四川省成都市实验中学2024-2025学年九上数学开学学业质量监测模拟试题【含答案】

这是一份四川省成都市实验中学2024-2025学年九上数学开学学业质量监测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在中，，，将绕点旋转，当点的对应点落在边上时，点的对应点，恰好与点、在同一直线上，则此时的面积为（ ）
A．240B．260C．320D．480
2、（4分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1D．x﹣1＝x（1﹣）
3、（4分）如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．是的中线B．四边形是平行四边形
C．D．平分
4、（4分）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（）
A．扩大3倍B．缩小3倍
C．缩小6倍D．不变
5、（4分）把a3-4a分解因式正确的是
A．a（a2-4）B．a（a-2）2
C．a（a+2）（a-2）D．a（a+4）（a-4）．
6、（4分）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是
A．四边形ABCD是平行四边形B．
C．是等边三角形D．
7、（4分）A、B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别是，，下列结论正确的是
A．B．C．D．
8、（4分）下列条件中能构成直角三角形的是（ ）．
A．2、3、4B．3、4、5C．4、5、6D．5、6、7
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）对于任意非零实数a，b，定义“☆”运算为：a☆b＝，若（x+1）☆x+（x+2）☆（x+1）+（x+3）☆（x+2）+…+（x+2018）☆（x+2017）＝，则x＝_____．
10、（4分）若一组数据1，3，，5，4，6的平均数是4，则这组数据的中位数是__________.
11、（4分）因式分解：_________．
12、（4分）因式分解：m2n+2mn2+n3＝_____．
13、（4分）分解因式：___________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若点E到CD的距离为2，CD＝3，试求出矩形ABCD的面积．
15、（8分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为 ．
16、（8分）计算：
（1）+﹣
（2）2÷5
（3）（+3﹣）÷
（4）（2﹣3）2﹣（4+3）（4﹣3）
17、（10分） “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在高速公路上的行驶速度不得超过120千米/小时，不得低于60千米/小时，如图，一辆小汽车在高速公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到“车速检测点”正前方60米处，过了3秒后，测得小汽车位置与“车速检测点”之间的距离为100米，这辆小汽车是按规定行驶吗？
18、（10分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，若BC＝10cm，AB＝8cm，求EF的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）1955年，印度数学家卡普耶卡（）研究了对四位自然数的一种变换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数，再减去它的反序数（即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算），得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数，这个数称为变换的核.则四位数9631的变换的核为______.
20、（4分）若-，则的取值范围是__________．
21、（4分）式子有意义，则实数的取值范围是______________.
22、（4分）正方形、、、…按如图所示的方式放置.点、、、…和点、、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是__________．（为正整数）
23、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）小东到学校参加毕业晚会演出，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距毕业晚会开始还有25分钟，于是立即步行回家．同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送道具，两人在途中相遇，相遇后，小东父亲立即骑自行车以原来的速度载小东返回学校．图中线段AB、OB表示相遇前（含相遇）父亲送道具、小东取道具过程中，各自离学校的路程S（米）与所用时间t分）之间的函数关系，结合图象解答下列问题．
（1）求点B坐标；
（2）求AB直线的解析式；
（3）小东能否在毕业晚会开始前到达学校？
25、（10分）.某酒厂生产A，B两种品牌的酒，平均每天两种酒共可售出600瓶，每种酒每瓶的成本和售价如表所示，设平均每天共获利y元，平均每天售出A种品牌的酒x瓶.
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）如果该厂每天至少投入成本25000元，且售出的B种品牌的酒不少于全天销售总量的55%，那么共有几种销售方案?并求出每天至少获利多少元?
26、（12分）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化.
(1)探索发现
如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE，BP与CE的数量关系是_______，CE与AD的位置关系是_______.
(2)归纳证明
证明2，当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立?若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
(3)拓展应用
如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=5，BE=13，请直接写出线段DP的长.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据旋转的性质可得，因此可得为等腰三角形，故可得三角形的高，进而计算的面积.
【详解】
根据旋转的性质可得
因此为等腰三角形
，
等腰三角形的高为：

故选A.
本题主要考查图形的旋转和等腰三角形的性质，难点在于根据题意求出高.
2、B
【解析】
根据因式分解的定义即可判断.
【详解】
A. 含有加减，不是因式分解；
B. 是因式分解；
C. 是整式的运算，不是因式分解；
D. 含有分式，不是因式分解.
故选B
此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积形式.
3、D
【解析】
根据平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质，逐一判定即可.
【详解】
∵点是线段的中点，
∴BC=EC
∵等腰和等腰，，
∴AB=AC=CD=DE，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC=45°
∴∠ACD=90°，AD=BC=EC
∴∠CAD=∠CDA=45°
∴AD∥BE
∴四边形是平行四边形，故B选项正确；
在△ABE和△DEB中，
∴△ABE≌△DEB（SAS）
∴，故C选项正确；
∴∠DBE=∠AEB
∴FC⊥BE
∵AD∥BE
∴FC⊥AD
∴是的中线，故A选项正确；
∵AC≠CE
∴不可能平分，故D选项错误；
故选：D.
此题主要考查平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.
4、D
【解析】
将x,y用3x,3y代入化简，与原式比较即可.
【详解】
解：将x,y用3x,3y代入得=,
故值不变，答案选D.
本题考查分式的基本性质，熟悉掌握是解题关键.
5、C
【解析】
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】
a3-4a
=a（a2-4）
=a（a+2）（a-2）．
故选C．
提公因式法与公式法的综合运用．
6、C
【解析】
菱形是特殊的平行四边形,菱形具有平行四边形的所有性质,菱形是特殊的平行四边形,具有特殊性质:(1)菱形的四条边都相等,(2)菱形的对角线互相平分且垂直,(3)菱形的对角线平分每一组对角,根据菱形的性质进行解答.
【详解】
A选项,因为菱形ABCD,所以四边形ABCD是平行四边形,因此A正确,
B选项,因为AC,BD是菱形的对角线,所以, 因此B正确,
C选项,根据菱形邻边相等可得: 是等腰三角形,但不一定是等边三角形,因此C选项错误,
D选项,因为菱形的对角线平分每一组对角,所以,因此D正确,
故选C.
本题主要考查菱形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握菱形的性质.
7、B
【解析】
根据函数的图象可知：y随x的增大而增大，y+b【详解】
∵根据函数的图象可知：y随x的增大而增大，
∴y+b∴b<0，a<0，
∴选项A. C. D都不对，只有选项B正确，
故选B.
8、B
【解析】
根据勾股定理逆定理进行计算判断即可．
【详解】
A.，故不能构成直角三角形；
B.，故能构成直角三角形；
C.，故不能构成直角三角形；
D.，故不能构成直角三角形．
故选：B．
本题考查勾股定理的逆定理，熟记定理是关键，属于基础题型．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、﹣1
【解析】
已知等式左边利用题中的新定义化简，再利用拆项法变形，整理后即可求出解．
【详解】
解：已知等式利用题中的新定义化简得：
+…+＝，
整理得：（）＝，
合并得：（）＝，即＝0，
去分母得：x+2018+x＝0，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，
则x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了分式的混合运算，属于新定义题型，将所求的式子变形之后利用进行拆项是解题的关键．
10、4.5
【解析】
根据题意可以求得x的值，从而可以求的这组数据的中位数．
【详解】
解：∵数据1、3、x、5、4、6的平均数是4，
∴
解得：x=5，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6
则中位数为
故答案为：4.5
本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
11、
【解析】
直接提取公因式即可．
【详解】
．
故答案为：．
本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．
12、n（m+n）1
【解析】
先提公因式n，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：m1n+1mn1+n3
＝n（m1+1mn+n1）
＝n（m+n）1．
故答案为：n（m+n）1
此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则.
13、ab（a+b）（a﹣b）．
【解析】
分析：先提公因式ab，再把剩余部分用平方差公式分解即可.
详解：a3b﹣ab3，=ab（a2﹣b2），=ab（a+b）（a﹣b）．
点睛：此题考查了综合提公因式法和公式法因式分解，分解因式掌握一提二用，即先提公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）矩形ABCD的面积＝1．
【解析】
（1）根据对边平行得四边形OCED是平行四边形，由原矩形对角线相等且互相平分得OC=OD，所以四边形OCED是菱形；
（2）根据三角形面积公式和矩形的面积等于4个△DEC的面积解答即可．
【详解】
（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∴▱OCED是菱形；
（2）∵点E到CD的距离为2，CD＝3，
∴△DEC的面积＝ ，
∴矩形ABCD的面积＝4×3＝1．
本题考查了矩形的性质，是常考题型，难度不大；需要熟练掌握矩形、菱形的边、角、对角线的关系，不能互相混淆.
15、（1）详见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形，理由详见解析；（3）1．
【解析】
（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；
（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝AB•AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴EO＝CO，
同理：FO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：
由（1）得：EO＝FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO＝FO＝CO，
∴EO＝FO＝AO＝CO，
∴EF＝AC，
∴四边形CEAF是矩形；
（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，
∴∠AEC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，
∵122+52＝132，
即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴△ABC的面积＝AB•AC＝×12×5＝30，
∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝1；
故答案为1．
本题考查了角平分线的概念，三角形的性质，矩形的判断以及四边形与几何动态综合，知识点综合性强，属于较难题型.
16、（1）（2） （3） （4）49-12
【解析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；
（3）原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果；
（4）原式利用完全平方公式和平方差公式变形，计算即可得到结果.
【详解】
（1）+﹣ ，
=，
=；
（2）2÷5 ，
=，
=，
=；
（3）（+3﹣）÷ ，
= ，
= ，
=；
（4）（2﹣3）2﹣（4+3）（4﹣3），
=，
=49-.
此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17、这辆小汽车是按“中华人民共和国道路交通管理条例”规定行驶．̈
【解析】
根据勾股定理求出BC，求出速度，再比较即可．
【详解】
解：由勾股定理得，（米），
（米/秒），
∵米/秒千米/时，而，
∴这辆小汽车是按“中华人民共和国道路交通管理条例”规定行驶．̈
本题考查了勾股定理的应用，能求出BC的长是解此题的关键．
18、EF＝5 cm．
【解析】
根据折叠的性质得到AF=AD，DE=EF，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：由折叠的性质可知，AF＝AD＝BC＝10 cm，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝6(cm)，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4(cm)
设EF＝x cm，则DE＝EF＝x，CE＝8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+FC2，即x2＝(8﹣x)2+42，
解得x＝5，
即EF＝5cm．
本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、6174
【解析】
用1的四个数字由大到小排列成一个四位数1．则1-1369=8262，用8262的四个数字由大到小重新排列成一个四位数2．则2-2268=6354，类似地进行上述变换，可知5次变换之后，此时开始停在一个数6174上．
【详解】
解：用1的四个数字由大到小排列成一个四位数1．则1-1369=8262，
用8262的四个数字由大到小重新排列成一个四位数2．则2-2268=6354，
用6354的四个数字由大到小重新排列成一个四位数3．则3-3456=3087，
用3087的四个数字由大到小重新排列成一个四位数4．则4-378=8352，
用8352的四个数字由大到小重新排列成一个四位数5．则5-2358=6174，
用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6．则6-1467=6174…
可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．
故答案为6174.
本题考查简单的合情推理．此类题可以选择一个具体的数根据题意进行计算，即可得到这个确定的数．
20、
【解析】
利用二次根式的性质（）及绝对值的性质化简（），即可确定出x的范围．
【详解】
解：∵,
∴．
∴，即．
故答案为: ．
本题考查利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解决此题的关键．
21、且
【解析】
分析：直接利用二次根式的定义：被开方数大于等于零，分式有意义的条件：分母不为零，分析得出答案．
详解：式子有意义，
则+1≥0，且-2≠0，
解得：≥-1且≠2.
故答案：且.
点睛：本题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件.
22、
【解析】
分析：由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为（2n-1），然后就可以求出Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]．
详解：由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），
∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，
又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为2n-1，
∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]=（2n-1，2n-1）．
故答案为（2n-1，2n-1）．
点睛：本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
23、y=﹣x+
【解析】
在Rt△OAB中，OA=4，OB=3，用勾股定理计算出AB=5，再根据折叠的性质得BA′=BA=5，CA′=CA，则OA′=BA′﹣OB=2，设OC=t，则CA=CA′=4﹣t，在Rt△OA′C中，根据勾股定理得到t2+22=（4﹣t）2，解得t=，则C点坐标为（0，），然后利用待定系数法确定直线BC的解析式
【详解】
解：∵A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△OAB中，AB==5，
∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，
∴BA′=BA=5，CA′=CA，
∴OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2，
设OC=t，则CA=CA′=4﹣t，
在Rt△OA′C中，
∵OC2+OA′2=CA′2，
∴t2+22=（4﹣t）2，解得t=，
∴C点坐标为（0，），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0）、C（0，）代入得，解得
∴直线BC的解析式为y=﹣x+
故答案为y=﹣x+．
【考点】
翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）点B的坐标为（15，900）；（2）s=﹣180t+310；（3）小东能在毕业晚会开始前到达学校．
【解析】
（1）由图象可知：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟，设小东步行的速度为x米/分，则小东父亲骑车的速度为3x米/分，依题意得：
15（x+3x）=310，
解得：x=1．
∴两人相遇处离学校的距离为1×15=900（米）．
∴点B的坐标为（15，900）；
（2）设直线AB的解析式为：s=kt+b．
∵直线AB经过点A（0，310）、B（15，900）
∴
∴直线AB的解析式为：s=﹣180t+310；
（3）解法一：
小东取道具遇到父亲后，赶往学校的时间为： =5（分），
∴小东从取道具到赶往学校共花费的时间为：15+5=20（分），
∵20＜25，
∴小东能在毕业晚会开始前到达学校．
解法二：
在s=﹣180t+310中，令s=0，即﹣180t+310=0，解得：t=20，
即小东的父亲从出发到学校花费的时间为20（分），
∵20＜25，
∴小东能在毕业晚会开始前到达学校．
25、（1）y；（2）共有4种方案，10335.
【解析】
（1）根据获利y=A种品牌的酒的获利+B种品牌的酒的获利，即可解答．
（2）根据生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%，A种品牌的酒的成本+B种品牌的酒的成本≥25000，列出方程组，求出x的取值范围，根据x为正整数，即可得到生产方案；再根据一次函数的性质，即可求出每天至少获利多少元．
【详解】
（1）

（2）依题意2得
x为整数
解得
共有4种方案 A：267 B：333
A：268 B：332
A：269 B：331
A：270 B：330
至少获利
若x取267，y最小
本题考查了一次函数的应用，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列解析式，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后根据一次函数的性质求出哪种方案获利最小.
26、 (1)BP=CE，CE⊥AD；(2)(1)中的结论仍成立.理由见解析； (3)PD= ．
【解析】
（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可证△ABC与△ACD是等边三角形，由等边△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，减去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根据SAS可证得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD．
（2）证明过程同（1）．
（3）由AB=5即△ABC为等边三角形可求得BD的长．连接CE，由（2）可求∠BCE=90°，故在Rt△BCE中，由勾股定理可求CE的长．又由（2）可得BP=CE，由DP=BP-BD即求得DP的长．
【详解】
解：(1) ∵菱形ABCD中，∠ABC=60°
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD是等边三角形
∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°
∵△APE是等边三角形
∴AP=AE，∠PAE=60°
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC
即∠BAP=∠CAE
在△BAP与△CAE中

∴△BAP≌△CAE（SAS）
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE
∵BD平分∠ABC
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°
∴CE平分∠ACD
∴CE⊥AD
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；
(2)(1)中的结论仍成立，证明如下：
设AD与CE交于点O
∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形.
∴AB=AC，∠BAC=60°
∴∠BAP=∠CAE
又∵ΔAPE为等边三角形
∴AP=AE
在△BAP与△CAE中
∴△BAP≌ΔCAE(SAS)
∴BP=CE
∴∠ACE=∠ABP=30°
又∵∠CAD=60°
∠A0C=90°
∴AD⊥CE；
(3) 连接CE，设AC与BD相交于点O
∵AB=5
∴BC=AC=AB=5
∴AO=AC=
∴BO= ＝＝
∴BD=2BO=5
∵∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，BE=13
∴CE= ＝=12
由（2）可知，BP=CE=12
∴DP=BP-BD=12-5
故答案为：(1)BP=CE，CE⊥AD；(2)(1)中的结论仍成立.理由见解析； (3)PD= ．
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．第（2）题的证明过程可由（1）适当转化而得，第（3）题则可直接运用（2）的结论解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
A
B
成本（元）
50
35
售价（元）
70
50