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沪教版（2020）必修第二册3任意角的正弦、余弦、正切、余切优质课教学ppt课件
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这是一份沪教版（2020）必修第二册3任意角的正弦、余弦、正切、余切优质课教学ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了学习目标，余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，知识回顾，情境导入，新课讲解，由正弦定理有，高度问题，距离问题等内容，欢迎下载使用。
1.会应用余弦定理，掌握余弦定理的应用条件.2.会应用正弦定理，掌握正弦定理的应用条件.3.能够灵活应用正余弦定理解决实际问题.
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.
解三角形在实际生活中 ， 尤其是在测量方面 ， 有着广泛的应用 ． 下面通过一些实例来体会解三角形在测量上的应用 ．
例 １０ 金茂大厦是改革开放以来上海出现的超高层标志性建筑 ． 有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的 B处测得金茂大厦顶部 A 的仰角为 １５．６６° ， 再向金茂大厦前进５００ｍ 到达 C 处 ， 测得金茂大厦顶部 A的仰角为 ２２． ８１°． 请根据以上数据估算出金茂大厦的度 ． （ 结果精确到 １ｍ ）
解 根据题意 ， 作出如图 ６-３-４ 所示的示意图 ， 问题转化为求直角三角形 ABC中边 AD的长 ．
在 △ ABC中 ， ∠ ABC＝１５． ６６° ， ∠ BAC＝２２． ８１°－１５． ６６°＝７． １５° ， BC＝５００ｍ．
从而 AD ＝ AC ×ｓｉｎ２２． ８１°≈４２０ （ ｍ ） ．所以 ， 所估算的金茂大厦高度约为 ４２０ｍ．
例 １１ 甲船在距离 A港口 ２４ 海里并在南偏西 ２０° 方向的C 处驻留等候进港 ， 乙船在 A港口南偏东 ４０° 方向的 B处沿直线行驶入港 ， 甲 、 乙两船距离为 ３１ 海里 ． 当乙船行驶 ２０ 海里到达D处时 ， 接到港口指令 ， 前往救援忽然发生火灾的甲船 ． 求此时甲 、 乙两船之间的距离 ．
解 根据题意 ， 作出如图 ６-３-５ 所示的示意图 ， 其中AC＝２４ ， BC ＝３１ ， ∠ CAD ＝２０°＋４０°＝６０°．
在 △ ABC 中 ， 由余弦定理 ， 有
=２１ （ 海里 ）
所以 ， 此时甲 、 乙两船之间的距离为 ２１ 海里 ．
练习 ６． ３ （ ４ ）１． 某货轮在 A处看灯塔 S在北偏东 ３０° 方向 ． 它以每小时 １８ 海里的速度向正北方向航行 ， 经过 ４０ 分钟航行到 B 处 ， 看灯塔 S在北偏东 ７５° 方向 ． 求此时货轮到灯塔 S 的距离 ．
２． 我缉私船发现位于正北方向的走私船以每小时 ３０ 海里的速度向北偏东 ４５° 方向的公海逃窜 ， 已知缉私船的最大时速是 ４５ 海里 ， 为了及时截住走私船 ， 缉私船应以什么方向追击走私船？ （ 结果精确到 ０． ０１°）
３． 修建铁路时要在一个山体上开挖一隧道 ， 需要测量隧道口D 、 E 之间的距离 ． 测量人员在山的一侧选取点 犆 ， 因有障碍物 ，无法直接测得 CE及 DE的距离 ． 现测得 CA ＝４８２． ８０ｍ ， CB ＝６３１． ５０ｍ ， ∠ ACB＝５６． ３° ； 又测得 A及 B 两点到隧道口的距离分别是 ８０． １３ｍ 及 ４０． ２４ｍ （ A 、 D 、 E 、 B在同一直线上 ） ． 求隧道DE 的长 ． （ 结果精确到 １ｍ ）
1.如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.
解析 由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
2.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是
解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
3.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是A.15° B.30°C.45° D.60°
解析 设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.
∵30°<120°－α<120°，∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值.即当竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长.
4. 如图, 一艘船向正北航行, 航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上. 30 min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗?
解：在△ABS中, AB=32.2×0.5 =16.1 (n mile), ∠ABS=115°.
∴S到直线AB的距离为
∴这艘船可以继续沿正北方向航行 .
∴此船应该沿北偏东56°的方向航行，需要航行约为113.15海里.
6. 如图示，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67. 5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54 n mile后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少?
7.甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤:
(4) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
(1) 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2) 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
1.会应用余弦定理，掌握余弦定理的应用条件.2.会应用正弦定理，掌握正弦定理的应用条件.3.能够灵活应用正余弦定理解决实际问题.
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.
解三角形在实际生活中 ， 尤其是在测量方面 ， 有着广泛的应用 ． 下面通过一些实例来体会解三角形在测量上的应用 ．
例 １０ 金茂大厦是改革开放以来上海出现的超高层标志性建筑 ． 有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的 B处测得金茂大厦顶部 A 的仰角为 １５．６６° ， 再向金茂大厦前进５００ｍ 到达 C 处 ， 测得金茂大厦顶部 A的仰角为 ２２． ８１°． 请根据以上数据估算出金茂大厦的度 ． （ 结果精确到 １ｍ ）
解 根据题意 ， 作出如图 ６-３-４ 所示的示意图 ， 问题转化为求直角三角形 ABC中边 AD的长 ．
在 △ ABC中 ， ∠ ABC＝１５． ６６° ， ∠ BAC＝２２． ８１°－１５． ６６°＝７． １５° ， BC＝５００ｍ．
从而 AD ＝ AC ×ｓｉｎ２２． ８１°≈４２０ （ ｍ ） ．所以 ， 所估算的金茂大厦高度约为 ４２０ｍ．
例 １１ 甲船在距离 A港口 ２４ 海里并在南偏西 ２０° 方向的C 处驻留等候进港 ， 乙船在 A港口南偏东 ４０° 方向的 B处沿直线行驶入港 ， 甲 、 乙两船距离为 ３１ 海里 ． 当乙船行驶 ２０ 海里到达D处时 ， 接到港口指令 ， 前往救援忽然发生火灾的甲船 ． 求此时甲 、 乙两船之间的距离 ．
解 根据题意 ， 作出如图 ６-３-５ 所示的示意图 ， 其中AC＝２４ ， BC ＝３１ ， ∠ CAD ＝２０°＋４０°＝６０°．
在 △ ABC 中 ， 由余弦定理 ， 有
=２１ （ 海里 ）
所以 ， 此时甲 、 乙两船之间的距离为 ２１ 海里 ．
练习 ６． ３ （ ４ ）１． 某货轮在 A处看灯塔 S在北偏东 ３０° 方向 ． 它以每小时 １８ 海里的速度向正北方向航行 ， 经过 ４０ 分钟航行到 B 处 ， 看灯塔 S在北偏东 ７５° 方向 ． 求此时货轮到灯塔 S 的距离 ．
２． 我缉私船发现位于正北方向的走私船以每小时 ３０ 海里的速度向北偏东 ４５° 方向的公海逃窜 ， 已知缉私船的最大时速是 ４５ 海里 ， 为了及时截住走私船 ， 缉私船应以什么方向追击走私船？ （ 结果精确到 ０． ０１°）
３． 修建铁路时要在一个山体上开挖一隧道 ， 需要测量隧道口D 、 E 之间的距离 ． 测量人员在山的一侧选取点 犆 ， 因有障碍物 ，无法直接测得 CE及 DE的距离 ． 现测得 CA ＝４８２． ８０ｍ ， CB ＝６３１． ５０ｍ ， ∠ ACB＝５６． ３° ； 又测得 A及 B 两点到隧道口的距离分别是 ８０． １３ｍ 及 ４０． ２４ｍ （ A 、 D 、 E 、 B在同一直线上 ） ． 求隧道DE 的长 ． （ 结果精确到 １ｍ ）
1.如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.
解析 由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
2.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是
解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
3.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是A.15° B.30°C.45° D.60°
解析 设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.
∵30°<120°－α<120°，∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值.即当竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长.
4. 如图, 一艘船向正北航行, 航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上. 30 min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗?
解：在△ABS中, AB=32.2×0.5 =16.1 (n mile), ∠ABS=115°.
∴S到直线AB的距离为
∴这艘船可以继续沿正北方向航行 .
∴此船应该沿北偏东56°的方向航行，需要航行约为113.15海里.
6. 如图示，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67. 5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54 n mile后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少?
7.甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤:
(4) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
(1) 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2) 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
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