重庆市西南大学附属中学、万州高级中学、重庆育才中学2025届高三上学期10月联合考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市西南大学附属中学、万州高级中学、重庆育才中学2025届高三上学期10月联合考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2．设复数z满足,则( )
A.B.1C.D.
3．设等差数列的前n项和为,且,则( )
A.58B.68C.116D.136
4．遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为( )（参考数据：，）
A.80小时B.90小时C.100小时D.120小时
5．在平行四边形中,点E,F,G分别满足,,,则( )
A.B.C.D.
6．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为( )
A.B.7C.D.
7．已知为锐角，，则( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量,,满足,,,则( )
A.B.当时,
C.当时,D.在上的投影向量的坐标为
10．已知函数,,定义域均为R,下列说法正确的是( )
A.函数与有相同的最小正周期
B.若函数在上单调递增,则的最小值为
C.当,的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D.当时,若方程在区间内的解为,,则
11．已知函数与及其导函数与的定义域均为R.若为奇函数,,,则( )
A.B.
C.曲线关于点中心对称D.
三、填空题
12．已知函数,则______________.
13．育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度,在和它底部O位于同一水平高度的三点A,B,C处测得雕塑顶端P处仰角均为,且,,则该雕塑的高度为______________m．
14．已知函数,则函数的零点个数是______________.
四、解答题
15．已知正项等差数列满足：且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足：,,求数列的前n项和.
16．心流是由心理学家米哈里提出的概念,指人们在进行某项活动时,完全投入并享受其中的状态.某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动,随机抽取了100名学生进行调研,男生与女生的人数之比为,其中女生有35名自述活动过程中体验到心流,男生有15名没有体验到心流.
(1)完成2×2列联表,依据表中数据,以及小概率值的独立性检验,能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关？
(2)在体验到心流的学生中,有A,B两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动,希望参加到进一步的学习中,在接下来的进一步学习中,研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽名同学参加,记抽取两次后抽中A或B的概率为,当k为何值时最大？请证明你的结论.
参考公式：,其中.
参考数据：
17．在中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足_______________.
请在①;
②,
这两个中任选一个作为条件,补充在横线上,并解答问题.
(1)求C;
(2)若面积为,,点D在线段上,且,求的长.
18．已知圆交x轴于A,B两点,椭圆C过点且以为长轴.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l与椭圆C交于M,N两点,与圆O交于P,Q两点,若不重合的两条直线与分别平分线段,.
①求证：为定值;
②已知直线,与椭圆C分别交于D,E,F,G,且,求四边形面积的最大值.
19．已知函数的图象与的图象关于直线对称.
(1)求函数的解析式;
(2)若在定义域内恒成立,求a的取值范围;
(3)求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：,由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合.
即图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
2．答案：B
解析：复数满足,得,
则.
故选：B.
3．答案：B
解析：因为,所以即
所以
故选：B.
4．答案：C
解析：根据题意得，整理得到，两边取以10为底的对数，得到，即，又，，所以，得到，
故选：C.
5．答案：A
解析：由题意,如图,
,
故选：A.
6．答案：D
解析：因为，所以函数的定义域为R，关于原点对称，
又，
所以为奇函数，且易知在R上单调递减，
又，即
所以，即，
，当且仅当即,时等号成立，
故选：D
7．答案：C
解析：由，
得，
则，由为锐角，则，
又，，
故，
所以
，
由二倍角余弦公式得，则.
又为锐角，所以，
故.
故选：C.
8．答案：B
解析：当，恒成立，
，即恒成立.
不妨令，则
设，有，，
当时，，在上单调递增，有，
所以时，，当且仅当时等号成立.
故，
当且仅当，即时上式取得等号，
由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解，
所以，得.
故选：B.
9．答案：BC
解析：对A,,所以,故A错误;
对B,当时,,即,故B正确;
对C,,由可得,即,故C正确;
对D,在上的投影向量为,故D错误.
故选：BC.
10．答案：ABD
解析：对A,周期均为,故A正确;
对B,时,,由在上单调递增,
所以,解得,故B正确;
对C,当时,,函数的图象向右平移个单位得到
,故C错误;
对D,当时,,即,
由可知,
因为,且,所以由正弦函数性质可知,
即,所以,即,
所以,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A,令,令,则,A正确;
对于B,为奇函数,则为偶函数,则求不出,故B错误;
对于C,,
又,则,
则关于中心对称.
,结合函数图象平移,
关于中心对称,C正确;
对于D,由于为偶函数,结合C所得对称中心,知周期为2,且,,
又则,且
,
,
则D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：根据分段函数性质可得,
由可得,即
故答案为：.
13．答案：
解析：由题可知,,,
设,在中,,所以,
同理可得,所以点O为的外心,且外接圆半径为x,
由余弦定理得,,所以,
由正弦定理得,,则,
所以该雕塑的高度为,
故答案为：．
14．答案：112
解析：作出的图象,如图,
令,考虑方程的根,由图象可知有16个根,
分别设为,,,,由图象知,
,,,,,,
再考虑,,分别作出直线,
可知原函数共有零点个.
故答案为：112.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)设正项等差数列的公差为d,则,
由成等比数列,
得,则,
又,即,解得（舍）,或.
所以.
数列的通项公式为.
(2)由题意得,,
则,且,
故是以2为首项,4为公比的等比数列,
则,
.
故数列的前n项和为.
16．答案：(1)答案见解析
(2)当时,最大.
解析：(1)因为调查的女生人数为：,所以调查的男生人数为：.
所以列联表如下：
零假设:学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别无关.
根据公式和数据计算可得,
根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,
因此可以认为成立,即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.
(2)当时,的值最大.
,运用阶乘公式整理得到,
.
由于,则,则为增函数.则当时,最大.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)若选择①,
由可得,
利用正弦定理可得,整理可得;
所以,又,
可得.
若选择②,
由诱导公式可得;
由可得,
可得,所以,
即.
(2)如下图所示：
由面积为可得,即,
又且,所以,;
又可得;
易知,
由可得,
即可得,,;
由点在线段上,且,可得,
所以
即的长为.
18．答案：(1)
(2)①证明见解析②四边形面积的最大值为3.
解析：(1)由,令得,令,.
则可设椭圆C的标准方程为,椭圆经过,
代入计算得到.则椭圆C的标准方程.
(2)①显然直线l与垂直,设直线,则
直线l与椭圆交于,,
由于直线平分直线l与圆O的交线段,则有,,
于是,由于则则.
②由题知,则,易知
令得,则直线与椭圆交线长为,
同理可得直线l2与椭圆的一个交点,
则D到直线的距离,
所以四边形面积.
由于.则.
当时,四边形不存在.
当时,
所以四边形面积的最大值,在时取到.
19．答案：(1)
(2)1
(3)证明见解析
解析：(1)设图象上任意一点,则其关于直线的对称点为,
由题意知,点在函数图象上,
所以,
所以.
(2)不妨令,
则在上恒成立,
注意到且在上是连续函数,则是函数的一个极大值点,
所以,又,
所以,解得
下面证明：当时,在上恒成立,
令,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,即在上恒成立,又,
所以,证毕.
综上.
(3)由(2)知,,则,,
,
又由(2)知：在恒成立,则在上恒成立,
当且仅当时取等号,则令,,
则,
,证毕.
心流
无心流
总计
女生
35
男生
15
合计
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
心流
无心流
总计
女生
35
5
40
男生
45
15
60
合计
80
20
100