初中数学沪教版（五四制）（2024）九年级上册24.4 相似三角形的判定完整版课件ppt

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）九年级上册24.4 相似三角形的判定完整版课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了判定定理1，三边成比例，三个角分别相等，成比例，回顾引入，探究新知，一个角相等，两边成比例，两个角分别相等，两边成比例且夹角相等等内容，欢迎下载使用。

利用角的关系判定两个三角形相似
你能类比相似多边形的定义，给出相似三角形的定义吗？
1.相似三角形的定义(1)_________________、___________的两个三角形叫做相似三角形 ，记作_______________.注意：对应顶点写在对应位置2.相似三角形的性质：相似三角形的对应角 _____，对应边______ .
ΔABC ∽ ΔA'B'C'
△ABC ∽△A'B'C'
问题：两个三角形至少满足哪些条件就相似呢？
问题：能否类比两个三角形全等的条件， 探索两个三角形相似的条件呢？
1、如果只给一个条件，判断两个三角形是否相似，你会给什么条件？
2、如果给两个条件，判断两个三角形是否相似，你会给什么条件？有哪些可能的情况？
两边成比例且其中一边的对角相等
做一做：若两个三角形只有一个角对应相等，两三角形是否相似？画一个△ABC，使得∠BAC = 60°，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？通过探究你发现了什么？
一个角相等的两个三角形不一定相似
探究：两个三角形两个角对应相等，是否相似？
小组合作：1-4组两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A=∠A′=45°，∠B=∠B′=60°，5-8组两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A=∠A′=30°，∠B=∠B′=45°，画完后请解答下列问题。
猜想：两角分别相等的两个三角形相似.
试证明△A′B′C′∽△ABC.
∠1=∠B，∠2 =∠C， 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则∴∴∵ DE∥BC, DF∥AC,∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.∴
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，∴ △ADE ∽ △ABC.∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C.
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成： 两角对应相等，两三角形相似。
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
例1 ： 如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。
解：∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).∴∴BC=14.
例2：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°.
在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BDC.
2.改变k值的大小，再试一试。
3.如果△ABC与△A'B'C'两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似。
已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A= ∠A′，
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,∠ADE= ∠B′, ∠A ′ ED= ∠C′∴△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△A′B′C′∽△ABC.
两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
∵A′D=AB， ∴A′E=AC. 又∠A′=∠A. ∴△A′DE≌△ABC， ∴△A′B′C′∽△ABC.
相似三角形判定定理2： 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
∴ABC∽∆A'B'C'
解：∵AE=1.5，AC=2， ∴ ∵ ∴ 又∵∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似) ∴ ∴BC=3. ∴DE=
例1:如图所示，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.
例2:如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 　　　　　　　求证：∠ACB=90°．
∴△ABC∽△DEF.∴ ∠ACD= ∠B.∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
解： ∵ CD是边AB上的高, ∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
【归纳总结】利用两边及夹角判定三角形相似的策略：(1)角与边的联系：角是对应边的夹角，边是此对应角的两边．一定要注意：与对应角的对边无关．(2)找条件：已知条件中有明确的比例关系式时，只要证明与比例关系式相关的两边的夹角相等即可．注意利用图形中的隐含条件，如：公共角、对顶角等．
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( ) A. 1对 　　B. 2对 C. 3对 　　D. 4对
2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE.
4.在等边三角形ABC 中，D，E 分别在AC，AB上，且 ，AE＝BE，则有(　　)A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
5.不能判定△ABC 和△A′B′C′ 相似的条件是(　　)A.B. ，且∠A＝∠A′C. ，且∠B＝∠A′D. ，且∠B＝∠C′
6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA:OC＝OB:OD，则下列结论中一定正确的是(　　)A．①和②相似 B．①和③相似C．①和④相似 D．②和④相似
7.如图，D 是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则它们必须具备的条件可以是(　　)A. B.C．CD 2＝AD·DB D．AC 2＝AD·AB
8.如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P 所在的格点为(　　)A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
9.已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为(　　)A. 　 　B.　 　C. 　 　D.
10.根据下列条件，判断 是否相似，并说明理由.∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm. ∠A′=40°，A′B ′=16cm, A′C ′=30cm.
解：相似 又∵∠A＝∠A′＝40°， ∴△ABC∽△A′B′C′.
定理1：两角分别相等的两个三角形相似
定理2：两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。