辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,若,则实数a的取值组成的集合是( )
A.B.C.D.
2．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．已知函数的定义域为R,且的图象关于点成中心对称.当时,,则( )
A.1B.3C.-1D.-3
4．函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
5．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．若函数的定义域是,其中,,则函数+的定义域为( )
A.B.C.D.
7．对任意实数x,表示不超过x的最大整数,如,,关于函数,有下列命题：
①是奇函数;
②是偶函数;
③函数的值域为;
④函数有两个不同的零点,
其中正确的命题个数为( )
A.1B.2C.3D.0
8．已知集合,若A,B是U的两个非空子集,记满足“A中元素的最小值大于B中元素的最大值”为集合对,则所有集合对的个数为( )
A.16B.17C.18D.19
二、多项选择题
9．已知,则下列不等式成立的有( )
A.B.C.D.
10．已知a,b均为正实数,则下列选项正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则的最大值为
D.若,则最大值为
11．若函数在定义域内D内的某区间M是增函数,且在M上是减函数,则称在M上是“弱增函数”,则下列说法正确的是( )
A.若则不存在区间M使为“弱增函数”
B.若则存在区间M使为“弱增函数”
C.若则为R上的“弱增函数”
D.若在区间上是“弱增函数”,则
三、填空题
12．已知函数且,则实数______________.
13．若,,则a与b的大小关系为_____________.
14．若,且不等式的解集中有且仅有四个整数,则a的取值范围是_______________.
四、解答题
15．已知命题实数x满足（其中）,命题实数x满足.
(1)若,且p与q都为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
16．解关于x的不等式或求值.
(1);
(2)已知,解不等式;
(3),求.
17．已知定义域为R,对任意x,都有.当时,,且.
(1)求的值;
(2)判断函数的单调性,并证明;
(3)若对,都有恒成立,求实数t的取值范围.
18．关于x的方程
(1)若方程无实根,求k的取值范围;
(2)若方程有3个不等实根,求k的取值范围;
(3)若,且满足,,,试判断方程根的个数.
19．已知函数的定义域为D,值域为A,其中.
(1)若D关于原点对称,求实数a的取值范围;
(2)试判断1是否在集合A内,并说明理由;
(3)是否存在实数a,使得对任意,都有成立？若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：,
当时,,故满足,
当时,若,则,解得,
若,则,解得,
综上,实数a的取值组成的集合为.
故选：D.
2．答案：D
解析：因为特称命题的否定是全称命题,否定特称命题时既要改变量词又要否定结论,
所以命题“,”的否定是,,
故选：D.
3．答案：C
解析：因为将的图象向右平移1个单位长度后
得到函数的图象且的图象关于点成中心对称,
所以的图象关于原点成中心对称,则在R上是奇函数,
所以.
故选：C.
4．答案：A
解析：由题知函数的定义域为R,,故函数为偶函数,
图象关于y轴对称,故排除B,D,易得函数得零点为,,,
当时,,故排除C,故A选项正确.
故选：A.
5．答案：D
解析：若成立,则成立,即,
即,由可得,但不一定得到,
相反由也不一定能得出,
故选：D.
6．答案：C
解析：因为函数的定义域是,所以函数中自变量x满足的不等式组为：,又因为,,所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：,
故为周期函数,且周期为3,
当时,,
当时,,
即,,
故不是奇函数也不是偶函数,故①、②错误;
结合其周期性可得的值域为,故③正确;
令可得,令可得,
又,,故函数有两个不同的零点1,2,故④正确.
故选：B.
8．答案：B
解析：当A中元素的最小值为1时,不符合题意.
当A中元素的最小值为2时,集合A为：,,,
集合,集合对的个数为4,
当A中元素的最小值为3时,集合A为：,,
集合B为,,集合对的个数为6,
当A中元素的最小值为4时,集合A为：,
集合B为,,,,,,集合对的个数为7,
综上：所有集合对的个数为.
故选：B.
9．答案：AB
解析：由,即,所以,则,故A正确,
对于B,因为,所以,故B正确;
对于C：当,时,故C错误;
对于D：因为,则在R上为增函数,
由得,故D错误;
故选：AB.
10．答案：BC
解析：对于A,由,
因为,没有确定m是否为正数,所以没有办法判定差的符号,故A错误;
对于B,由,
因为,所以可以判定差为正数,故B正确;
对于C,由于a,b均为正实数,根据基本不等式得：,
由于,所以,当且仅当时取等号,故C正确;
对于D,由于a,b均为正实数,根据基本不等式得：,
由于,所以,但是,所以等号不成立,故D错误;
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：对于A,,则在定义域内的任何区间上都是增函数,
故不存在区间M使为“弱增函数”;
对于B,在上为增函数,,
易知它在上为减函数,
故存在区间M使为“弱增函数”;
对于C,为奇函数,且时,为增函数,
故由奇函数的对称性可知,为R上增函数;
为偶函数,其在时为增函数,故在时为减函数.
故不是R上的“弱增函数”;
对于D,若在区间上是“弱增函数”,
则在上为增函数,故,故,
又在上为减函数,
则由双勾函数单调性可知,,则综上有.
故选：ABD.
12．答案：-1
解析：函数 ,则：,
因为,所以,
故：,.
故答案为：-1.
13．答案：
解析：,
,
,,,
即.
故答案为：.
14．答案：
解析：由,可得,
由题意当,即时,不等式的解集为;
若满足解集中仅有四个整数,为2,3,4,5,则,
此时,与矛盾;
当时,即,不等式的解集为,不符合题意;
当,即时,不等式的解集为;
若满足解集中仅有四个整数,可能为2,3,4,5,或1,2,3,4,
当为2,3,4,5时,则,且,无解,
当整数解为1,2,3,4时,,且,
解得;
综上知,实数a的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：(1);
(2).
解析：(1)记命题,命题
当时,,,
与q均为真命题,则,
x的取值范围是.
(2),,
p是q的必要不充分条件,集合,
,解得,
综上所述,a的取值范围是.
16．答案：(1)或
(2)答案见解析
(3)
解析：(1)原不等式化为,即,可得1,
解得或,
所以原不等式解集为或.
(2)原不等式化为,
①当时,原不等式为,解得;
②当时,原不等式化为,即,
当时,原不等式等价于,显然,解得;
当时,原不等式等价于,而,解得或.
所以当时原不等式的解集为,
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为或.
(3)由,解得,所以.
17．答案：(1)
(2)是R上的单调递减函数,证明见解析
(3)
解析：(1)取,
则,于是,
令,
则,
又,则;
(2)是R上的单调递减函数.
证明：
任取,,
则,
由于当时,,易知,则,
故,
可得是R上的单调递减函数.
(3)不等式可化为,
也即,
令
于是,,都有恒成立,
由于为R上的单减函数,则,,
都有恒成立,
即,成立,即恒成立;
令,它是关于m的一次函数,
故只需,解得.
即,
解得.
18．答案：(1)
(2);
(3)3个实根.
解析：(1)令,则,原方程转化为（*）,
原方程无实根,则需（*）式无实根或实根均小于零,
令,
①若（*）式无实根,则,解得,
②两根均为负,则,解得,
综合①②,可知k的取值范围是.
(2)作函数的图象,
可知或时,每一个值对应1个x值,时一个t值对应2个不同的x值,
要使原方程有3个不等实根,
①（*）式一根为零,另一根在之间,所以,则（*）式为,解得或,不合题意;
②（*）有两不等根且一根大于1,另一根在之间,则,解得;
③（*）式有一根在之间,另一根为1,则,则（*）式为;
解得或,不合题意.
综上所述,k取值范围为.
(3)因为,
所以
因为a,b为正实数,所以,所以,即,
当且仅当,即,时等号成立,故,
由(1)知时,,,,
故（*）式有两不等实根,且一根在之间,另一根大于1,
故原方程有3个实根.
19．答案：(1);
(2)当时,,当,（由分式分母不为零,得且）;
(3)存在,或..
解析：(1)由题意函数的定义域满足,
①,即时,,符合,
②,设方程的两实根为,,要满足题意,必有,
综上,;
(2)若,则,从而,解得或,
①当时,要满足,还需注意此时分式的分母,,
②当时,要满足,还需注意此时分式的分母, ,
综上,当时,,当,（由分式分母不为零,得且）;
(3)先考虑对任意的恒成立.
记,,对应的判别式分别为,,则,
①且恒成立,则,即,得,
②,必须有,且方程与方程两实根必须完全相同,此时必有系数对应成比例,即,解得,满足判别式的条件.
③,即,解得或
当时,,,
值域为,不符;
当时,,,当时,,不满足条件.
要满足对任意的恒成立,必有或;
再在或的情况下,考虑对任意的恒成立.
(i)时,,由,可得,
要满足题意,,得,;
(ii)时,,符合;
综上,或.