列bn的前15项和T15．
【答案】(1)an=2n−1
(2)66490
【详解】（1）设等差数列an的公差为d，，
且a11=21，，∴d=a32−a1132−11=2，∴a1=a11−10d=1，．
（2）由（1）可知bn=2n−1000=1000−2n,1≤n≤9,2n−1000,10≤n≤15,其中n∈N∗．
故bn的前15项和为
T15=1000−21+1000−22+⋅⋅⋅+1000−29+210−1000+⋅⋅⋅+215−1000
=3000−21+22+⋅⋅⋅+29+210+211+⋅⋅⋅+215
=3000−211−291−2+2101−261−2=66490．
例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）设等差数列an的前n项和为Sn，a2+a6=−12，a3⋅a5=32，且Sn有最小值.
(1)求数列an的通项公式an及前n项和Sn；
(2)设数列an的前n项和为Tn，求Tn.
【答案】(1)an=2n−14；Sn=n2−12n
(2)Tn=−n2+13n,n≤7,n∈N∗n2−13n+84,n≥8,n∈N∗
【详解】（1）因an为等差数列，故a2+a6=a3+a5=−12，
又因a3⋅a5=32，所以a3=−4a5=−8或a3=−8a5=−4，
当a3=−4a5=−8时，an的公差为d=a5−a32=−2，a1=a3−2d=0，
此时Sn=na1+nn−12d=−n2+n有最大值，无最小值不符合题意舍去，
当a3=−8a5=−4时，an的公差为d=a5−a32=2，a1=a3−2d=−12，
此时Sn=na1+nn−12d=n2−13n，有最小值满足题意，
an=a1+n−1d=2n−14，
综上an=2n−14，Sn=n2−an
=T7+Sn−S7
=−72+13×7+n2−13n−72−13×7
=n2−13n+84，
故Tn=−n2+13n,n≤7,n∈N∗n2−13n+84,n≥8,n∈N∗
题型二：通项含取整函数
如：求an=[n+12]的前n项和Tn
例题1．（2023·全国·高三专题练习）Sn为等差数列an的前n项和，且&2n−12,n为奇数&2n2,n为偶数记bn=lgan，其中表示不超过x的最大整数，如&2n−12,n为奇数&2n2,n为偶数.
（Ⅰ）求b1,b11,b101；
（Ⅱ）求数列bn的前1000项和.
【答案】（Ⅰ）b1=0,b11=1,b101=2.（Ⅱ）1893.
试题解析：（Ⅰ）设{an}的公差为d，据已知有71d=28，解得d=1.
所以{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.
（Ⅱ）因为bn={0,1≤n<10,1,10≤n<100,2,100≤n<1000,3,n=1000.
所以数列{bn}的前1000项和为1×90×900+3×1=1893.
例题2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn2−n2+n−2Sn−2n2+n=0.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=lgan（其中表示不超过x的最大整数），求数列bn的前100项的和T100.
【答案】(1)an=2n
(2)147
【详解】（1）因为Sn2−n2+n−2Sn−2n2+n=0，所以SnSn−n2+n=0
又因为an为正项数列,所以Sn>0,可得Sn=n2+n
当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+n−n−12+n−1=2n，
将n=1代入上式验证显然适合，所以an=2n.
（2）已知bn=lgan,因为a5=10，a50=100，a500=1000，
所以bn=0,1≤n≤41,5≤n≤492,50≤n≤100，
所以T100=0×4+1×45×51=147.
题型三：通项含自定义符号
如：记⟨x⟩表示x的个位数字，如⟨2022⟩=2,⟨2023⟩=3
求an=1<2n−1><2n+1>的前n项和Tn
例题1．（2020秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期中）设Sn为数列an的前n项和，Sn=n2.数列bn前n项和为Tn且Tn=43bn−83.数列cn满足cn=lg2bn.
（1）求数列an和cn的通项公式；
（2）记n表示n的个位数字，如2018=8，求数列1an⋅cn的前30项的和.
【答案】（1）an=2n−1；cn=2n+1；（2）103.
【详解】解：（1）a1=S1=1.
n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，a1=1符合上式.
∴an=2n−1.
又b1=T1=43b1−83，b1=8，
而当n≥2时，bn=Tn−Tn−1=43bn−43bn−1，bn=4bn−1，
因为b1=8≠0，故bn≠0，因此bnbn−1=4，所以数列bn为等比数列，
故bn=8⋅4n−1=22n+1，故cn=lg2bn=2n+1.
（2）由（1）得an=2n−1，cn=2n+1，
因为an,cn表示an,cn的个位数，
因此an,cn均为周期数列，且周期为5.
将数列1an⋅cn中每5个一组，前30项和可分为6组，
其前30项的和Q30为
Q30=611×3+13×5+15×7+19×1
=6121−13+13−15+15−17+17−19+19
=6121−19+19.
例题2．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）设Sn为数列an的前n项和，Sn=n2，数列bn满足b2=a3,bn+1=bn.
(1)求an及bn；
(2)记n表示n的个位数字，如6174=4，求数列1an⋅bn的前20项和.
【答案】(1)an=2n−1，；
(2)209
【详解】（1）当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1，由于a1=S1=1也满足an=2n−1，则an=2n−1.
∵b2=a3=5，bn+1−bn=2，∴b1=3，bn是首项为3，公差为2的等差数列，∴bn=2n+1.
（2）∵an=2n−1，∴an的前5项依次为1，3，5，7，9.
∵bn=2n+1，∴bn的前5项依次为3，5，7，9，1.
易知，数列an与bn的周期均为5，
∴1an⋅bn的前20项和为411×3+13×5+15×7+17×9+19×1
=4×12×1−13+13−15+15−17+17−19+19=4×12×89+19=209.
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高二专题练习）设数列an满足，a2=6，且an−2an+1+an=2n∈N∗，若表示不超过x的最大整数（例如1.6=1，−1.6=−2），则22a1+32a2+⋯+20192a2018＝（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】B
【详解】∵an−2an+1+an=2，∴an−an+1−an+1−an=2，a2−a1=4．
∴an+1−an是等差数列，首项为4，公差为2．
∴an+1−an=4(n−1)=2n．
∴n≥2时，an=an−an−1+an−1−an−2+……+a2−a1+a1
=2n(n−1)+…..×2=2×n(n+1)2=n(n+1)．
∴(n+1)2an=n+1n．
∴当n≥2时，(n+1)2an=n+1n=1．
∴22a1+32a2+⋯+20192a2018=2017=2019.
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）正项数列an满足：an+an+1+an=anan+1an，a1+a3=6，若前三项构成等比数列且满足，Sn为数列an的前n项和，则S2020的值为（ ）
（表示不超过x的最大整数）.
A．4040B．4041C．5384D．5385
【答案】C
【详解】依题意a1+a2+a3=a1a2a3,a1+a3=6,a22=a1⋅a3，
6+a2=a23，即a2−2a2+12+1=0，解得.
则a1+a3=64=a1⋅a3，结合，解得a1=3−5,a3=3+5.
依题意a2+a3+a4=a2⋅a3⋅a4⇒a4=3−5，
a3+a4+a5=a3⋅a4⋅a5⇒a5=2，
a4+a5+a6=a4⋅a5⋅a6⇒a6=3+5，
所以数列an是周期为3的周期数列，
a1+a2+a3=8，
S2020=S673×3+1=673×8+a1=5384+3−5，
5≈2.236，所以S2020=5384.
故选：D
二、填空题
3．（2023·全国·高三对口高考）已知an的前n项和Sn=n2−4n+1，则 .
【答案】67
【详解】当n=1时，a1=S1=12−4×1+1=−2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−4n+1−n−12−4n−1+1=2n−5,
取n=1时，a1=2×1−5=−3，此式不满足a1，
故an的通项公式为an=−2,n=12n−5,n≥2，
根据通项公式知，.
所以a1+a2+…a10=−a1+a2+a3+a4+⋯+a10=S10−2S2
故答案为：67.
三、双空题
4．（2023·全国·高三专题练习）对于数列an，如果存在最小的一个常数TT∈N∗，使得对任意的正整数恒有an+T=an成立，则称数列an是周期为T的周期数列.设m=qT+r,m,q,T,r∈N∗，数列前m,T,r项的和分别记为Sm,ST,Sr，则Sm,ST,Sr三者的关系式 ；已知数列an的通项公式为an=|n−13|，那么满足ak+ak+1+⋯+ak+19=102的正整数k = .
【答案】 Sm=qST+Sr k=2或k=5
【详解】(1)因为数列an是周期为T的周期数列，m=qT+r，则Sm=(a1+a2+⋯+aT)+(a1+T+a2+T+⋯+a2T)+⋯+(a1+(q−1)T+a2+(q−1)T+⋯+aqT)+(a1+qT+a2+qT+⋯+ar+qT)=qST+Sr，
所以Sm=qST+Sr.
故答案为：Sm=qST+Sr.
(2)因为an=n−13，所以an=13−n,n≤13n−13,n>13，
所以当n≤13时，an的前n项和为Sn=25n−n22，
当n>13时，an的前n项和为Sn=S13+(1+n−13)(n−13)2=12(n2−25n+312)；
满足ak+ak+1+⋯+ak+19=102，
即ak+ak+1+⋯+ak+19=Sk+19−Sk−1=102，k∈N∗.
而Sk+19=12(k+19)2−25(k+19)+312=12(k2+13k+198)，
(1)当k−1≤13时，Sk−1=−12k2+272k−13，
所以Sk+19−Sk−1=12(k2+13k+198)−(−12k2+272k−13)=102，
解得k=2或k=5；
(2)当k−1>13时，Sk−1=12(k−1)2−25(k−1)+312=12(k2−27k+338)，
所以Sk+19−Sk−1=12(k2+13k+198)−12(k2−27k+338)=102，
解得k不是整数，舍去.
故答案为：k=2或k=5.
四、解答题
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列an是首项为1的等差数列，数列bn−1是公比为2的等比数列，且．
(1)求数列an,bn的通项公式；
(2)设表示不超过x的最大整数（如：），求集合中元素的个数．
【答案】(1)
(2)36
【详解】（1）设等差数列an的公差为d，
由题意可知，
因为，
所以1d=2b1−1+11+5d+4b1−1+1=20，
解得b1=3,d=2，所以an=1n−1=2n−1，
bn−1=3−1×2n−1=2n，故bn=2n+1．
（2）因为，所以，所以．
因为，
所以当m=1时，，则1当m=2时，，则3当m=3时，，则，故k=6,7,8,9,10；
当m=4时，a4依次类推，当m=10时，，则，故k=20,21,⋯,38，
由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素，
所以集合中元素的个数为
个．
6．（2023·全国·高二专题练习）从条件①2Sn=n+1an,an>0；②an2+an=2Sn,an>0；③Sn+Sn−1=ann≥2中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列an的前n项和为Sn，，_____________.
(1)求an的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，记，求bn的前100项和T100.
【答案】(1)若选①或②，an=n,；选③，an=2n−1
(2)若选①或②，92；选③，145
【详解】（1）若选①：
因为2Sn=n+1an,n∈N∗，所以2Sn−1=nan−1,n≥2，
两式相减得2an=n+1an−nan−1，整理得n−1an=nan−1,n≥2，
即ann=an−1n−1,n≥2，所以ann为常数列，ann=a11=1，所以an=n；
若选②：
因为an2+an=2Sn,n∈N∗，所以an−12+an−1=2Sn−1,n≥2，
两式相减an2−an−12+an−an−1=2Sn−2Sn−1=2an,n≥2，
得an−an−1an+an−1=an+an−1,n≥2，因为an>0，所以an−an−1=1,n≥2，
故an为等差数列，则an=1+n−1×1=n；
若选③：
由Sn+Sn−1=an,n≥2，变形得：Sn+Sn−1=Sn−Sn−1，则Sn+Sn−1=Sn+Sn−1Sn−Sn−1，
易知Sn>0，所以Sn−Sn−1=1,n≥2，则Sn为等差数列，由S1=a1=1，则Sn=1+n−1×1=n，Sn=n2，所以an=Sn−Sn−1=2n−1,n≥2，
由当n=1时，，也满足上式，所以an=2n−1.
（2）若选①或②：
由题意，bn=lgan=lgn，当1≤n≤9时，0≤lgn<1，bn=0；
当10≤n≤99时，1≤lgn<2，bn=1；当n=100时，lgn=2；
T100=0×9+90×1=92.
若选③：
由题意，bn=lgan=lg2n−1，当1≤n≤5时，0≤lg2n−1<1，bn=0；
当6≤n≤50时，1T100=0×5+45×1+50×2=145.
7．（2023·全国·高三专题练习）在①a3+a5=14；②S4=28；③a8是a5与a13的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知an为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn,bn为等比数列，其前n项和Tn=2n+λ,λ为常数，a1=b1，
（1）求数列an，bn的通项公式；
（2）令cn=lgan，其中表示不超过x的最大整数，求c1+c2+c3+…+c100的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【详解】若选①：1由已知b2=T2−T1=2,b3=T3−T2=4，所以q=b3b2=2
通项bn=b2qn−2=2×2n−2=2n−1，
故a1=b1=1
不妨设an的公差为d.则1d+1+4d=14,
解得d=2,所以an=2n−1
2由cn=lgan，则c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=C50=1，
c51=c52=…=c100=2，
所以c1+c2+c3+…+c100=1×45×50=145.
若选②：1由已知b2=T2−T1=2,b3=T3−T2=4，q=b3b2=2，
通项bn=b2an−2=2×2n−2=2n−1
故a1=b1=1.
不妨设an的公差为d，则4×1+4×32×d=28，
解得d=4,所以an=4n−3.
2由cn=lgan，则c1=c2=c3=0,c4=c5=…=C25=1，
c26=c27=…=c100=2，
所以c1+c2+c3+…+c100=1×22×75=172.
若选③：1由已知b2=T2−T1=2,b3=T3−T2=4，所以q=b3b2=2
通项bn=b2qn−2=2×2n−2=2n−1，
故a1=b1=1
不妨设an的公差为d.则1+7d2=1+4d1+12d，
因为d≠0,解得d=2,所以an=2n−1.
2由cn=lgan
则c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=c50=1
c51=c52=…=c100=2，
所以c1+c2+c3+…+c100=1×45×50=145.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}中，公差d=2，a2是a1和a4的等比中项；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=|11−12an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）an=2n；（2）Tn=−n21n2,n≤11n2−21n202,n≥12
【详解】（1）a2是a1和a4的等比中项，
所以，
即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
又由d=2，
即(a1)2=a1(a1+6)，
整理得，
所以数列an的通项公式为an=2n.
（2）由（1）知an=2n，n∈N∗，
则bn=|11−12an|=11−n，
当n≤11时，，
所以Tn=nb1+bn2=n11−1+11−n2=n21−n2=−n21n2，
当n≥12时，记数列11−n的前n项和为Sn，
则Sn=−n21n2，
所以Tn=S11−Sn−S11=2S11−Sn=110−−n21n2=n2−21n202，
综上得：Tn=−n21n2,n≤11n2−21n202,n≥12.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和为Sn=14n−n2.
（1）求数列an的通项公式；
（2） 求数列an的前n项和Tn.
【答案】（1）an=15−2n，（2）Tn=&14n−n2,1≤n≤7,n∈N+&n2−14n+98,n≥8,n∈N+
【详解】解：（1）当n=1时，S1=14−1=13，即，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=14n−n2−[14(n−1)−(n−1)2]=15−2n，
n=1时，满足上式，
所以an=15−2n
（2）由an≥0得n≤152，而n∈N+，
所以当1≤n≤7时，an≥0，当n≥8时，an<0，
当1≤n≤7时，Tn=a1+a2+⋅⋅⋅+an=a1+a2+⋅⋅⋅+an=Sn=14n−n2，
当n≥8时，Tn=a1+a2+⋅⋅⋅+a7+a8+⋅⋅⋅+an
=a1+a2+⋅⋅⋅+a7−(a8+⋅⋅⋅+an)
=S7−(Sn−S7)
=2S7−Sn
=n2−14n+98，
所以Tn=&14n−n2,1≤n≤7,n∈N+&n2−14n+98,n≥8,n∈N+
10．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知数列an是单调递增的等差数列，设其前n项和为Sn，已知S2=3，且a2,a4,a8成等比数列.
(1)求an的通项公式：
(2)定义为不大于x的最大整数，求数列的前2m−1m∈N∗项和.
【答案】(1)an=n，
(2)(m−2)2m
【详解】（1）设等差数列an的公差为d，由题意可知d>0，
因为S2=3，且a2,a4,a8成等比数列，
所以a1+a1+d=3a1+3d2=(a1+d)(a1+7d)，解得a1=1d=1或a1=32d=0（舍去），
所以an=a1+(n−1)d=1+n−1=n，
（2）由（1）得lg2an=lg2n，
所以lg2a2m−1=lg22m−1=m−1，所以lg2a2m−1=lg22m−1=m−1，
当n=1时，lg2n=0，
当n=2时，lg2n=1，当n=3时，lg2n=lg23=1，
当n=4,5,6,7时，lg2n=2，
当n=8,9,10,11,12,13,14,15时，lg2n=4，
当n=24,24+1,⋅⋅⋅,25−1时，lg2n=4，
……
当n=2m−1,2m−1+1,2m−1,⋅⋅⋅,2m−1时，lg2n=m−1，
所以数列的前2m−1m∈N∗项和为
0+1×21×22+3×23+⋅⋅⋅+(m−1)2m−1，
令S=1×21×22+3×23+⋅⋅⋅+(m−1)2m−1，则
2S=1×22×23+3×24+⋅⋅⋅+(m−2)⋅2m−1+(m−1)⋅2m，
所以−S=2+22+23+24+⋅⋅⋅+2m−1−(m−1)⋅2m
=2(1−2m−1)1−2−(m−1)2m
=−(m−2)2m−2，
所以S=(m−2)2m.
11．（2023春·广西北海·高二统考期末）已知函数an的首项a1=1，且满足an+1=4anan+3.
(1)求证：an−2an+1为等比数列，并求an；
(2)对于实数x，表示不超过x的最大整数，求1a1+1+2a2+1+3a3+1+⋯+60a60+1的值.
【答案】(1)证明见解析，an=31+1225n−1−1
(2)610
【详解】（1）因为a1=1,an+1=4anan+3，
所以an+1−2an+1+1=4an−2an+34an+an+3=2an−45an+5=25⋅an−2an+1，
又因为a1−2a1+1=−12，
所以数列an−2an+1是首项为−12，公比为25的等比数列，
所以an−2an+1=−1225n−1，整理得到an=31+1225n−1−1，
所以an=31+1225n−1−1.
（2）因为nan+1=n1+1225n−13=n3+n625n−1，
所以1a1+1+2a2+1+⋯+60a60+1=131+3+⋯+60+16125+⋯+602559
=610+16125+⋯+602559.
设T=125+⋯+602559，所以25T=25252+⋯+602560，
所以35T=1+25+⋯+2559−602560
=1×1−25601−25−602560=53×1−2560−602560,
所以T=259−92592560，
所以1a1+1+2a2+1+⋯+60a60+1=610+16259−92592560=610+2554−925542560.
因为0<925542560<2554，所以0<2554−92592560<1，
所以1a1+1+2a2+1+⋯+60a60+1=610.
12．（2023春·河南·高二校联考期末）已知等比数列an是递减数列，设其前n项和为Sn，已知S3=74，且a1，58，a3成等差数列.
(1)求an的通项公式；
(2)定义为不大于x的最大整数，若等差数列bn的首项为S4，公差为an的公比，求数列lg28bn−114的前15项和.
【答案】(1)an=12n−1
(2)34
【详解】（1）设等比数列an的公比为q，
因为a1，58，a3成等差数列，所以a1+a1q2=54①.
因为S3=74，所以a1+a1q+a1q2=74②.
②－①得a1q=12，所以q=12a1，
代入a1+a1q2=54，得4a12−5a1+1=0.
解得a1=1,q=12或a1=14,q=2（舍去）.
所以an=a1qn−1=12n−1.
（2）由（1）可得S4=1×1−1241−12=158，
所以bn=S4+n−1q=158+n−12=4n+118，则8bn−114=n.
所以lg28bn−114=lg2n.
当n=1时，lg2n=0.
当n=2,3时，lg2n=1，
当n=4,5,6,7时，lg2n=2，
当n=8,9,⋅⋅⋅,15时，lg2n=3，
所以数列lg28bn−114的前15项和为0+1×2×4+3×8=34.
13．（2023·全国·高二随堂练习）等差数列an中，a1=20，公差d=−52，令bn=|an|，求数列bn的前n项和Sn．
【答案】Sn=−54n2+854n,n≤9 54n2−854n+180,n>9
【详解】由题意知等差数列an中，a1=20，公差d=−52，
故an=a1+n−1d=20+n−1×−52=−52n+452，
令an=−52n+452≥0,∴n≤9，
故当n≤9时，；
当n>9时，an<0，
=920+02−n−9−52−52n+4522=54n2−854n+180，
故Sn=−54n2+854n,n≤954n2−854n+180,n>9.
14．（2023·全国·高三专题练习）an=2n−1n∈N∗，bn=2n+1,n∈N∗，记⟨x⟩表示x的个位数字，如⟨2022⟩=2,⟨2023⟩=3， 求数列1⟨an⟩⋅⟨bn⟩的前20项的和T20
【答案】5
【详解】因为⟨an⟩，⟨bn⟩分别表示an，bn的个位数，
所以{⟨an⟩}为1,3,5,7,9的周期数列，且周期为5，
{⟨bn⟩}为3,5,7,9,1周期数列，且周期为6，
将数列1⟨an⟩⋅⟨bn⟩中每5个一组，前20项和可分为5组，