湖北省孝感高级中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

这是一份湖北省孝感高级中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“，使得”的否定为( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，则
4.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积s可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为( )
A. 10B. C. 12D.
5.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、话剧社团、志愿者协会，高一某班学生共有28人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加话剧社团，有14人参加志愿者协会，同时参加篮球社团和话剧社团的有3人，同时参加篮球社团和志愿者协会的有3人，同时参加话剧社团和志愿者协会的有4人，只参加志愿者协会的有人.
A. 8B. 9C. 10D. 11
7.关于x的不等式的解集为或，则下列选项正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
8.设，且，则的最小值是( )
A. 4B. 2C. 1D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设集合，，，，则下列关系中正确是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “且”是“”的充要条件
C. 某文具店搞活动，1个笔记本与2支圆珠笔价格之和大于6元，而2个笔记本与1支圆珠笔价格之和小于4元，则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低
D. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠
11.已知，，且，则( )
A. 的最小值为3B. 的最大值为
C. 的最大值为0D. 的最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数__________.
13.已知正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.
14.已知集合，若集合M有14个非空真子集，则实数a的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知集合，集合
若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
若，求实数a的取值范围.
16.本小题15分
关于x的不等式
若，求不等式的解集；
当时，求不等式的解集.
17.本小题15分
对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.
求二次函数的不动点；
若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值.
18.本小题17分
为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米250元，屋顶和地面以及其他报价共计12000元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米
当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
19.本小题17分
若实数x，y，m满足，则称x比y远离
若x比y远离2且，求实数x的取值范围；
对任意两个不相等的实数a，b，证明：比远离ab；
若，判断：x与哪一个更远离，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：“，使得”的否定为：，
故选：
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查命题否定的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：，，
则
故选：
根据已知条件，先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：当，，满足，但，故A错误；
令，，，，满足，，但，故B错误；
令，，，，满足，，但，故C错误；
，
则，
故，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
所以三角形的面积
，当且仅当时等号成立．
故选：
结合三角形的面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最大值．
本题考查三角形的面积公式以及基本不等式的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：“，”为假命题，
则，，
故，，
所以，
故命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是
故选：
根据已知条件，转化为，，求出a的取值范围，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设同时参加篮球社团、话剧社团和志愿者协会的有x人，
则，
解得，
所以只参加志愿者协会的有
故选：
根据题意先求出同时参加篮球社团、话剧社团和志愿者协会的人数，从而求出结果．
本题主要考查了集合中的元素个数问题，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为不等式的解集为或，所以，选项A错误；
由题意知2和3是对应方程的两个根，所以，所以，；
所以不等式可化为，即，解得或，
所以不等式的解集为或，选项B错误；
由是不等式解集中的元素，所以满足不等式，
即，选项C错误；
不等式可化为，即，解得，
所以不等式的解集为，选项D正确．
故选：
根据不等式的解集得出，且2和3是对应方程的根，由此求出a与b、c的关系，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为，且，
所以，当且仅当时取等号，
即，时等号成立，
所以的最小值是
故选：
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：，，，，
，，
故选：
可求出集合A，B，D，然后根据集合的关系判断即可．
本题考查了函数的定义域和值域的定义及求法，集合相等的定义，子集的定义，交集的定义，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：A选项，，则，
推出，推不出，所以是的充分不必要条件，A正确．
B选项，且能推出；比如，推不出且，且是的充分不必要条件，B错误．
C选项，设笔记本价格a元，圆珠笔价格b元，，
令，，得，
，，，
，则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低，C正确．
D选项，设第一次价格为，第二次价格为，第三次价格为
第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，平均价格，
第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，平均价格，
由调和平均数算术平均数，得第二种优惠，D错．
故选：
A解出的范围，再去判断，
找一组特例，就可以分析出和且关系，
C设笔记本价格为a，圆珠笔价格为b，根据条件判断正负，
D用调和平均数和算术平均数的不等关系求解，
本题考查不等式的内容，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：因为，即，
则
，当且仅当，即，时取等号，A正确；
因为，
又，当且仅当，即时等号成立，
即的最小值是，
所以的最大值是，B正确；
因为，当且仅当，即，时取等号，
所以，
，C错误；
，
令，则，
，
因为，当且仅当时取等号，
所以取得最小值为，所以取得最小值，D错误．
故选：
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】2
【解析】【分析】
推导出，从而，或，再利用集合中元素的互异性能求出实数
本题考查实数值的求法，考查并集、子集定义、集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：集合，，，
，
，或，
解得，或，，
当时，，不成立；
当时，，不成立；
当时，，，成立．
故实数
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：因为a，b满足，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
若不等式恒成立，则，
解得，
故答案为：
由已知结合基本不等式先求的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：若集合M有15个真子集，则M中含有4个元素，
结合，可知，即，且区间中含有4个整数，
①当时，的区间长度，此时中不可能含有4个整数；
②当时，，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当时，的区间长度大于3，
若的区间长度，即，
若是整数，则区间中含有4个整数，
根据，可知，，
此时，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意；
若不是整数，则区间中含有5、6、7、8这4个整数，
则必须且，解得；
若时，，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当时，的区间长度，此时中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故，即，
结合可得，
综上所述，或或，
即实数a的取值范围是
故答案为：
根据真子集的定义，推断出集合M含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数a的取值范围．
本题主要考查了真子集的定义，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
15.【答案】解：，
是的必要不充分条件，
则B是A的真子集，
当，即时，，符合题意，
当时，
故，解得，
综上所述，实数a的取值范围为；
当时，
则，解得，
当时，
则或，解得或，
综上所述，实数a的取值范围为或
【解析】根据已知条件，先求出集合A，再结合集合的包含关系，即可求解；
分B是否为空集讨论，即可求解．
本题主要考查分式不等式的解法，属于中档题．
16.【答案】解：根据题意，若，不等式为，
变形可得且，
解可得或，
即不等式的解集为或；
根据题意，，即且，
分5种情况讨论：
①当时，不等式的解集为或或，
②当时，不等式为且，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为或或，
④当时，不等式为且，不等式的解集为或，
⑤当时，不等式的解集为或；
综合可得：当时，不等式的解集为或或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或或，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为或
【解析】根据题意，若，不等式为，解可得答案；
根据题意，按a的取值范围分5种情况讨论，求出不等式的解集，综合可得答案．
本题考查分式不等式的解法，涉及含参数不等式的解法，属于基础题．
17.【答案】解：根据题意，二次函数，
若，即，解可得或，
即二次函数的不动点为1或；
根据题意，若二次函数有两个不相等的不动点，，
则方程，即有两个不相等的正实数根，
必有，解可得，
则
，
又由，则，
则，当且仅当，即时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
即的最小值为
【解析】根据题意，由不动点的定义解方程，可得答案；
根据题意，分析可得方程，即有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系求出a的取值范围，进而可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查二次函数的性质和应用，关键是理解“不动点”的定义，属于中档题．
18.【答案】解：设甲工程队的总造价为y元，
则，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为24000元；
由题意可得，对任意的恒成立，
即，从而恒成立，
令，，，所以，
当且仅当，即时取“=”，所以，所以a的取值范围是
【解析】建立函数模型，利用基本不等式求最小值；
根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了数学运算核心素养，是中档题．
19.【答案】解：根据题意，若x比y远离2，即①，
又由，则①式可变形为，
解可得：，即x的取值范围为；
证明：，则，
，则，
又由，则，
则，
故比远离ab；
根据题意，由于，则，
故，
当时，，
此时，
则有，
当时，，
此时，
则有，
综合可得：，故更远离
【解析】根据题意，若x比y远离2，即，进而可得，解可得答案；
分析可得和，比较可得，即可得结论；
根据题意，分2种情况比较和的大小，即可得答案．
本题考查绝对值不等式的解法的应用，涉及不等式的性质，属于中档题．