2024-2025学年湖北省孝感第一高级中学高一（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省孝感第一高级中学高一（上）入学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一次函数y=x+2与y=2x−1的图象交点组成的集合是( )
A. 3,5B. x=3,y=5C. (3,5)D. (5,3)
2.把x2−1+2xy+y2分解因式的结果是( )
A. (x+1)(x−1)+y(2x+y)B. (x+y+1)(x−y−1)
C. (x−y+1)(x−y−1)D. (x+y+1)(x+y−1)
3.已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4}，B={x|(x+1)(x−1)(x−2)=0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {0,3,4}B. {0,1,3,4}C. {0,2,3,4}D. {3,4}
4.已集合A={x|ax+3=0}，B={x|x2=9}，若A⊆B，则实数a的取值集合是( )
A. {1}B. {−1,1}C. {−1,0,1}D. {0,1}
5.设三角形的三边a、b、c满足a4−b4−c4−2b2c2=0，则这个三角形的形状是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 无法确定
6.已知集合M={x|x=k+23,k∈Z}，N={x|x=k+23,k∈Z}，则( )
A. M∩N=MB. M∪N=MC. M∩N=⌀D. M=N
7.已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+(2m−1)x+m2+3=0的根，则m等于( )
A. −3B. 5C. 5或−3D. −5或3
8.若二次函数的解析式为：y=(x−2m)(x−2)(1≤m≤5)，且函数图象过点(p,q)和点(p+4,q)，则q的取值范围是( )
A. −12≤q≤4B. −5≤q≤0C. −5≤q≤4D. −12≤q≤3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是( )
A. A=BB. A≠BC. A∩B=AD. A∩B=B
10.随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图(四次参加体育模拟测试的学生人数不变)，下列四个结论中正确的是( )
A. 10月测试成绩为“优秀”的学生有40人
B. 9月体育测试中学生的及格率为30%
C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
11.下列选项正确的有( )
A. 已知x2−2x+1=0，则代数式(x−1)2+x(x−4)+(x−2)(x+2)=0
B. 已知x2−3x+1=0，则x3+1x3−3=15
C. 若a=120x+20，b=120x+19，c=120x+21，则a2+b2+c2−ab−bc−ac=3
D. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2−8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若分式方程2x−ax−1−4=−2x+ax+1的解为整数，则整数a= ______．
13.定义运算A∗A={x|x=a−b,a∈A,b∈A}，若集合A={1,2,3}，则A∗A= ______．
14.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=−4；
②若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是______(填写序号)．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R．
(1)1是A中的一个元素，用列举法表示A；
(2)若A中有且仅有一个元素，求实数a的组成的集合B；
(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
16.(本小题12分)
已知集合A={x|−3(1)当m=1时，求集合∁AB;
(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围．
17.(本小题12分)
(1)求二次函数y=2x2−3x+5在−2≤x≤2上的最大值和最小值，并求对应的x的值；
(2)已知函数y=ax2+2ax+1在区间−3≤x≤2上的最大值为4，求实数a的值．
18.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0．
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根x1、x2满足(x1−1)(x2−1)=6，求k值；
(3)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，
①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．
19.(本小题12分)
定义：在平面直角坐标系中，直线x=m与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中点P及点P右侧部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线：x=m的“迭代函数”.例如：图1是函数y=x+1的图象，则它关于直线x=0的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为y=x+1(x≥0),−x+1(x<0).
(1)函数y=x+1关于直线x=1的“迭代函数”的解析式为______．
(2)若函数y=−x2+4x+3关于直线x=m的“迭代函数”图象经过(−1,0)，则m= ______．
(3)已知正方形ABCD的顶点分别为：A(a,a)，B(a,−a)，C(−a,−a)，D(−a,a)，其中a>0．
①若函数y=6x关于直线x=−2的“迭代函数”的图象与正方形ABCD的边有3个公共点，求a的值；
②若a=6，函数y=6x关于直线x=n的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，求n的取值范围．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.C
5.A
6.B
7.A
8.A
9.BD
10.CD
11.BC
12.±1
13.{−2,−1,0,1,2}
14.①③
15.解：(1)∵1是A的元素，∴1是方程ax2+2x+1=0的一个根，
∴a+2+1=0，即a=−3，
此时A={x|−3x2+2x+1=0}．
∴x1=1，x2=−13，∴此时集合A={−13,1}；
(2)若a=0，方程化为x+1=0，此时方程有且仅有一个根x=−12，
若a≠0，则当且仅当方程的判别式△=4−4a=0，即a=1时，
方程有两个相等的实根x1=x2=−1，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合B={0,1}；
(3)集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由(2)可知此时a=0或a=1，
②A中一个元素也没有，即A=⌀，此时a≠0，且△=4−4a<0，解得a>1，
综合①②知a的取值范围为{a|a≥1或a=0}
16.解：(1)A={x|−3当m=1时，B={x|−1≤x≤3}，
所以∁AB={x|−3(2)由A∩B=B，得：B⊆A，
①当B=⌀时，则有m−2>2m+1，
解得：m<−3，符合题意；
②当B≠⌀时，则有m−2≤2m+1m−2>−32m+1≤3，
解得：−1综合 ① ②可得：
实数m的取值范围为：−∞,−3∪(−1,1]．
17.解：(1)把二次函数解析式配成顶点式，得：
y=2x2−3x+5=2(x−34)2+318，
因为a=2>0，所以抛物线开口方向向上，对称轴是x=34，
所以顶点的纵坐标即为最小值是318，
而当x=−2时，函数值最大，
所以最大值是2×(−2)2−3×(−2)=5=19．
综上当x=34，ymin=318；当x=−2，ymax=19．
(2)y=ax2+2ax+1
当a=0时，y=1不符合最大值为4，不合题意；
其对称轴为x=−2a2a=−1，
①当a>0时，其图象开口向上，此时x=2离对称轴更远，
当x=2时有最大值，最大值为4a+4a+1=8a+1，8a+1=4，解得a=38；
②当a<0，其图象开口向下，
则当x=−1时函数有最大值，最大值为a−2a+1=−a+1，
∴1−a=4，解得a=−3．
综上所述a的值为38或−3．
18.解：(1)∵在方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0中，Δ=b2−4ac=[−(2k+3)]2−4(k2+3k+2)=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)由题知：x1+x2=2k+3，x1x2=k2+3k+2，
∵(x1−1)(x2−1)=6变形为：x1x2−(x1+x2)+1=6，
∴k2+3k+2−(2k+3)+1=6，
解得k=−3或k=2；
(3)∵x2−(2k+3)x+k2+3k+2=(x−k−1)(x−k−2)=0，
∴x1=k+1>0，x2=k+2>0，则k>−1，
①不妨设AB=k+1，AC=k+2，
斜边BC=5时，有AB2+AC2=BC2，
即(k+1)2+(k+2)2=25，
解得：k1=2，k2=−5(x1、x2为负，舍去)，
当k=2时，△ABC是直角三角形；
②∵AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由(1)知AB≠AC，
故有两种情况：
当AC=BC=5时，k+2=5，则k=3，AB=3+1=4，
∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边，此时△ABC的周长为4+5+5=14，
当AB=BC=5时，k+1=5，k=4，AC=k+2=6，
∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边，此时△ABC的周长为6+5+5=16，
综上可知：当k=3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；
当k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16．
19.y=x+1,x≥1−x+3,x<1 1± 72