福建省福州第八中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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一、单选题（共40分）
1．（本题5分）厦门中学生小助团队的几名成员考试成绩分别为73 76 81 83 85 88 91 93 95，则几人考试成绩的中位数是（ ）
A．76B．81C．85D．91
2．（本题5分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（本题5分）已知一直角梯形纸片上、下底边边长分别为、，高为，该纸片绕着下底边所在直线旋转，则该纸片扫过的区域形成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（本题5分）在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是
A．四边形一定为菱形
B．四边形在底面内的投影不一定是正方形
C．四边形所在平面不可能垂直于平面
D．四边形不可能为梯形
5．（本题5分）定义在上的奇函数满足．当时，，则（ ）
A．B．4C．14D．0
6．（本题5分）在ΔABC中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A．B．C．D．
7．（本题5分）关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．4
8．（本题5分）把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影.如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是
A．B．C．D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（本题6分）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（ ）

A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m
B．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点
C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒
D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面
11．（本题6分）在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．点到平面的距离为
C．若，则
D．过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则由大到小的顺序为 .
13．（本题5分）航天（Spaceflight）又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间）以及地球以外天体各种活动的总称．航天活动包括航天技术（又称空间技术），空间应用和空间科学三大部分．为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛．小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题．已知小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是．若各同学答题正确与否互不影响，则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为 ．
14．（本题5分）若，，且，则的最小值为 .
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知，其中向量,
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值.
16．（本题14分）在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱上的一点（不与、点重合）.
（1）若平面，求的值；
（2）求二面角的余弦值.
17．（本题15分）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.
(1)若直线平面，求证：平面；
(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.
18．（本题16分）已知，．
(1)当，时，判断的奇偶性，并说明理由；
(2)当，时，若，求的值；
(3)若，且对任何，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（本题19分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.