重庆市秀山高级中学2024-2025学年高二上学期适应性考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市秀山高级中学2024-2025学年高二上学期适应性考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了9B等内容，欢迎下载使用。
一､单选题
1. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ）
A. 3B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解.
【详解】由，
故选：B
2. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）.
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
【答案】C
【解析】
【分析】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆方程可化，
圆的圆心为，半径为，圆心距，
因为，
所以两个圆的位置关系是相交.
故选：C.
3. 已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标，从而得到双曲线的左顶点坐标，再由其渐近线方程，即可得到结果.
【详解】设椭圆焦距为，
则，则，所以椭圆的左焦点为，
所以双曲线的左顶点为，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线为.
故选：D
4. 在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角，结合等腰三角形性质求解正弦值即可.
【详解】如图所示，取中点，连接，取中点，连接，
则，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角是异面直线与所成角，
设正方体棱长为2，则，
在等腰中，是中点，所以，
所以，
即异面直线与所成角的正弦值为.
故选：C
5. 已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行可得的值，再根据平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】由题意可得，所以，解得，
故两直线方程分别为，，
故这两条平行线之间的距离为.
故选：B.
6. 某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收
天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A. 0.9B. C. 1.2D. 1.05
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系求出抛物线方程即可得到答案.
【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，
设抛物线方程为，代入，
所以，解得，所以抛物线方程为，
则该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故选：A
7. 直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率.
【详解】直线的斜率，如图，

由，得，则直线的斜率，
设，则，两式相减得，
于是，而，
因此，解得，
所以椭圆的离心率.
故选：C
8. 已知数列满足，且，记数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】按为奇数和偶数讨论得到的通项公式，利用裂项相消法求数列的前项和.
【详解】，当时，，
两式相减得，，
所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，，
当时，，两式相减得，，
所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列，；
综上可知：，
所以，
设，则，
所以
，
则.
故选：A
二､多选题
9. 已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）
A. 是等差数列B. 是等差数列
C. 是等比数列D. 是等比数列
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列.
【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确；
对于B，数列的通项公式为，则，
所以数列是公比为3的等比数列，B错误；
对于，所以数列是公差为1的等差数列，C错误；
对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确，
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若向量共面，则它们所在的直线共面
B. 若是四面体的底面的重心，则
C. 若，则四点共面
D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据共面向量的定义即可判断A；对于B：设出点的坐标，根据重心坐标公式分析判断；对于C：变形后，得到不能由线性表示，故四点不共面，C错误；；对于D：设在基底下的坐标为，表达出，结合题目条件得到方程组，求出在基底下的坐标为.
【详解】对于A：根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上，故A错误；
对于B：设，
则，
又因为是底面的重心，则，
所以成立，故B正确；
对于C：，
则，
即，故，
即不能由线性表示，故四点不共面，C错误；
对于D：设在基底下的坐标为，
则，
因为在基底下的坐标为，所以，解得，
所以在基底下的坐标为，即D正确.
故选：BD.
11. 已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（ ）
A. 线段的最小值为
B. 的内切圆与直线相切于点
C. 当时，双曲线的离心率为
D. 当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】设出直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式可判断A，根据双曲线的定义和内切圆性质可判断B，由题可得进而可判断C，根据条件可得渐近线与x轴的夹角为可判断D.
【详解】设双曲线的右焦点为，，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，则，
当直线斜率存在时，设直线的方程为
联立，消去，得，
，
由，解得或，
所以
，
所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，故A错误；
设的内切圆与三角形三边的切点分别是，由切线长性质，可得
，
因为，所以，所以与重合，
即的内切圆与直线AB相切于点，故B正确；
由题可知双曲线的渐近线为，，则，
由上可知，所以，所以，故C正确；
若关于P点的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x轴的夹角为，则其渐近线方程为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是采用设线法联立双曲线方程，利用弦长公式证明出双曲线焦点弦中通径最短的结论.
三､填空题
12. 在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量坐标运算及投影的定义得解.
【详解】因为向量，设轴上的一个单位向量为，
所以在轴上的投影向量为.
故答案为：
13. 在等比数列中，，则__________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，所以，
所以，
故答案为：12.
14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点，若，则_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意计算得到点坐标，再代入抛物线方程求解答案即可.
【详解】由题意得，直线斜率不为0，设其方程为，，，

由，得，
当时，，
因为，所以，代入上式解得，
因为，所以，
代入抛物线方程，得，
化简得，，又因为，所以.
故答案为：2
四､解答题
15. 已知三点，记的外接圆为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为标准式即可；
（2）由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
设的方程为，
由题意可得，解得，
所以的方程为，
化为标准方程可得.
小问2详解】
由（1）可得圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
且，
因此的面积为.
16. 已知㭻圆：（）经过点，离心率为.
（1）求椭圆方程；
（2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，
，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解.
【小问1详解】
由题意可得所以，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，，
，
所以，所以，
故，,
所以，
所以，
所以，解得，
故直线的方程为.

17. 已知数列的首项，设为数列的前项和，且有.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到，两式相减构造常数列即可求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和方法进行求和即可
【小问1详解】
由，
当时，，
两式相减，得，即，
即对恒成立，所以是常数列，
所以，所以
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
所以，
两式相减，得，
所以
18. 在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值；
（3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，然后建立空间直角坐标系，写出点的坐标，然后得到线的方向向量，求出面的法向量，证明，即可得证；
（2）由（1）可知线的方向向量，求出面的法向量，利用空间向量求得线面角的正弦值；
（3）设，然后得到点坐标，分别求出平面和平面的法向量和，由空间向量求出面面角的余弦值.
【小问1详解】
∵底面，底面，底面，
∴，，又∵，
∴以为原点，为轴，为y轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，
∴，，，，，
∴，平面平面，∴平面的一个法向量，
∵，∴，
故平面.
【小问2详解】
由（1）知，
，，
设平面一个法向量为，
则，令，则，即，
设直线与平面所成角为，
∴.
【小问3详解】
由（1）知，设，
则，则，
∵，∴，∴，即，
∴，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，即，
∵平面平面，∴平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
∴.
19. 如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线的斜率之积为定值；
（3）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可；
（2）设点，由斜率的定义可知，再将代入双曲线方程即可求解；
（3）利用（2）中结论设直线的方程为，的方程为，分别代入椭圆方程求得即可求解.
【小问1详解】
设双曲线的标准方程为，
由题意知，且，所以，
所以双曲线的标准方程为：；
【小问2详解】
设点，由题可知，
则，
所以，
由点在双曲线上，可知，即有，
所以，故；
【小问3详解】
由（2）可知，且，
所以可设直线的方程为，
则直线的方程为，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，则有，
因此
，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此
，
所以又，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，，
（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.