2024-2025学年辽宁省“辽东南协作体”高一上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省“辽东南协作体”高一上学期10月月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U=−2,−1,0,1,2,3，A=1,2，B=−1,0,1，则∁UA∪B=( )
A. −2,3B. −2,2,3C. −2,−1,0,3D. −2,−1,0,2,3
2.已知命题p：∀x∈R， 1−x2≤1，则( )
A. ¬p：∃x∈R， 1−x2⩾1B. ¬p：∀x∈R， 1−x2≥1
C. ¬p：∃x∈R， 1−x2>1D. ¬p：∀x∈R， 1−x2>1
3.设x∈R，则“41”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.设集合A=x|−44，则A∩B=( )
A. x|2C. x|−25.已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式一定成立的是( )
A. xy>yzB. xy>xzC. xz>yzD. x|y|>|y|z
6.已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+3>0为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. a|013
7.若不等式1A. [5,10]B. (5,10)C. [3,12]D. (3,12)
8.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−1A. {x|−1≤x≤15}B. {x|−15≤x≤1}
C. {x|x≤−15或x≥1}D. {x|x≤−1或x≥15}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7，集合A=x∈Nx<5，B=1,3,5,7，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. 0,2,4B. ∁UA∩B
C. A∩∁UBD. ∁UA∩∁UB
10.若a<00，则下列说法正确的是( )
A. ab>−1B. 1a+1b>0
C. a211.设A=xx2−8x+15=0，B=xax−1=0，若A∩B=B，则实数a的值可以为( )
A. 15B. 0C. 3D. 13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.集合C=x∈Z63−x∈N用列举法表示
13.不等式1x≤1的解集为 ；
14.已知集合A=yy=−x2−2x，B=xy= x−a，且A∪B=R，则实数a的最大值是
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
求下列方程或方程组的解集．
(1)6x4−17x2+12=0
(2)x2+y2=13x−2y=1
16.(本小题12分)
已知方程x2+6mx+9m−2=0，且x1，x2是方程的两个不同的实数根．
(1)若m=1，求1x1+1x2的值；
(2)若m∈R，且x 12+x 22<4，求m取值范围．
17.(本小题12分)
已知集合A=x|x2−4ax+3a2<0，集合B=x|(x−3)(2−x)⩾0．
(1)当a=1时，求A∩B,A∪B；
(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知关于x的一元二次不等式ax2−2a−1x−2>0，其中a<0．
(1)若不等式的解集是12,b，求a，b值．
(2)求不等式的解集．
19.(本小题12分)
中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=(a,b)，β=(c,d)，规定：α⊙β=(ad+bc,bd−ac)．
(1)计算：(2,3)⊙(−1,4)；
(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明；
(3)若“A中的元素I=(x,y)”是“对∀α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要条件，试求出元素I．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.B
6.D
7.B
8.A
9.AC
10.AC
11.ABD
12.2,1,0,−3
13.−∞,0∪1,+∞
14.1
15.(1)6x4−17x2+12=(3x2−4)(2x2−3)=0
∴3x2−4=0或2x2−3=0
∴x2=43或x2=32
∴x1=2 33,x2=−2 33,x3= 62,x4=− 62．
解集为{2 33,−2 33, 62,− 62}
(2)x−2y=1即y=x2−12代入x2+y2=13
x2+(x2−12)2=13∴5x2−2x−51=0∴(x+3)(5x−17)=0
∴x1=−3y1=−2,x2=175y2=65．
解集为：{(−3,−2),(175,65)}

16.(1)
当m=1时，方程为x2+6x+7=0，
则x1+x2=−6；x1⋅x2=7，1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=−67．
(2)
x1+x2=−6m，x1⋅x2=9m−2，∵x12+x22=x1+x22−2x1⋅x2，
∴x1+x22−2x1⋅x2<4，∴36m2−2(9m−2)<4，解得0又∵方程有两个不同的根，∴Δ=36m2−49m−2>0，
解得m<13或m>23，∴0
17.解：(1)当a=1时，集合A={x|x2−4x+3<0}，则A=(1,3)，
集合B=[2,3]，
∴A∩B=[2,3)，A∪B=(1,3]．
(2)当a>0时，A=(a,3a)，B=[2,3]，
∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
∴B⫋A，∴a<2,3a>3,解得1∴实数a的取值范围是(1,2)．
18.(1)∵不等式ax+1x−2>0的解集是12,b，∴−1a=12,b=2解得a=−2，b=2；
(2)∵ax+1x−2>0，a<0，∴x+1ax−2<0，
当−1a=2，即a=−12时，不等式为x−22<0，则不等式的解集是⌀，
当−1a>2，即−12当−1a<2，即a<−12，解不等式得−1a综上所述，当a=−12时，不等式的解集为⌀；
当−12当a<−12时，不等式的解集为−1a,2．

19.解：(1)∵对于α=(a,b)，β=(c,d)，α⊙β=(ad+bc,bd−ac)，
∴(2,3)⊙(−1,4)=(2×4−1×3,3×4+1×2)=(5,14)；
(2)根据数和向量乘法交换律的形式，
类比得到⊙运算的交换律为：α⊙β=β⊙α，
证明如下：
设α=(a,b)，β=(c,d)，
则α⊙β=(ad+bc,bd−ac)，
β⊙α=(c,d)⊙(a,b)=(cb+da,db−ca)=(ad+bc,bd−ac)．
∴α⊙β=β⊙α．
(3)设A中的元素I=(x,y)，由(2)知：
对∀α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，
只需I⊙α=α，即(x,y)⊙(a,b)=(a,b)⇔(bx+ay,by−ax)=(a,b)．
①若α=(0,0)，显然有I⊙α=α成立，
②若α≠(0,0)，则bx+ay=a−ax+by=b，解得x=0y=1,
∴当对∀α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立时，得I=(0,1)，
易验证当I=(0,1)时，有对∀α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，
∴I=(0,1)．