2024-2025学年四川省南充高级中学高二（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省南充高级中学高二（上）入学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数2+ 3i的实部是( )
A. 2B. 3C. 2+ 3D. 0
2.已知A={2,4,5}，B={x|x≥3}，则A∩B=( )
A. {5}B. {4,5}C. {3,4,5}D. {2,3,4,5}
3.已知x>y>z且x+y+z=0，则下列不等式中恒成立的是( )
A. xy>yzB. xz>yzC. xy>xzD. x|y|>z|y|
4.已知函数f(x)=lg2(2−x),x<02x−k,x≥0，若f(f(−2))=3，则k=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
5.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足∀x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有[f(x1)−f(x2)](x1−x2)>0，且f(xy)=f(x)+f(y)，f(4)=23，则不等式f(2x)−f(x−3)>1的解集为( )
A. (0,4)B. (0,+∞)C. (3,4)D. (2,3)
6.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图，则f(π2)的值为( )
A. − 62
B. − 32
C. − 22
D. −1
8.已知AB=4，∠ABC=π4，点C为动点，点P为线段BC上的点且满足2BP=PC，当AP⋅BP取最小值时，△ABC的外接圆的面积为( )
A. πB. 3πC. 4πD. 5π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在三棱锥P−EDF的平面展开图中，E，F分别是AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为2，则在三棱锥P−EDF中( )
A. △PEF的面积为12
B. PD⊥EF
C. 平面PEF⊥平面DEF
D. 三棱锥P−EDF的体积为13
10.在△ABC中，下列结论正确的是( )
A. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B. 若sinB=csA，则△ABC是直角三角形
C. 若sin2A+sin2BD. 若acsA2=bcsB2=ccsC2，则△ABC是等边三角形
11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是( )
A. 沙漏中的细沙体积为1024π81cm3
B. 沙漏的体积是128πcm3
C. 细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cm
D. 该沙漏的一个沙时大约是1985秒(π≈3.14)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(3−m,2)，b=(1,m)，若a⊥b，则m=______．
13.某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取______人.
14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(lg13(2x−5))>f(lg38)的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.DF//AB且交AC于点F，
(1)求|2BE+DF|的值；
(2)求(DE+DF)⋅DA的最小值．
16.(本小题15分)
某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价(单位：cm)，计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
记抽取的第i个女生的身高为xi(i=1,2,3,…,10)，样本平均数x−=160，方差s2=15.参考数据： 15≈3.9，1592=25281，1692=28561．
(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[160,165]范围内的人数；
(2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ，σ的值；
(3)如果女生样本数据在(x−−2s,x−+2s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．
17.(本小题15分)
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠D=60°．
(1)若AC=3，求△ACD周长的最大值；
(2)若CD=2AB，∠BCD=75°，求tan∠DAC的值．
18.(本小题17分)
已知定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，当x∈[−4,0]时，f(x)=14x+a3x．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若∃x∈[−2,−1]，使得不等式f(x)≤m2x−13x−1成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，
AB=1，AD=2，AC=CD= 5．
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.C
6.B
7.A
8.D
9.ABD
10.CD
11.ACD
12.−3
13.50
14.{x|52132}
15.解：(1)设BE=x,x∈(0,12)，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE=30°,BD=2x,DE= 3x,DC=1−2x，
∵DF/​/AB，∴△DFC为边长为1−2x的等边三角形，
∴(2BE+DF)2=4BE2+4BE⋅DF+DF2=4x2+4x(1−2x)×cs0°+(1−2x)2=1，
∴|2BE−+DF−|=1；
(2)∵DF/​/AB，∴DE⊥DF，
∵(DE+DF)⋅DA=(DE+DF)⋅(DE+EA)=DE2+DF⋅EA
=( 3x)2+(1−2x)×(1−x)=5x2−3x+1=5(x−310)2+1120，
所以当x=310时，(DE+DF)⋅DA的最小值为1120．
16.解：(1)因女生样本中，身高在[160,165]范围内的占比为410=25，
故该校高一女生身高在[160,165]范围内的人数估计为100×25=40；
(2)记总样本的平均数为X−，标准差为S，
由题意，设男生样本(20人)的身高平均数为y−=169，方差为sy2=39，女生样本(10人)的身高平均数为x−=160，方差sx2=15，
则X−=20×169+10×16030=166，
S2=23[39+(169−166)2]+13[15+(160−166)2]=23×48+13×51=49，
故μ≈166,σ≈ S2=7；
(3)因x−=160，s= 15，则(x−−2s,x−+2s)，
即(160−2 15,160+2 15)，约为(152.2,167.8)，
由样本数据知，169∉(160−2 15,160+2 15)，为离群值，
剔除169后，女生样本(9人)的身高平均数为：x′−=19(160×10−169)=159，
由sx2=110(i=110xi2−10x−2)=110(i=110xi2−256000)=15，
可得i=110xi2=256150，则剔除169后，女生样本(9人)的身高的方差为：s′2=19(i=110xi2−1692−9x′−2)=19(256150−28561−9×25281)=203．
17.解：(1)在△ACD中，由余弦定理可得：AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcsD
=AD2+DC2−AD⋅DC
=(AD+DC)2−3AD⋅DC≥(AD+DC)2−3(AD+DC2)2=(AD+CD)24，
而AC=3，
即9≥(AD+CD)24，
解得：AD+DC≤6，当且仅当AD=DC=3时取等号．
故△ACD周长的最大值是9；
(2)设∠DAC=α，则∠DCA=120°−α，∠BCA=α−45°，
CD=2AB，∠BCD=75°，
在△ACD中，CDsinα=ACsin60∘，
在△ACB中，ABsin(α−45∘)=ACsin105∘，
两式相除得，2sin(α−45°)sinα=sin105°sin60∘，
因为sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cs60°+cs45°sin60°= 6+ 24，
所以( 6− 2)sinα=2 6csα，
故tan∠DAC=tanα=2 6 6− 2=3+ 3．
18.解：(1)∵f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，且x∈[−4,0]时，f(x)=14x+a3x，
∴f(0)=140+a30=0，解得a=−1，
∴x∈[−4,0]时，f(x)=14x−13x，
当x∈[0,4]时，−x∈[−4,0]，则f(x)=−f(−x)=−(14−x−13−x)=3x−4x，
即f(x)在[0,4]上的解析式为f(x)=3x−4x．
∴函数f(x)的解析式为f(x)=14x−13x,x∈[−4,0]3x−4x,x∈(0,4]
(2)∵x∈[−2,−1]时，f(x)=14x−13x，
∴14x−13x≤m2x−13x−1在[−2,−1]有解，
整理得m≥12x+2x+13x=(12)x+2×(23)x，
令g(x)=(12)x+2×(23)x，显然y=(12)x与y=(23)x在[−2,−1]上单调递减，
∴g(x)在[−2,−1]上单调递减，则g(x)min=g(−1)=(12)−1+2×(23)−1=5，
∴m≥5
∴实数m的取值范围是[5,+∞)．
19.(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，
∴PD⊥平面PAB；
(2)解：取AD中点为O，连接CO，PO，
∵CD=AC= 5，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,−1,0)，C(2,0,0)，
则PB=(1,1,−1),PD=(0,−1,−1)，PC=(2,0,−1)，
设n=(x0,y0,z0)为平面PCD的法向量，
则由n⋅PD=0n⋅PC=0，得−y0−z0=02x0−z0=0，令z0=1，则n=(12,−1,1)．
设PB与平面PCD的夹角为θ，则
sinθ=|cs|=|n⋅PB|n||PB||=|12−1−1 14+1+1× 3|= 33；
(3)解：假设存在M点使得BM/​/平面PCD，设AMAP=λ∈(0,1)，M(0,y1,z1)，
由(2)知，A(0,1,0)，P(0,0,1)，AP=(0,−1,1)，B(1,1,0)，AM=(0,y1−1,z1)，
则有AM=λAP，可得M(0,1−λ,λ)，
∴BM=(−1,−λ,λ)，
∵BM/​/平面PCD，n=(12,−1,1)为平面PCD的法向量，
∴BM⋅n=0，即−12+λ+λ=0，解得λ=14．
综上，存在点M，即当AMAP=14时，M点即为所求． 抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163