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人教版（2024）八年级上册14.3.2 公式法练习
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这是一份人教版（2024）八年级上册14.3.2 公式法练习，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A．x2-2xy+4y2B．−x2-—y2C．−x2+y2D．x2+4xy-4y2
2．下列多项式因式分解：
①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则的值是（ ）
A．14B．36C．48D．64
5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如果，，那么的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
7．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
8．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．长和宽分别是a, b 的长方形的周长为 10，面积为 6，则a2b ab2的值为（ ）
A．15B．16C．30D．60
10．已知，，其中为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（ ）
嘉嘉：由已知条件可知．
淇淇：由已知条件可知．
A．只有嘉嘉正确B．只有淇淇正确
C．两人都正确D．两人都不正确
11．下列各式因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22B．﹣1C．7D．11
二、填空题
13．在实数范围内因式分解：x2-5=
14．多项式与的公因式是 ．
15．若，，则 ．
16．∵，∴，这说明能被整除，即或是的一个因式．另外，当即时，多项式的值为0；当即时，多项式的值为0．若能被整除，则k的值是 ．
17．已知，则 ．
三、解答题
18．计算：
(1)计算：；
(2)因式分解：
(3)化简：．
(4)因式分解：
19．（1）已知的三边长，，满足，试判断的形状．
（2）已知，，是的三边长，且满足，求的取值范围．
20．下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)将学习笔记补充完整．
(2)材料中的依据是指____________．（填序号）
①提取公因式；②平方差公式；③完全平方公式．
(3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．
21．仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
解：设另一个因式为，
则，即．
，解得，
另一个因式为，的值为．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
(2)已知关于的多项式有一个因式是，求的值．
22．常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，过程为：这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式：
(1)；
(2)．
23．阅读材料并解决问题：分解因式，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：
这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题：
(1)分解因式：
(2)已知的三边长a，b，c满足，试判断的形状．
因式分解：．
解：设，
原式
___________
（依据）
___________．
1．C
【分析】题干中的公式指的是完全平方和公式，完全平方差公式，平方差公式.通过这三个公式逐一判断即可.
【详解】A.x2-2xy+4y2无法分解因式，故选项错误.
B.−x2—y2 无法分解因式，故选项错误.
C.，用平方差公式分解，故选项正确.
D.x2+4xy-4y2无法分解因式，故选项错误.
故选C.
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，常用的公式有：， ，正确掌握乘法公式的基本形式是解题关键．
2．B
【分析】根据乘法公式和提公因式法分解因式即可得到答案．
【详解】解：①，因式分解正确，符合题意；
②不能进行因式分解，不符合题意；
③，因式分解错误，不符合题意；
④，因式分解正确，符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
3．B
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式和十字相乘法分解因式，进而得出答案．
【详解】解：A、，含，故此选项不合题意；
B、，不含，故此选项符合题意；
C、，含，故此选项不合题意；
D、，含，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
4．C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．提公因式分解得到，再整体代入数据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
5．C
【分析】根据完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：①，不符合题意；
②不能用完全平方公式分解，符合题意；
③不能用完全平方公式分解，符合题意；
④，不符合题意；
⑤不能用完全平方公式分解，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，属于基本题目，熟知完全平方公式的结构特点是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
故选D．
7．A
【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案.
【详解】解：，
故选B．
9．C
【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6，
∴2（a+b）=10，ab=6，
则a+b=5，
故ab2+a2b=ab（b+a）
=6×5
=30．
故选C．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．
10．B
【分析】本题考查的是整式的值的大小比较，完全平方公式的应用，非负数的性质，先由，，的符号不确定，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，，为正整数，
∴，
∵，
∴，
∴，故嘉嘉判断错误；
∵，，为正整数，
∴，，
∵，
∴，故淇淇判断正确，
故选：B
11．D
【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．
【详解】解：A： x2-a2=(x-a)2 ，因式分解不正确；
B： 4a2+4a+1=(2a+1)2，因式分解不正确；
C： -x2+4x=-x(x-4) ，原式因式分解错误；
D： x2−4y2=(x+2y)(x−2y) ，原式因式分解正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
12．B
【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．
【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．
13．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
14．/
【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．首先将与进行因式分解，然后根据公因式的定义确定答案即可．
【详解】解：∵，，
∴多项式与的公因式是．
故答案为：．
15．0
【分析】本题考查因式分解的应用，利用整体代入的思想计算整式的加减是解题的关键，把通过提公因式，完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：由题可得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：0．
16．2
【分析】根据题意可知，当时，由此求解即可．
【详解】解：∵能被整除，
∴当时，，即此时，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．
17．0
【分析】本题先算出a2的值，然后得出a2+2a-2=0，再把原式进行整理即可得出结果．
【详解】∵a2=(−1)2=4−2，
∴a2+2a−2=0，
∴=a2011(a2+2a−2)
=0.
故答案为0.
【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则.
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】题目主要考查实数的混和运算及因式分解，整式的乘法运算，
（1）先计算有理数的乘方运算，求算术平方根及立方根，然后计算乘除法，最后计算加减法即可；
（2）利用公式法因式分解即可；
（3）先计算整式的乘法运算，然后计算加减法即可；
（4）先提取公因式，然后利用公式法因式分解即可；
熟练掌握各个运算法则是解题关键．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
19．（1）是等边三角形；（2）
【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系等知识．
（1）首先将其化成两个平方形式与绝对值形式的和，然后根据非负数的性质求出，，的值，最后进行判断；
（2）根据题意，首先求出和的值，然后根据三角形三边关系求的取值范围．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
20．(1)；
(2)③
(3)
【分析】本题考查因式分解的应用，用换元法化繁为简进行因式分解是解决本题的关键，应注意因式分解一定要分解到底；
（1）利用换元法和完全平方式进行分解即可；
（2）根据完全平方公式求解即可；
（3）利用换元法和完全平方式进行分解即可．
【详解】（1）．
解：设，
原式
．
（2）材料中的依据是指完全平方公式
（3）
设
原式
21．(1)；
(2)12
【分析】本题考查解因式分解的应用，多项式乘多项式等知识．
（1）根据题意设另一个因式为，再利用对应相等列出二元一次方程组解出即可得到本题答案；
（2）根据题意设另一个因式为，再利用对应相等列出二元一次方程组解出即可得到本题答案．
【详解】（1）解：设另一个因式为，
则，即，
，解得，
另一个因式为，的值为；
（2）解：设另一个因式为，
则，即，
，解得，
的值为12．
22．(1)；
(2)．
【分析】此题考查了分组分解法分解因式，
（1）直接将前三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案；
（2）直接将前两项和后两项分组，再利用提取公因式法分解因式即可；
解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用．
【详解】（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
．
23．(1)
(2)等腰三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）应用分组分解法直接分解因式即可；
（2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴
∴
∵
，
∴．
∴是等腰三角形．
一、单选题
1．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A．x2-2xy+4y2B．−x2-—y2C．−x2+y2D．x2+4xy-4y2
2．下列多项式因式分解：
①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则的值是（ ）
A．14B．36C．48D．64
5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如果，，那么的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
7．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
8．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．长和宽分别是a, b 的长方形的周长为 10，面积为 6，则a2b ab2的值为（ ）
A．15B．16C．30D．60
10．已知，，其中为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（ ）
嘉嘉：由已知条件可知．
淇淇：由已知条件可知．
A．只有嘉嘉正确B．只有淇淇正确
C．两人都正确D．两人都不正确
11．下列各式因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22B．﹣1C．7D．11
二、填空题
13．在实数范围内因式分解：x2-5=
14．多项式与的公因式是 ．
15．若，，则 ．
16．∵，∴，这说明能被整除，即或是的一个因式．另外，当即时，多项式的值为0；当即时，多项式的值为0．若能被整除，则k的值是 ．
17．已知，则 ．
三、解答题
18．计算：
(1)计算：；
(2)因式分解：
(3)化简：．
(4)因式分解：
19．（1）已知的三边长，，满足，试判断的形状．
（2）已知，，是的三边长，且满足，求的取值范围．
20．下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)将学习笔记补充完整．
(2)材料中的依据是指____________．（填序号）
①提取公因式；②平方差公式；③完全平方公式．
(3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．
21．仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
解：设另一个因式为，
则，即．
，解得，
另一个因式为，的值为．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
(2)已知关于的多项式有一个因式是，求的值．
22．常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，过程为：这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式：
(1)；
(2)．
23．阅读材料并解决问题：分解因式，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：
这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题：
(1)分解因式：
(2)已知的三边长a，b，c满足，试判断的形状．
因式分解：．
解：设，
原式
___________
（依据）
___________．
1．C
【分析】题干中的公式指的是完全平方和公式，完全平方差公式，平方差公式.通过这三个公式逐一判断即可.
【详解】A.x2-2xy+4y2无法分解因式，故选项错误.
B.−x2—y2 无法分解因式，故选项错误.
C.，用平方差公式分解，故选项正确.
D.x2+4xy-4y2无法分解因式，故选项错误.
故选C.
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，常用的公式有：， ，正确掌握乘法公式的基本形式是解题关键．
2．B
【分析】根据乘法公式和提公因式法分解因式即可得到答案．
【详解】解：①，因式分解正确，符合题意；
②不能进行因式分解，不符合题意；
③，因式分解错误，不符合题意；
④，因式分解正确，符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
3．B
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式和十字相乘法分解因式，进而得出答案．
【详解】解：A、，含，故此选项不合题意；
B、，不含，故此选项符合题意；
C、，含，故此选项不合题意；
D、，含，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
4．C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．提公因式分解得到，再整体代入数据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
5．C
【分析】根据完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：①，不符合题意；
②不能用完全平方公式分解，符合题意；
③不能用完全平方公式分解，符合题意；
④，不符合题意；
⑤不能用完全平方公式分解，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，属于基本题目，熟知完全平方公式的结构特点是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
故选D．
7．A
【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案.
【详解】解：，
故选B．
9．C
【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6，
∴2（a+b）=10，ab=6，
则a+b=5，
故ab2+a2b=ab（b+a）
=6×5
=30．
故选C．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．
10．B
【分析】本题考查的是整式的值的大小比较，完全平方公式的应用，非负数的性质，先由，，的符号不确定，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，，为正整数，
∴，
∵，
∴，
∴，故嘉嘉判断错误；
∵，，为正整数，
∴，，
∵，
∴，故淇淇判断正确，
故选：B
11．D
【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．
【详解】解：A： x2-a2=(x-a)2 ，因式分解不正确；
B： 4a2+4a+1=(2a+1)2，因式分解不正确；
C： -x2+4x=-x(x-4) ，原式因式分解错误；
D： x2−4y2=(x+2y)(x−2y) ，原式因式分解正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
12．B
【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．
【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．
13．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
14．/
【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．首先将与进行因式分解，然后根据公因式的定义确定答案即可．
【详解】解：∵，，
∴多项式与的公因式是．
故答案为：．
15．0
【分析】本题考查因式分解的应用，利用整体代入的思想计算整式的加减是解题的关键，把通过提公因式，完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：由题可得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：0．
16．2
【分析】根据题意可知，当时，由此求解即可．
【详解】解：∵能被整除，
∴当时，，即此时，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．
17．0
【分析】本题先算出a2的值，然后得出a2+2a-2=0，再把原式进行整理即可得出结果．
【详解】∵a2=(−1)2=4−2，
∴a2+2a−2=0，
∴=a2011(a2+2a−2)
=0.
故答案为0.
【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则.
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】题目主要考查实数的混和运算及因式分解，整式的乘法运算，
（1）先计算有理数的乘方运算，求算术平方根及立方根，然后计算乘除法，最后计算加减法即可；
（2）利用公式法因式分解即可；
（3）先计算整式的乘法运算，然后计算加减法即可；
（4）先提取公因式，然后利用公式法因式分解即可；
熟练掌握各个运算法则是解题关键．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
19．（1）是等边三角形；（2）
【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系等知识．
（1）首先将其化成两个平方形式与绝对值形式的和，然后根据非负数的性质求出，，的值，最后进行判断；
（2）根据题意，首先求出和的值，然后根据三角形三边关系求的取值范围．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
20．(1)；
(2)③
(3)
【分析】本题考查因式分解的应用，用换元法化繁为简进行因式分解是解决本题的关键，应注意因式分解一定要分解到底；
（1）利用换元法和完全平方式进行分解即可；
（2）根据完全平方公式求解即可；
（3）利用换元法和完全平方式进行分解即可．
【详解】（1）．
解：设，
原式
．
（2）材料中的依据是指完全平方公式
（3）
设
原式
21．(1)；
(2)12
【分析】本题考查解因式分解的应用，多项式乘多项式等知识．
（1）根据题意设另一个因式为，再利用对应相等列出二元一次方程组解出即可得到本题答案；
（2）根据题意设另一个因式为，再利用对应相等列出二元一次方程组解出即可得到本题答案．
【详解】（1）解：设另一个因式为，
则，即，
，解得，
另一个因式为，的值为；
（2）解：设另一个因式为，
则，即，
，解得，
的值为12．
22．(1)；
(2)．
【分析】此题考查了分组分解法分解因式，
（1）直接将前三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案；
（2）直接将前两项和后两项分组，再利用提取公因式法分解因式即可；
解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用．
【详解】（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
．
23．(1)
(2)等腰三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）应用分组分解法直接分解因式即可；
（2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴
∴
∵
，
∴．
∴是等腰三角形．
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