辽宁省辽东南协作体2021-2022学年高二上学期第一次月考数学含答案

2021－2022学年度上学期月考试卷

高二数学(A)

考试时间：120分钟 满分：150分

范围：选择性必修一第一章空间向量与立体几何

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.若数组＝(－2，1，3)和＝(1，－，x)满足＝－2，则实数x等于

A.－3     B.－2     C.－     D.－

2.若a＝(2，2，0)，b＝(1，3，z)，<a，b>＝，则z等于

A.     B.－     C.±     D.±

3.若直线l的方向向量为＝(3，－1，2)，平面α的法向量为＝(2，3，－1)，则

A.l//α     B.l⊥α     C.lα     D.l与α斜交

4.已知正四面体A－BCD的棱长为1，且，，则＝

A.     B.     C.－     D.－

5.已知向量＝(，1，0)，＝(－1，0，2)，且＝(4，6，4)与k＋平行，则k的值是

A.－     B.3     C.－3     D.

6.笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形。在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A关于y轴对称的点的坐标是

A.(－1，－1，1)     B.(1，－1，1)     C.(1，－1，－1)     D.(－1，－1，－1)

7.已知四面体O－ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为

A.     B.     C.     D.

8.在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C到平面PAB的距离是

A.     B.     C.     D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得分5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点，则下列结论中正确的是

A.A1E⊥AC1     B.BF//平面ADD1A1     C.BF⊥DG     D.A1E//CH

10.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)。对于结论：①AP//AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④//。其中正确的是

A.①     B.②     C.③     D.④

11.在以下命题中，不正确的命题有

A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件

B.若a//b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb

C.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面

D.若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底

12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°。其中正确的结论是

A.①     B.②     C.③     D.④

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。

13.已知平面α和平面β的法向量分别为＝(1，2，2)，＝(x，－2，3)，若α⊥β，则x＝           。

14.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是        (填序号)

①；     ②；     ③；     ④。

15.已知＝(4，－2，6)，＝(－1，4，－2)，＝(7，5，2)，若，，三向量共面，则λ＝           。

16.在三棱锥D－ABC中，已知AB＝AD＝2，BC＝1，＝－3，则CD＝           。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本题满分10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设＝a，＝b，＝C。

(1)试用a，b，C表示向量；

(2)求BM的长。

18.(本题满分12分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)。

(1)求|2a＋b|；

(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)

19.(本题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2。

(1)求证：AB1//平面BC1D；

(2)求异面直线AB1与BC1所成的角。

20.(本题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点。

(I)求证：C1M⊥B1D；

(II)求二面角B－B1E－D的正弦值；

(III)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值。

21.(本题满分12分)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝AC＝2BC。

(1)若PA⊥PB求证：平面PAB⊥平面PBC；

(2)若PA与平面ABC所成角的大小为60°，求二面角C－PB－A的余弦值。

22.(本题满分12分)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB。

(I)求证：AC⊥平面FBC；

(II)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论。

高二数学(A)试题答案

一．单选题：CCDD  BACB  

二．多选题：BCD  BC  AB  ABD

三．填空题：13.-2   14.②③  15. 16.

四解答题：.17.解：（1）是PC的中点，

.

，，

，

结合，，，得.

（2）  ，，  ，.

，，     ，.

由（1）知，

，

，即BM的长等于.

18．解:(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，

故|2a＋b|＝＝5．

(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋

t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，

若¡Íb，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此在直线AB上存在点E，使得¡Íb，此时点E的坐标为E．

19．[解]　(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．

因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD¡ÎAB1．

因为AB1?平面BC1D，OD⊂平面BC1D，

所以AB1¡Î平面BC1D．

(2)建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz，

则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)，

因此＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．

所以cos〈，〉＝＝＝，

设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ¡Ê，故θ＝．

20.解：以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，0，，，0，，，2，，，0，，

，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，

（Ⅰ）证明：依题意，，1，，，，，

，；

（Ⅱ）依题意，，0，是平面的一个法向量，

，2，，，0，，

设，，为平面的法向量，

则，即，不妨设，则，，，

，，

，，

二面角的正弦值；

（Ⅲ）依题意，，2，，

由（Ⅱ）知，，，为平面的一个法向量，

，，

直线与平面所成角的正弦值为．

.

21.                                                            解：（1）证明：  因为平面平面ABC，
    平面平面,平面ABC,，
    所以平面PAC.
    因为平面PAC，所以. 又

所以C   因为PA,所以平面

（2）如图，过点P作于点H,
因为平面平面ABC，所以平面ABC，所以，
不妨设，则，
以C为原点，CA,CB所在直线分别为x轴，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，，
因此，，，.
设为平面PAB的一个法向量,则即
令，可得，
设为平面PBC的一个法向量，则即
令，可得，
所以，
易知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.

22.解：（Ⅰ）证明：，，

在中，由余弦定理可得，

，．

．

又，，

平面．

（Ⅱ）

线段上不存在点，使平面平面．

证明如下：

因为平面，所以．

因为，所以平面．

所以，，两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系．

在等腰梯形中，可得．

设，所以，．

所以，．

设平面的法向量为，，，则，

所以取，得，2，．

假设线段上存在点，设，所以．

设平面的法向量为，，，则

所以取，得．

要使平面平面，只需，

即，此方程无解．

所以线段上不存在点，使平面平面