2025高考数学总复习专项复习（讲义）--一元函数的导数及其应用专题五（含解析）

这是一份2025高考数学总复习专项复习（讲义）--一元函数的导数及其应用专题五（含解析），共16页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025年高考导数复习专题五
知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数研究函数的零点
典例1、已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若有两个零点，求实数a的取值范围.
随堂练习：已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线方程为y=0，求m的值；
（2）若对任意，都有，求m的取值范围；
（3）讨论在区间上的零点个数.
典例2、已知，设函数，
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的值；
（3）若函数与的图象没有交点，求实数的取值范围．
(注：题中为自然对数的底数，即)
随堂练习：已知函数．（注：是自然对数的底数）
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
（3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
典例3、设函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）求证：当时，函数不存在零点．
随堂练习：已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的值；
（3）设函数，在（2）的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且．
知识点二 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数的零点
典例4、已知函数
求曲线在点处的切线方程
若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围
随堂练习：已知函数，.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求证：当时，有且仅有个零点.
典例5、已知函数（）．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若恰有两个零点，求实数的取值范围．
典例6、已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）当时，在区间有一个零点，求的取值范围．
2024年高考导数复习专题五答案
典例1、答案：（1）；（2）；（3）.
解:（1）当时，，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
若恒成立，则恒成立，所以恒成立，
令，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，所以，故a的取值范围为.
（3）若有两个零点，则有两个零点，
所以在上有两个解，所以在上有两个解，
令，，，
令，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，且，
所以在上，单调递增，在上，单调递减，
所以，又在上，；在上，，
所以a的取值范围为.
随堂练习：答案： （1）1 （2） （3）3、答案见解析
解：（1）因为曲线在点处的切线方程为y=0，所以，即，解得m=1.
（2），， 由于在单调递增，所以.
①当时，，所以在单调递增，即.
②当时，令，解得，
，的情况如下：
函数在单调递减，即，不合题意.
综上，使在都成立的m的范围是.
（3）根据第（2）的结论，
①当时，在单调递增，且有唯一零点x=0，所以在区间上没有零点；
②当时，
若，即时，在区间上有1个零点；
若，即时，在区间上没有零点；
综上，时，在区间上没有零点：
当时，在区间上有1个零点.
典例2、答案： （1）；（2）；（3）．
解:（1）时，，所以， 所以，
所以切线方程为：，即
（2） 设，，
又不等式： 恒成立，即恒成立，
故是的极大值点，所以，得；
另一方面，当时，，，
在区间单调递减，又，故在单调递增，单调递减，
所以，即恒成立 综合上述：
（3）由题意，即方程没有实根，
我们先把方程有实根时，的取值范围求出，再关于取补集，
不妨设：()，
则方程变为，
设函数， 
∵，在上递增， （）
设，则， 所以在上增，在上减 ，(的图象如图)

有实数解，结合， 则，有
即，所以方程有实根时，的取值范围为
所以方程没有实根时，的取值范围为．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）当时，，故，
故在点处的切线方程为，化简得．
（2）由题意知有且只有一个根且有正有负．
构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为， 所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故， 若，则即.
当时，， 当时，,
设，故，
故在上为增函数，故， 故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点．
当时，当时恒成立，即无极值点；综上所述：．
由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，
又要使取到最小值，则．
当时，，故，所以的最小值为e；
当时，当时，， 所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，因，
所以代入得 ：，
令，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，所以的最小值为．
典例3、答案： （1）； （2）； （3）证明见解析.
解：（1）因为，则，
因为点在直线上，则， 所以，，解得.
（2）因为成立，则，
当时，，下面证明，
设，其中，则，
令，则且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，
即成立，所以，故实数的取值范围为.
（3）因为，所以， 且两个等号不同时成立，即，
令，其中，则且不恒为零，
所以函数在上单调递增，且，当时，，即，
所以当时，，即，此时函数不存在零点；
当时，，而，此时，
即，所以此时函数不存在零点；
当时，，而，所以，
即，所以此时函数不存在零点． 综上可得，时，函数不存在零点．
随堂练习： 答案：（1）；（2）；（3）证明见解析.
解：（1），而，所以在处的切线方程为：
（2）由题意得：，因为，所以问题等价于在上恒成立，
令，则，
当时，恒成立，则在上单调递增，又，
所以当时，，不满足题意，舍去；
当时，因为时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值且为最大值，即最大值为，
所以，整理得：令，
则，易得在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，即最大值为，所以的解为．
（3）， 设，则，
当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以在上有唯一零点， 在上有唯一零点1；
且当时，；当时，；当时，．因为，
所以时的唯一极小值点．由得故，由得，．
因为当时，在取得最小值，由得，．
所以．
典例4、答案： (1) x+y-1=0. (2) .
解:（1）因为，所以.所以 又
所以曲线在点处的切线方程为 即.
（2）由题意得，， 所以. 由，解得，
故当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增. 所以.
又，，
若函数恰有两个零点， 则解得.
所以实数的取值范围为.
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由知，则，，
所以，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）证明：记，则，
当时，，在上单调递增，
，，则，使得；
当时，，在上单调递减，
，，则，使得，
当时，；当时，. 故在上递增，在上递减，
，，故当时，；
当时，. 综上，有且仅有个零点.
典例5、答案： （1）；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）．
解：（1）当时，，，所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以．
①当时，与在上的变化情况如下：
所以在内单调递增，在内单调递减．
②当时，与在上的变化情况如下：
所以在，内单调递增，在内单调递减．
③当时，，所以在上单调递增．
④当时，与在上的变化情况如下：
所以在，内单调递增，在内单调递减．
（3）由（2）可知：
①当时，在内单调递增，在内单调递减，
当时，取得最大值．
（i）当时，， 所以在上至多有一个零点，不符合题意．
（ii）当时，．
因为，，在内单调递减， 所以在内有唯一零点．
因为， 所以且．
因为，，
且在内单调递增，所以在内有唯一零点．
所以当时，恰有两个零点．
②当时，在，内单调递增，在内单调递减，
因为当时，取得极大值，
所以在上至多有一个零点，不符合题意．
③当时，在上单调递增，
所以在上至多有一个零点，不符合题意．
④当时，在，内单调递增，在内单调递减．
因为当时，取得极大值，
所以在上至多有一个零点，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
典例6、答案：（1）（2）单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．
（3）
解：（1），所以， 又，
所以在，处的切线方程：，即．
（2）当时，， ，
所以在，上，，单调递增，
在，，，上，，单调递减，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．
（3）当时，令，得， 所以，
令，，，
当，时，，，即， 所以在，上单调递增，
又，， 若在区间有一个零点，则，
故的取值范围，．
x
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增

最大值
极大值
极小值
极大值
极小值