2025高考数学总复习专项复习（讲义）--一元函数的导数及其应用专题八（含解析）

这是一份2025高考数学总复习专项复习（讲义）--一元函数的导数及其应用专题八（含解析），共16页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025年高考导数复习专题八
知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题,由导数求函数的最
典例1、已知函数．
（1）若，求函数的单调递减区间； （2）若，求函数在区间上的最大值；
（3）若在区间上恒成立，求的最大值.
随堂练习：已知．
（1）若有最值，求实数a的取值范围；
（2）若当时，，求实数a的取值范围．
典例2、已知函数且．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
随堂练习：已知．
（1）已知函数在点的切线与圆相切，求实数a的值；
（2）当时，，求实数a的取值范围．
典例3、已知函数.
（1）若，求在处的切线方程； （2）求的最值；
（3）若时，，求a的取值范围.
随堂练习：设函数，记．
（1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间；
（3）若函数的图象恒在的图象的下方，求实数a的取值范围．
知识点二 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,用导数判断或证明已知函数的单调性,
利用导数证明不等式
典例4、设函数.
（1）若，求在点处的切线方程； （2）求的单调递减区间；
（3）求证：不等式恒成立.
随堂练习：已知函数.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.
典例5、已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间；
（3）若关于x的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：
随堂练习：已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点, 处的切线与轴平行．
（1）求的值； （2）求的单调区间；
（3）设，其中为的导函数．证明：对任意，．
典例6、已知直线是函数图象的切线，也是曲线的切线．
（1）求，的值； （2）证明：当,,时，；
（3）当时，讨论函数的单调性．
随堂练习：已知函数，为的导函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间和极值；
（3）当时，求证：对任意的，，且，有．
2024年高考导数复习专题八答案
典例1、答案：（1） （2）答案见详解 （3） 1
解：（1）当时，，则，
令．因为 ，则 所以函数的单调递减区间是
（2）． 令，由，解得，（舍去）．
当，即时，在区间上，函数在上是减函数．
所以函数在区间上的最大值为；
当，即时，在上变化时，的变化情况如下表
所以函数在区间上的最大值为．
（3）综上所述：当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为．
当时，则在上恒成立 ∴函数在上是减函数，则
∴成立
当时，由（2）可知：
①当时，在区间上恒成立，则成立；
②当时，由于在区间上是增函数，
所以 ，即在区间上存在使得，不成立
综上所述：的取值范围为，即的最大值为．
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）函数的定义域为，，
当时，在上恒成立，则在上单调递增，无最值，不合题意，舍去
当时，令，则，令，则
∴在上单调递减，在上单调递增，则在处取到最小值
所以，即实数a的取值范围为．
（2）因为，，所以， 因为，所以成立．
令，则 令，则当时恒成立
∴在上单调递增，则 则当时恒成立
所以函数在上单调递增，所以，
所以，即实数a的取值范围为．
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）当时，因为， 所以，，
又因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即；
（2）因为且， 所以，
当时，，所以在上单调递增，取，则，不符合题意，
当时，令，解得或（舍），
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以在上的最小值为，
若恒成立，只需，解得， 综上可知，的取值范围是．
随堂练习：答案：（1）或；（2）.
详解:（1）由题知，，．在点的切线斜率为，
在点的切线方程为， 即，
由题意知，，解得或．
（2）设 ，
设，， 当时，，，，
即在上是增函数，，
当时，， 则当时，， 函数在上是增函数，
当时，，满足题意，
当时，， 在上是增函数，，
存在上，使，当时，，函数在是减函数
当时，，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围为．
典例3、答案：（1） ； （2）答案见解析； （3） .
解：（1）当时，， 则，故，又，
所以在处的切线方程为，即
（2）， .
①当时，， 则在R上单调递增，所以无最值；
②当时，令，得.
当时，; 当时，,
在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值为 无最大值.
综上，当时，无最值；当时，有 最小值为，无最大值.
（3）由题意得对于任意的恒成立， 且当x=0时，等号成立.
令则，
①若，则. 令, 则，显然在[0，+∞)上恒成立，
在[0，十∞)上单调递增，即在[0，十∞)上单调递增.
当，即时，. 又, 易证，
, ，使，
时，,即在上单调递减， 对，不符合题意;
当,即时，, 在上单调递增，
，，符合题意，所以;
②当时，只需证明当时，即可.
令 ， 则
， 易得即在上单调递增，
故时，， ，，即在上单调递增，
所以，即当时，在上恒成立，
综上所述，的取值范围是.
随堂练习：答案：（1） ； （2）单调区间见解析； （3）
解：（1），所以，，则切线方程为.
（2），，
当时，，则在上为增函数；
当时，，即，则在上为增函数，上为减函数.
综上所述，当时，则的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）函数的图象恒在的图象的下方，即恒成立；
由(2)知，当时，则在上为增函数，此时无最大值，
事实上，不合题意；
当时，在上为增函数，上为减函数.
所以，故； 即实数a的取值范围是
典例4、答案：（1） （2） （3）证明见解析
解：（1）当时，，， ，又，
在点处的切线方程为：，即.
（2）由题意得：定义域为，； 令，解得：，
当时，；当时，； 的单调递减区间为.
（3）设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，又，，
，使得，则，，
在上单调递减，在上单调递增，
（当且仅当时取等号），
又，，，即恒成立.
随堂练习：答案：（1）；（2）当时，在上是减函数；当 时，在上是增函数；（3）证明见解析.
解:（1）当时，，
所以 ，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）由已知得，，令，得，
所以当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数；
（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，
所以，且时，，当时，，，
所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，
构造函数，则，
当时，所以，
在上单调递减，且，，
由 ，
在上单调递增，
.
所以.
典例5、答案：（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明见解析.
解:（1），， ，，
所以在点处的切线方程为， 整理得：，
（2）函数定义域为，
当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得，
此时在上，单调递减， 在上，单调递增，
综上：时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）证明：由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，
则要证，即证，即证， 而，则，否则方程不成立），
所以即证，化简得，
令，则， 当时，，单调递减，
当时，，单调递增， 所以（1），而，
所以， 所以，得证．
随堂练习：答案：（1） ； （2）在递增，在递减； （3）证明见解析.
解：（1）由题设，，，
又在,处的切线与轴平行，即， .
（2）由（1）得：，， 令，，
当时，，当时，，又，
时，，时，， 在递增，在递减；
由，即，，，，
（3）由（2），对于，， ，，
时，递增，,时，递减，
，即， 设，则，
时，递增，即，则，
综上，，故，，得证．
典例6、答案：（1） ，； （2）证明见解析；
（3） 在上单调递增，在上单调递减.
解：（1）设与和的切点分别为,、,；
， ，， ，可得，
切线方程分别为即，
或即，
，解得， ，；
（2）令，,,，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，则，故,,时，即；
，则，故，
在上单调递减，而，，
（3）由（2）中的单调性，可得：， 由（2）及可得：，
使得，即时，时，
∴在上单调递增，在上单调递减．
随堂练习：：答案： （1） ；（2）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值 ；（3）证明见解析 ．
解： （1）当时，，．可得，，所以曲线在点 处的切线方程为， 即．
（2）依题意，．
从而可得，整理可得：， 令，解得．
当x变化时，的变化情况如下表：
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
的极小值为，无极大值．
（3）证明：由，得．对任意的，，且，令，则：
． ①
令，． 当时，，
由此可得在单调递增， 所以当时，，即．
因为，，，
所以 ． ②
由（2）可知，当时，，即， 故 ③
由①②③可得．
所以，当时，任意的，且，有．
x
+
+
-
↗
↘
x
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增