2024-2025学年福建省福州市高二上册期中联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市高二上册期中联考数学检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若直线过两点和，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（ ）
A．B．C．D．
3．平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．若圆被直线平分，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知点，直线过原点且平行于，则点到的距离为（ ）
A．B．1C．D．
7．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为的正方体中，，，分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．以下说法正确的是（ ）
A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为
B．直线与直线之间的距离是
C．直线恒过定点
D．点在直线上运动，，，则时的最大值是
10．已知点在上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值是
B．满足的点有2个
C．当最小时，
D．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，，则直线过定点
11．在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点满足，，，则（ ）
A．当时，四棱锥外接球半径为
B．当时，三棱锥的体积为
C．周长的最小值为
D．若，则点的轨迹长为
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线与直线平行，则 ．
13．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ．
14．某校的几个高二年同学在深入研究选择性必修第一册教材第一章中的习题时发现原来空间直线与平面也有方程．教材中阐述并要求证明下面的两个结论：
请利用这两个结论求解下列问题：
已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上．
(1)求边上的高所在直线方程；
(2)设过点的直线为，且点与点到直线距离相等，求直线的方程．
16．如图，在棱长为2的正四面体中，是线段的中点，是中点，在线段上，且

(1)求线段的长；
(2)直线与直线所成角的余弦值；
(3)证明：平面；
17．已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知直线过点且直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程；
(3)已知点，，且为圆上一动点，求的最小值．
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，，分别是，的中点．
(1)证明：；
(2)设为侧棱上的动点，若直线与平面所成角的最大值为，试求平面与平面的夹角的余弦值．
19．已知圆和圆．
(1)若圆与圆相交，求的取值范围；
(2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值；
(3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为，
故，由于，故.
故选：C.
2．【正确答案】C
【详解】根据空间中四点共面可知，，解得.
故选：C.
3．【正确答案】D
【详解】由圆心到直线的距离，
即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为.
故选：D.
4．【正确答案】B
【详解】由圆，可得，
圆心，
因为直线平分圆，所以，解得.
故选：B.
5．【正确答案】A
【详解】由题意可知：，∴，
又∵时，即时，共线，∴，
∴.
故选：A
6．【正确答案】A
【详解】取,又，所以，则点到的距离为
.
故选：A
7．【正确答案】B
【详解】由，可得，
故曲线轨迹为以为圆心，1为半径的上半圆，
恒过定点，把半圆和直线画出，如下：

当直线过点时，满足两个相异的交点，且此时取得最大值，最大值为，
当直线与相切时，
由到直线距离等于半径可得，，解得，
结合图形可知要想曲线与直线有两个相异的交点，
实数的取值范围是.
故选：B.
8．【正确答案】D
【详解】如图，以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为n=a,b,c，
∵，，∴，，
即，
令则，
即为平面的一个法向量，
∴点到平面的距离.
故选：D
9．【正确答案】CD
【详解】对于A，当在轴上的截距和轴上截距截距均为0时，易得直线方程为，故A错误；
对于B，直线，即为，
故直线与直线之间的距离为，故B错误；
对C：由．
由，所以直线恒过定点，故C正确；
对于D，设点关于的对称点为，
则，解得：，即，
如图，，当三点共线时，等号成立，
所以的最大值为，故D正确.

故选：CD.
10．【正确答案】BCD
【详解】A选项：直线，即，
圆心到直线的距离，
∴点到直线的距离最大值是，A选错误；
B选项：设，则，
当时，得，化简得，
则直线与圆的交点即为所求点，
圆心到直线的距离，故有两个交点，
∴满足的点有2个，故B选项正确；
C选项：由观察可知，
当与圆相切时，最大或最小，
显然不存在时，与圆不相切，
∴设，圆心到直线的距离，解得.
显然当时最小，联立方程组，解得，即，
此时，故C选项正确；
D选项：设是直线上一点，过作两条直线分别于圆相切与点，即，
∴四点共圆，∴中点为圆心，
∴圆，
∵是圆和圆的公共弦，∴两个圆方程作差得，
∵，∴，
∴，整理得，
故直线过定点，故D选项正确.
故选：BCD
11．【正确答案】ABC
【详解】对于A，当时，由题，
所以此时点P为的中点，故点P到底面的距离为1，且四棱锥为正四棱锥，
设底面中心为Q，则且该四棱锥外接球球心O在直线上，

设四棱锥外接球半径为R，则有即，
所以，故A正确；
对于B，当时，因为，，，
所以三点共线，即在线段上，连接，
则由题意可知为的中位线，，
所以，
连接交于点G，则，又由正方体性质可得，平面即平面，
因为，且平面，
所以平面，所以点D到平面的距离为，

所以此时，故B正确；
对于C，由题可得，
所以周长为，所以该周长最小时取得最小值，
因为点满足，，，
所以四点共面，即P在平面内，

如图，取中点I，则由正方体结构性质可知，所以，
所以取得最小值时即为取得最小值时，
所以由三角形两边之和大于第三边可得当三点共线时取得最小值为，
所以周长最小值为，故C正确；
对于D，由A知底面中心为Q，且，又由正方体结构性质可知平面，平面，
所以，所以若，则，

如图，所以点P的轨迹是平面内以Q为圆心半径为2的圆与四边形相交的交线，该交线为圆弧，
因为，所以，
所以，所以，
所以点P的轨迹长为，故D错误.
故选：ABC.
12．【正确答案】-3
【详解】依题意，可得且，
解得或，因，故.
故-3.
13．【正确答案】
【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1，
则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示：
解得.
故
14．【正确答案】
【详解】因为平面的方程为，则平面的法向量为，
平面与的法向量分别为，，
直线是两个平面与的交线，
设直线的方向向量为，则，令，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值是.
故
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设，，，
∵边的中点在轴上，边的中点在轴上，
∴，∴，
∵，∴，
∴所在直线方程为，即.
（2）方法一：当斜率不存在时，，不满足题意；
当斜率存在时，设即，
依题意得：，
解得或，
综上所述，直线的方程为：或，
即：或.
方法二：依题意，所求直线与直线平行或过线段的中点，
综上所述，直线的方程为：或，
即：或.
16．【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）设，，．则其模长均为2，且两两夹角均是，
从而，，
由在线段上，且，可得，
则
，
；
（2）由是中点可得，
∴
，
所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为．
（3），
；
，
，
又，平面，且，
平面．
17．【正确答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）法一：，的中点为，
的垂直平分线方程为，即，
将联立可得，即圆的圆心坐标为．
圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
法二：设圆的方程为．
由题可得，解得，
所以圆的标准方程．
法三：设圆的方程为
由题可得，解得，
所以圆的标准方程为，
化为标准方程即．
（2）设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，
故．
①若直线的斜率不存在，
则，此时圆心到直线的距离为1，符合题意．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则有，解得，
则直线的方程为．
故直线的方程为或．
（3）因点在圆上，可设，（为参数）
又点，，故
，其中，
则当时，取最小值为．
18．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形.
为的中点,，
又，，
平面，平面，，
而平面，平面，且，平面，
又平面，.
（2）法一：由平面，平面可得，
又由（1）可得，，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，设，
则，由，，三点共线可设，
设，则，则，
故，从而，
又平面的一个法向量，设与平面所成角为，
则．
令，
故当时，，
故，即，，
则，，因为，故，
所以点坐标为，则，.
设平面的一个法向量为
则有
取，可得；
同理可得平面的一个法向量，
，
故平面与平面的夹角余弦值为.
法二：为上任意一点，连接，，
由（1）知平面，所以为与平面所成的角，
在中，，且，
所以当最短时，最大，
即当时，最大.
因为，所以，
又，所以，所以，
由（1）知，，两两垂直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又，分别为，的中点，
所以，，，，
，，，
所以，，，
设平面的一法向量为，
则，故，
取，则，
又由平面可得，
因为，平面，平面，，所以平面，
故为平面的一法向量，
所以.
故平面与平面的夹角的余弦值为.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）由配方得，则其圆心，半径，
由，则其圆心，半径
圆与圆相交，
，
即，解得，
的取值范围是.
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，消去得
由，可得，
则有，
，
解得，
因为，所以．
（3）如图，设点坐标为，直线的斜率为，则直线的斜率为，

则直线、的方程分别为：，，
即：，
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等，
由垂径定理得，圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等．
故有：，
化简得：，
即或，
整理得：，或，
依题存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，所以关于的方程有无穷多解，
从而有或，
解得或，
所以点坐标为或．
在空间直角坐标系中，已知点，向量，．
（1）过点且一个法向量为的平面的方程为；
（2）过点且方向向量为的直线的方程为．