2024-2025学年云南大学附中星耀学校高一（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南大学附中星耀学校高一（上）入学数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.规定用符号[m]表示一个不超过实数m的最大整数，例如[13]=0，[3.24]=3.按此规定[2 5+1]的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.已知集合A={x|(x−1)(x−2)≤0}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=( )
A. {−1,0,3}B. {−1,0,1}C. {1,2}D. {2,3}
3.命题“∃x0>0,x02−5x0+6>0”的否定是( )
A. ∀x≤0，x2−5x+6≤0B. ∀x>0，x2−5x+6≤0
C. ∃x0≤0,x02−5x0+6≤0D. ∃x0>0,x02−5x0+6≤0
4.不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是( )
A. 19B. 13C. 12D. 23
5.设实数a，b满足0A. a6.已知集合A={x|x=2k+13,k∈Z},B={x|x=2k+13,k∈Z}，则( )
A. A⊆BB. A∩B=⌀C. A=BD. A⊇B
7.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是CD边的中点，E是BC边上的动点，M、N分别是AE、PE的中点，随着点E的运动，线段MN长( )
A. 保持不变，长度为 10
B. 保持不变，长度为 102
C. 不断增大
D. 先增大，后减小
8.构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=BA，连接AD，得∠D=22.5°，所以tan22.5°=ACCD=11+ 2= 2−1，类比这个方法，计算tan15°的值( )
A. 3+2B. 2C. 2− 3D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列条件中可以作为“0A. −113
10.已知集合A={x|x2−x−6>0}，B={x|ax2+bx+c≤0}(a≠0)，若A∩B={x|3A. a>0
B. 关于x的不等式cx2+bx+a>0解集为{x|x<−12或x>15}
C. a+b+c>0
D. 集合B={x|−2≤x≤5}
11.设正实数a，b满足a+b=1，则下列说法中正确的有( )
A. ab有最大值B. 1a+1b有最大值4
C. a+ b有最大值 2D. a2+b2有最小值12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式x+3x−5<0的解集为______．
13.若命题“∀x∈{x|x>0}，使得a≤x+2x成立”是真命题，则实数a的取值范围是______．
14.已知集合A满足{1,3}⊆A⊆{x∈N∗|12x+1∈N∗}，则集合A的个数有______个.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设集合P={x|−2(1)若Q≠⌀且Q⊆P，求a的取值范围；
(2)若P∩Q=⌀，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
(1)求值：a2−b2a2b−ab2÷(1+a2+b22ab)，其中a= 7− 11，b= 7+ 11．
(2)关于x的不等式x2−(a+2)x+2a≤0(a∈R)的解集为A，求A．
17.(本小题12分)
解答下列各题．
(1)若x>3，求x+4x−3的最小值．
(2)若正数x，y满足9x+y=xy，求2x+3y的最小值．
18.(本小题12分)
一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
19.(本小题12分)
已知函数y=x2−2ax+a
(1)设a>0，若关于x的不等式y<3a2+a的解集为A，B=[−1,2]，且x∈A的充分不必要条件是x∈B，求a的取值范围．
(2)方程y=0有两个实数根x1、x2，
①若x1、x2均大于0，试求a的取值范围．
②若x12+x22=6x1x2−3，求实数a的值．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.D
6.A
7.B
8.C
9.AC
10.AD
11.ACD
12.{x|−313.(−∞,2 2]
14.8
15.解：(1)由题意，集合P={x|−2因为Q≠⌀且Q⊆P，
所以3a解得−23≤a<12，
综上所述，实数a的取值范围为[−23,12)；
(2)由题意，需分为Q=⌀和Q≠⌀两种情形进行讨论：
当Q=⌀时，3a≥a+1，
解得a≥12，满足题意；
当Q≠⌀时，
因为P∩Q=⌀，
所以a+1≤−23a或3a≥33a综上所述，实数a的取值范围为(−∞,−3]∪[12,+∞)．
16.解：(1)a2−b2a2b−ab2÷(1+a2+b22ab)=a2−b2a2b−ab2÷(a2+b2+2ab2ab)
=(a+b)(a−b)ab(a−b)÷(a+b)22ab=(a+b)ab×2ab(a+b)2=2a+b，
将a= 7− 11，b= 7+ 11代入得：2a+b=2 7− 11+ 7+ 11= 77，
则原式= 77．
(2)原不等式化为(x−2)(x−a)≤0，
当a<2，解集为{x|a≤x≤2}，
当a=2，解集为{x|x=2}，
当a>2，解集为{x|2≤x≤a}，
综上所述：
当a<2时，A={x|a≤x≤2}；
当a=2时，A={2}；
当a>2时，A={x|2≤x≤a}．
17.解：(1)因为x>3，
所以x+4x−3=x−3+4x−3+3≥2 (x−3)×4x−3+3=7，
当且仅当x−3=4x−3时，即x=5时等号成立，x+4x−3的最小值为7；
(2)由9x+y=xy可得9y+1x=1，
因此2x+3y=(2x+3y)(1x+9y)=29+3yx+18xy≥29+2 18xy⋅3yx=29+6 6，
当且仅当18xy=3yx且9y+1x=1时，即x=1+3 62，y=9+ 6时，等号成立，
所以2x+3y的最小值为29+6 6．
18.解：(1)设这所公寓的客户面积为x平方米，则地板面积为(220−x)平方米，
由题意可得：x<220−xx220−x≥10%，解得：2209≤x<110．
所以这所公寓的窗户面积至少为2209平方米．
(2)设窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，窗户和地板同时增加m平方米，
则xy−x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)，
由题意可知00，
∴(x−y)my(y+m)<0，即xy∴公寓的采光效果变坏了．
19.解：(1)由y<3a2+a得x2−2ax+a<3a2+a，即
x2−2ax−3a2<0得(x−3a)(x+a)<0，
又a>0，所以−a即A=(−a,3a)，
∵x∈A的充分不必要条件是x∈B，
∴B⫋A，
则a>0−a<−13a>2得a>0a>1a>23得a>1，即实数a的取值范围是(1,+∞)．
(2)方程为y=x2−2ax+a=0
①若x1、x2均大于0，则满足Δ=4a2−4a≥0x1+x2=2a>0x1x2=a>0得a≥1或a≤0a>0a>0，
得a≥1，即a的取值范围[1,+∞)．
②若x12+x22=6x1x2−3，
则(x1+x2)2−2x1x2=6x1x2−3，
则(x1+x2)2−8x1x2+3=0，
即4a2−8a+3=0，
(2a−1)(2a−3)=0，
得a=12或a=32，
∵△≥0得a≥1或a≤0，
则a=32，即实数a的值是32．