浙江省杭州市上城区杭州市丁兰实验中学　2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市上城区杭州市丁兰实验中学　2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）把抛物线向上平移一个单位，则所得抛物线的解析式为
A．B．C．D．
2．（3分）已知，则下列比例式成立的是
A．B．C．D．
3．（3分）若的半径为4，的长为3，则点与的位置关系是
A．在上B．在内C．在外D．无法确定
4．（3分）如图，四边形内接于，已知，则的大小是
A．B．C．D．
5．（3分）已知二次函数，以下点可能成为函数顶点的是
A．B．C．D．
6．（3分）已知二次函数的图象上有三点，，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
7．（3分）下列说法正确的是
A．平分弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦
B．三点确定一个圆
C．每条边都相等的多边形是正多边形
D．相等的圆心角所对的弧相等
8．（3分）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点在上，点在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？
A．B．C．D．
9．（3分）如图，点是等边三角形外接圆上的点，在以下判断中，不正确的是
A．当弦最长时，是等腰三角形
B．当是等腰三角形时，
C．当时，
D．当时，是直角三角形
10．（3分）函数与的图象如图所示，有以下结论：
①；
②；
③当时，；
④当时，．
其中正确的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）已知扇形所在圆半径为4，弧长为，则扇形面积为
12．（4分）已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 ．
13．（4分）如图，正六边形内接于，过点作边于点，若的半径为4，则边心距的长为 ．
14．（4分）写一个实数 ，使二次函数，当时，随的增大而减小．
15．（4分）已知二次函数，当和时函数的值相等，则当时，函数的值是 ．
16．（4分）如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，平分，弦，那么的面积是 ．
三、解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）设二次函数，是常数，，部分对应值如表：
（1）直接写出该函数图象的开口方向；
（2）当时，求函数的值．
18．（8分）如图，已知．
（1）作的外接圆，并在的上方作弦，使（尺规作图，保留作图痕迹）．
（2）连结，求证：．
19．（8分）如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
20．（10分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
21．（10分）如图，在中，，弦与相交于点．
（1）求证：．
（2）连接，，若是的直径，求证：．
22．（12分）在直角坐标系中，设函数，是常数，．
（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：．
23．（12分）如图，在中，，，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接．
（1）求证：点在上．
（2）当点移动到使时，求的值．
（3）当点到移动到使时，求证：．
2022-2023学年浙江省杭州市上城区丁兰实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）把抛物线向上平移一个单位，则所得抛物线的解析式为
A．B．C．D．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：根据题意，向上平移一个单位得．
故选：．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
2．（3分）已知，则下列比例式成立的是
A．B．C．D．
【分析】本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键．
3．（3分）若的半径为4，的长为3，则点与的位置关系是
A．在上B．在内C．在外D．无法确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【解答】解：，，则，
点在圆内．
故选：．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
4．（3分）如图，四边形内接于，已知，则的大小是
A．B．C．D．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：四边形内接于，
，又，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．（3分）已知二次函数，以下点可能成为函数顶点的是
A．B．C．D．
【分析】根据顶点公式求得顶点坐标为，即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能的顶点．
【解答】解：，，，
，
，
顶点坐标为，
可能成为函数顶点的是，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点公式是解题的关键．
6．（3分）已知二次函数的图象上有三点，，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【分析】将值代入函数关系式计算，，，再比较大小可求解．
【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
7．（3分）下列说法正确的是
A．平分弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦
B．三点确定一个圆
C．每条边都相等的多边形是正多边形
D．相等的圆心角所对的弧相等
【分析】根据垂径定理、确定圆的条件、正多边形的定义等知识判断求解即可．
【解答】解：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，故正确，符合题意；
不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意；
每条边都相等，每个角都相等的多边形是正多边形，故错误，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了垂径定理等知识，熟记垂径定理等知识是解题的关键．
8．（3分）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点在上，点在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？
A．B．C．D．
【分析】依据题意，设，则，绿地的面积为，根据题意得关于的二次函数，然后写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：设，则，绿地的面积为，根据题意得：
．
二次项系数为，
当时，有最大值72．
即当时，绿地面积最大．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，根据题意正确得出所求的面积关于的函数关系式、明确二次函数的相关性质是解题的关键．
9．（3分）如图，点是等边三角形外接圆上的点，在以下判断中，不正确的是
A．当弦最长时，是等腰三角形
B．当是等腰三角形时，
C．当时，
D．当时，是直角三角形
【分析】根据直径是圆中最长的弦，可知当弦最长时，为的直径，由圆周角定理得出，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出，则是等腰三角形，判断正确；
当是等腰三角形时，分三种情况：①；②；③；确定点的位置后，根据等边三角形的性质即可得出，判断正确；
当时，由垂径定理得出是的垂直平分线，点或者在图1中的位置，或者与点重合．如果点在图1中的位置，；如果点在点的位置，；判断错误；
当时，点或者在的位置，或者在的位置．如果点在的位置，易求，△是直角三角形；如果点在的位置，易求，△是直角三角形；判断正确．
【解答】解：、如图1，当弦最长时，为的直径，则．
是等边三角形，
，，
点是等边三角形外接圆上的点，是直径，
，
，
，
是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
、当是等腰三角形时，分三种情况：
①如果，那么点在的垂直平分线上，则点或者在图1中的位置，或者与点重合（如图，所以，正确；
②如果，那么点与点重合，所以，正确；
③如果，那么点与点重合，所以，正确；
故本选项正确，不符合题意；
、当时，平分，则是的垂直平分线，点或者在图1中的位置，或者与点重合．
如果点在图1中的位置，；
如果点在点的位置，；
故本选项错误，符合题意；
、当时，点或者在的位置，或者在的位置，如图3．
如果点在的位置，，△是直角三角形；
如果点在的位置，，
，
，△是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，难度适中，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
10．（3分）函数与的图象如图所示，有以下结论：
①；
②；
③当时，；
④当时，．
其中正确的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据所给函数图象，利用数形结合的思想即可解决问题．
【解答】解：由所给函数图象可知，
因为抛物线与轴没有公共点，
所以，
即，
故①错误．
因为点在抛物线上，
所以，
即，
故②正确．
根据函数图象可知，
当或时，
二次函数的图象在正比例函数图象的上方，
即，
故③错误．
当时，
时，函数有最大值3，
时，函数有最小值，
显然此时的函数值比1小．
故④错误．
所以正确的结论个数为：1．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，巧妙的利用数形结合的思想是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）已知扇形所在圆半径为4，弧长为，则扇形面积为
【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键．
12．（4分）已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 2 ．
【分析】设它们的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【解答】解：设它们的比例中项为，
是长度分别为1、4的两条线段的比例中项，
，
即，
（负数舍去），
它们的比例中项线段长为．
故答案是：2．
【点评】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么叫做与的比例中项．
13．（4分）如图，正六边形内接于，过点作边于点，若的半径为4，则边心距的长为 ．
【分析】连接、．先证明是等边三角形，求出、，再根据勾股定理求出．
【解答】解：如图，连接、．
六边形是正六边形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
14．（4分）写一个实数 （答案不唯一） ，使二次函数，当时，随的增大而减小．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，进而求解．
【解答】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而减小，
，
解得，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
15．（4分）已知二次函数，当和时函数的值相等，则当时，函数的值是 ．
【分析】利用抛物线的对称性得到，则，然后把代入抛物线解析式中计算即可．
【解答】解：当和时函数的值相等，
而抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
16．（4分）如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，平分，弦，那么的面积是 21 ．
【分析】连接，，过点作于点，由角平分线定义得，则是等腰直角三角形，得出，再证是等腰直角三角形得，然后由勾股定理求出，得出，最后由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：如图，连接，，过点作于点，
为直径，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故答案为：21．
【点评】本题考查了圆周角定理、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
三、解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）设二次函数，是常数，，部分对应值如表：
（1）直接写出该函数图象的开口方向；
（2）当时，求函数的值．
【分析】（1）根据表格中对称点，可求图象对称轴，由图象对称轴左侧的随增大而减小可得抛物线开口向上；
（2）根据二次函数的对称性即可求得．
【解答】解：（1）图象经过，，
图象对称轴为直线，
由表格可得，时，随的增大而减小，
抛物线图象开口向上；
（2）关于直线的对称点是，
时，函数的值为5．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据表格判断出抛物线开口方向与对称轴．
18．（8分）如图，已知．
（1）作的外接圆，并在的上方作弦，使（尺规作图，保留作图痕迹）．
（2）连结，求证：．
【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，长为半径画圆，即可得的外接圆；以点为圆心，长为半径画弧，交上方的圆于点，连接即可．
（2）由可得，根据圆周角定理可得，再结合平行线的判定定理可得结论．
【解答】（1）解：如图，圆及即为所求．
（2）证明：，
，
，
．
【点评】本题考查作图复杂作图、圆周角定理、平行线的判定、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理、平行线的判定、三角形的外接圆与外心是解答本题的关键．
19．（8分）如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
【分析】（1）连接，由圆周角定理可知，根据等腰三角形的三线合一可知，再根据四点共圆可得，进而得到，则，以此即可证明；
（2）易得为等边三角形，为等边三角形，则，代入计算即可求解．
【解答】解：（1）如图，连接，
以腰为直径画半圆，
，即，
又为等腰三角形，
，，
、、、四点共圆，
，
，
，
；
（2）如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
【点评】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，解题关键是：（1）根据直径所对圆周角为得到，再根据四点共圆性质即可解决问题；（2）熟练掌握扇形的面积公式．
20．（10分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出与的函数关系式．
（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当时得出的最大值．
【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨元为正整数），
则每件商品的利润为：元，
总销量为：件，
商品利润为：
，
，
．
原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
且为正整数；
（2），
，
．
故当时，最大月利润元．
这时售价为（元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每天的利润一件的利润销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
21．（10分）如图，在中，，弦与相交于点．
（1）求证：．
（2）连接，，若是的直径，求证：．
【分析】（1）利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可；
（2）利用圆周角定理，三角形内角和定理，三角形的外角的性质解决问题．
【解答】（1）证明：如图，，
，
，
．
（2）证明：连接．
，
，
，
是直径，
，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（12分）在直角坐标系中，设函数，是常数，．
（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：．
【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）写出一组，，使得即可；
（3）已知，则．容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出．最后注意利用条件判断，得证．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为．
并且该函数图象的顶点坐标为．
（2）例如，，此时，
，
函数的图象与轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得，，
所以
，
由条件，知．所以，得证．
【点评】本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，以及利用判断二次函数图象与轴交点个数的方法．第（3）小问的关键是利用，首先对代数式化简，然后配方说明的范围，另外注意．
23．（12分）如图，在中，，，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接．
（1）求证：点在上．
（2）当点移动到使时，求的值．
（3）当点到移动到使时，求证：．
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质证明即可解决问题．
（2）想办法证明即可解决问题．
（3）首先证明，，，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：为的直径，
，
，
点在上．
（2）解：连接．
为的直径，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）证明：连接．
，
由（2）知，
，
，
，
弧等于，
，
，
，
是等边三角形，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/25 8:57:09；用户：佩服还小飞飞；邮箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；学号：260253030
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