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    2025高考数学总复习专项复习(讲义)--一元函数的导数及其应用专题六(含解析)

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    2025高考数学总复习专项复习(讲义)--一元函数的导数及其应用专题六(含解析)

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    这是一份2025高考数学总复习专项复习(讲义)--一元函数的导数及其应用专题六(含解析),共16页。学案主要包含了注意基础知识的整合,查漏补缺,保强攻弱,提高运算能力,规范解答过程,强化数学思维,构建知识体系,解题快慢结合,改错反思,重视和加强选择题的训练和研究等内容,欢迎下载使用。
    一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础,提高解题的准确性和速度。
    二、查漏补缺,保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
    三、提高运算能力,规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细,提高运算准确性和速度。
    四、强化数学思维,构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结,以便于同学们在刷题时做到思路清晰,迅速准确。
    五、解题快慢结合,改错反思。要适当地选择好的方案,解题动作要快要自信。
    六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确,还要优化解题过程,提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
    2025年高考导数复习专题六
    知识点一 求在曲线上一点处的切线方程(斜率),利用导数研究不等式恒成立问题
    典例1、已知函数
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)若恒成立,求实数的取值范围.
    随堂练习:已知,,
    (1)若与在处的切线重合,分别求,的值.
    (2)若,恒成立,求的取值范围.
    典例2、已知函数.
    (1)求的图象在处的切线方程;
    (2)已知,对,,求a的取值范围.
    随堂练习:已知函数在点处的切线方程2x-2y-3=0.
    (1)求实数a,b的值;
    (2)设函数的两个极值点为,且,若恒成立,求满足条件的的最大值.
    典例3、已知函数.
    (1)若在处的切线与轴垂直,求的极值;
    (2)若有两个不同的极值点,且恒成立,求的取值范围.
    随堂练习:已知函数的图象在点处的切线与直线平行.
    (1)求实数m的值,并求函数的单调区间;
    (2)若不等式对任意恒成立,求实数a的取值范围.
    知识点二 利用导数研究方程的根,由导数求函数的最值(含参)
    典例4、已知函数.
    (1)求函数的单调区间和极值;
    (2)若方程有两个不同的解,求实数a的取值范围.
    随堂练习:已知函数,.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若方程在上有实根,求实数a的取值范围.
    典例5、已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)若函数与的图像有两个不同的公共点,求的取值范围.
    随堂练习:已知函数.
    (1)求在(为自然对数的底数)上的最大值;
    (2)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P,Q,使得是以О为直角顶点的直角三角形,且此直角三角形斜边的中点在y轴上?
    典例6、已知函数,其中.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若有且仅有两个不相等实根,求实数a的取值范围.
    随堂练习:已知函数f(x)=lnx-ax2-2x.
    (1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值;
    (2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围;
    (3)当时,关于x的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
    2024年高考导数复习专题六答案
    典例1、答案:(1) (2)
    解:(1)当时,, 所以.
    所以,,
    所以曲线在点处的切线的斜率为,
    所以曲线在点处的切线方程为,即.
    (2)由题易得,由,得:

    令, 则,所以在上单调递增,
    式等价于,即.
    所以,,
    令,则有, 令,即,解得,
    当时, ;当时, ;
    所以在上单调递减,在上单调递增, 所以;
    所以只需,即. 综上,实数m的取值范围是.
    随堂练习:答案:(1), (2)
    解:(1)因为,, 所以.,,
    因为且, 即且, 解得,.
    (2)因为对恒成立,
    .对恒成立,
    即对恒成立,
    令,
    因为, 所以是的最小值点,且是的极值点,即,
    因为在上单调递增,且,所以,
    下面检验:当时,对恒成立,
    因为,所以当时,当时,
    所以在上单调递减,在上单调递增. 所以,符合题意, 所以.
    典例2、答案:(1) (2)
    解:(1),
    , 的图象在处的切线方程为:
    , , ,在上恒成立,
    令, ,
    令, ,
    令, ,
    , ,则在上单调递减,
    , 在上单调递减, ,
    ①当,即时,, ,在上单调递减,
    , 解得,
    ②当时,, 所以存在使得,
    当时,, ,在单调增, ,
    因为,所以, 所以,
    所以当,与矛盾,所以当时,不符合题意,
    综上所述,a的取值范围.
    随堂练习:答案:(1),b=1 (2)
    解:(1)由,得,
    因为点在切线方程2x-2y-3=0上,所以2-2y-3=0, 解得,即,
    又∵,所以解得,b=1.
    (2)由(1)知,,则,
    则,
    由,得,因为,是函数g(x)的两个极值点,
    所以方程有两个不相等的正实根,,
    所以,,所以.因为,所以,解得或.
    因为,所以,
    所以,
    令,则,
    所以F(x)在当上单调递减,所以当时,F(x)取得最小值,
    即,所以, 即实数的最大值为.
    典例3、答案:(1) 极大值为,极小值为 (2)
    解:(1),的定义域为, ,
    若在处的切线与轴垂直, 则,
    所以,,
    所以在区间递增; 在区间递减.
    所以的极大值为,极小值为.
    (2)若有两个不同的极值点,则有两个不同的正根,
    即有两个不同的正根, 所以,解得.
    , , 依题意,恒成立,
    恒成立,
    恒成立,即恒成立,所以,
    解得. 故的取值范围为
    随堂练习:答案:(1),增区间是,减区间是 (2)
    解:(1)函数的定义域为,,
    因为函数的图象在点处的切线与直线平行,
    所以,故,解得,所以,所以.
    当时,,又,则, 故,所以在上单调递减.
    (2)设,则,
    当时,,,是增函数,即在上单调递增,
    所以,因此在上单调递增,
    所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
    不等式可化为,
    设,由已知可得在上恒成立,满足题意.
    因为,令,
    则,令,
    则,所以即在上是增函数,
    ,当时,,
    函数即在上单调递增, 所以,在上单调递增,
    所以恒成立,原不等式恒成立;
    当时,则,又,
    所以存在,使得,
    时,,即在上单调递减,
    时,,即在上单调递增,
    又,所以时,,从而在上单调递减,
    于是当时,,不合题意.
    综上,实数a的取值范围是.
    典例4、答案:(1)单增区间是,单减区间是,极小值,无极大值;(2).
    解:(1)的定义域是,, 可得,
    所以的单增区间是,单减区间是
    当时,取得极小值,无极大值.
    (2)由(1)以及当,, ,, ,
    因为方程有两个不同的解, 所以a的取值范围为.
    随堂练习:答案:(1) 见解析; (2) .
    解:(1), 时,,在R上单调递减;
    时,,,单调递增, ,,单调递减;
    综上,时,在R上单调递减;
    a>0时,f(x)在单调递增,在单调递减.
    (2),
    令, 则,
    ∴g(x)在(1,e)上单调递增, ∴ ∴.
    典例5、答案:(1) 答案见解析 (2)
    解:(1),,.
    ①当,,函数在上单调递增;
    ②当,令,得, 时,;时,,
    在上单调递减,在上单调递增.
    综上所述:当,的单调递增区间为,无单调递减区间;
    (2)当,的单调递增区间为,的单调递减区间为.
    根据题意可知:方程,即有两个不同的实根.
    由可得:. 令,当时,,
    时,,,所以在上单调递增,
    要使有两个不同的实根,则需有两个不同的实根.
    令,则,
    当时,,单调递减;当时,,单调递增,.
    ①若,则,没有零点;
    ②若,则,当且仅当时取等号,只有一个零点;
    ③若,则,,.
    令,则当时,,即在上单调递增,
    所以,即.
    故此时在上有一个零点,在上有一个零点,符合条件.
    综上可知,实数的取值范围是.
    随堂练习:答案:(1)1答案见解析 (2)存在,理由见解析.
    解:(1)当时,,,
    令,解得,此时在和上单调递减,在上单调递增,
    由于,故当时,;
    当时,,,
    故当时,在区间上单调递减,;
    当时,在区间上单调递增,,
    当时,.
    综上,当时,在上的最大值为,
    当时,在上的最大值为.
    (2)假设曲线上存在两点,,使得是以为直角顶点的直角三角形,
    且此直角三角形斜边的中点在y轴上,则,只能在轴的两侧,
    不妨设(),则,且.
    因为△是以为直角顶点的直角三角形,所以,即: ①
    是否存在点,等价于方程①是否有解.
    若,则,代入方程①得:,此方程无实数解;
    若,则,代入方程①得:,
    设(),则在上恒成立,
    所以在上单调递增,从而,
    所以当时,方程有解,即方程①有解.
    所以,对任意给定的正实数,曲线上存在两点,,
    使得△是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上.
    典例6、答案: (1)答案详见解析 (2)
    解:(1)的定义域为,,
    当时,恒成立,所以在上递增;
    当时,在区间递增;在区间递减.
    (2)依题意有且仅有两个不相等实根,即有两个不相等的实根,
    ,构造函数,
    ,所以在区间递增;在区间递减.
    所以. ,当时,,,
    , 所以的取值范围是.
    随堂练习:答案:(1)-;(2)(-∞,-1];(3).
    解:(1)由题意,得 (x>0),
    因为x=2时,函数f(x)取得极值,所以,即,解得,
    则,则,令,则或,所以和时,,单调递减,时,,则单调递增,故函数在x=2处取得极大值,故符合题意,因为;
    (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),依题意在时恒成立,
    即在时恒成立,则在时恒成立,即,
    当时,取最小值,所以a的取值范围是.
    (3)当时,, 即.
    设, 则,令,或,
    当变化时,的变化情况如下表:
    所以g(x)极小值=g(2)=ln2-b-2, g(x)极大值=g(1)=-b-,
    又g(4)=2ln2-b-2,
    因为方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根, 则,解得ln2-2

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