重庆市育才中学校、万州高级中学、西南大学附属中学校2024届高三下学期2月联合考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市育才中学校、万州高级中学、西南大学附属中学校2024届高三下学期2月联合考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．一个容量为10的样本,其数据依次为:9,2,5,10,16,7,18,23,20,3,则该组数据的第75百分位数为( )
A.15B.16C.17D.18
2．已知点在抛物线上,F为抛物线的焦点,则直线QF的斜率为( )
A.3B.C.D.
3．已知m,n,l是空间中三条互不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列说法正确的是( )
A.,,则B.且,则
C.,,则D.,,,则
4．数列的前n项和为,满足,则( )
A.30B.64C.62D.126
5．已知圆,弦AB过定点,则弦长不可能的取值是( )
A.B.C.4D.
6．在同一直角坐标平面内,已知点,,,点P满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,,则ab的值为( )
A.B.C.D.3
8．如图,已知M为双曲线上一动点,
过M作双曲线E的切线交x轴于点A,过点A作AD⊥OM于点D,则的值是( )
A.B.C.D.不确定
二、多项选择题
9．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的值域为B.的对称中心为,
C.在上的递增区间为D.在上的极值点个数为1
10．2023年旅游市场强劲复苏,7,8月的暑期是旅游高峰期.甲,乙,丙,丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京,上海,广州三个城市中随机选择一个去旅游,每个城市至少有一人选择.事件M为“甲选择北京”,事件N为“乙选择上海”,则下列结论正确的是( )
A.事件M与N互斥B.
C.D.
11．已知定义在实数集R上的函数,其导函数为,且满足,
,,则( )
A.B.的图像关于点成中心对称
C.D.
三、填空题
12．已知集合,集合,则________.
13．如图,在正四棱柱中,,,E为的中点,则中点到平面的距离为________.
14．已知实数a,b满足,则ab的最大值为________;的取值范围为________.
四、解答题
15．等差数列的前n项和为,同时满足,,,成等差数列,是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式;
（2）当时,求数列的前n项和.
16．2024年春节期间,某家庭设计了一个抽红包游戏,以营造和谐轻松愉快的家庭氛围.游戏中有外观完全相同的红包共6个,其中装有10元,20元,30元的红包各两个,小明每次从中任意抽取3个红包,记录金额后放回,共抽2次.若每次抽的红包总金额超过60元记2分,超过40元不超过60元记1分,不超过40元不计分,两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份.
（1）求小明在第一次抽取中,抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率;
（2）用随机变量X表示小明抽两次的得分总和,求X的分布列及期望.
17．在四棱锥中,已知,,,,,.
（1）求证:平面平面ABCD;
（2）若线段MB上存在点E,满足,且平面ACE与平面ADM的夹角的余弦值为,求实数的值.
18．如图,已知椭圆与椭圆有相同的离心率,点在椭圆上.过点P的两条不重合直线,与椭圆相交于Q,H两点,与椭圆相交于A,B和C,D四点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）求证:;
（3）若,设直线,的倾斜角分别为,,求证:为定值.
19．已知函数,,其中.
（1）讨论的单调性;
（2）若,,求证:在定义域内有两个不同的零点;
（3）若恒成立,求m的值.
参考答案
1．答案：D
解析：将数据从小到大排列:2,3,5,7,9,10,16,18,20,23.
,则取第8个数,选D.
2．答案：C
解析：由题意得,抛物线方程为,
点,
,故选C
3．答案：B
解析：对于A,若,则或
对于B,若,则
对于C,若,则或或n与相交
对于D,若,,则或l与n异面
4．答案：C
解析：令,,,由:,得
是公比为2的等比数列,,选C
5．答案：D
解析：当AB过圆心O时,最大为4,当时,最小为,
,故选D
6．答案：A
解析：,P在以AB为直径的圆上,设AB中点为C,
则P在处时原式取最小值,,
选A
7．答案：C
解析：
,,选C
8．答案：A
解析：过M作轴,由题意可得.,
设点,直线AM的斜率为k.
则直线AM方程:与双曲线联立,
可得AM方程为,,,.
9．答案：ACD
解析：,,A正确
令,则,的对称中心为,,B错误
令,解得,令,得,C正确.令,解得,在上的唯一极值点为,D正确,故选ACD
10．答案：BC
解析：,,
,,B正确
M与N可能同时发生,M与N不互斥,A错误
,C正确
,D错误
故选BC
11．答案：ACD
解析：对于A,令得,,故A正确
对于B,令得,
令,得,,故B错误
对于C,令,得,
,故C正确
对于D,令得,两边同时求导得,
,,
故D正确
12．答案：
解析：易知,,
13．答案：
解析：设,C中点为O,O到平面DCE距离为到平面DCE距离的一半,设到平面CDE的距离为d,由,即
,O到平面CDE的距离为
14．答案：1
解析：（1）由题,得,得
令,得
,
,ab大值为1
（1）另解:由题,当且仅当时取等
①当时,,
②当时,,,综上:
（2）由题知,原式,令
原式,,
令,,,原式
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）已知数列为等差数列,
或(舍),,
（2）
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）(1个20元,0个10元)
(2个20元,0个10元或1个10元)
（2）抽取一次得分情况为随机变量,的取值为:2,1,0
抽取一次得两分:
抽取一次得一分:
抽取一次得零分:
抽取两次的得分情况为随机变量X,X的取值为:4,3,2,1,0:
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）,,为正三角形,
又,
又,
,,
又,AM,AC为平面AMC内两条相交直线,
平面MAC,平面ABCD,平面平面ABCD
（2）取AC中点O,CD中点F,,,
由（1）知平面平面ABCD,面面,
平面ABCD,又,
故以O为原点建立如图所示空间直角坐标系,,,,
,,,
设,由得,
,
设平面ADM的法向量为
则取
设平面ACE的法向量为
则
取,则,,
由得:,
,又,
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由题意知,,,,又在椭圆上,,
,,椭圆的标准方程为
（2）要证即证,设,,,
①当直线斜率不存在时,由椭圆对称性可知成立
②当直线斜率存在时,设,则AB方程:
联立得
,
联立得
,
,
,,,
综上所述:
（3）由第二问可知,
设直线CD的斜率为,直线CD方程为,设,
联立得
,,
即
化简得,,由题意,,
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）定义域为,
①当即时,,在上为增函数;
②当即时,,
,
在上为增函数,在上为减函数
（2）时,,
①时,在上单调递减,
在上单调递增,又,
,使得,即在上有且仅有1个零点
②时,由（1）知在上单调递减,
即
在上没有零点
③时,,
即在上单调递减,又,
在上有且仅有一个零点
综上所述,在上有且仅有两个不同的零点和
（3）令
由于恒成立,且,同时在上连续,
是的一个极大值点
,即,
下面证明时在上恒成立
由（1）知时,在上单调递增,在上单调递减
,又,恒成立
X
4
3
2
1
0
P