福建省福州市福建师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若角的终边上一点的坐标为，则( )
A．B．C．D．
2．下列函数中，在区间上为增函数的是
A．B．C．D．
3．为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）
A．甲班众数小于乙班众数B．乙班成绩的75百分位数为79
C．甲班的中位数为74D．甲班平均数大于乙班平均数估计值
4．在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数．将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是（ ）
A．函数在区间上有最小值B．函数在区间上单调递增
C．函数的一条对称轴为D．函数的一个对称点为
6．如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，分别为，，，的中点，为上一点，，当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．正四棱台上、下底边长为、，外接球表面积为，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A．B．
C．或D．或
8．在ΔABC中，，，且，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．一组样本数据的平均数为，标准差为s．另一组样本数据，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据，新数据的平均数为，标准差为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有（ ）
A．平面
B．与所成的角为30°
C．平面
D．平面截正方体的截面面积为
11．已知均为正数且，下列不等式正确的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知，则的最小值为 .
13．已知函数，
①若a＝1，f（x）的最小值是 ；
②若f（x）恰好有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则 .
四、解答题（共77分）
15．（本题12分）如图1，在平面四边形中，已知，，，，，于点.将沿折起使得平面，如图2，设（）.
(1)若，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
16．（本题14分）如图，直三棱柱的体积为1，，，．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
17．（本题15分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
18．（本题15分）棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，.
（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置.
19．（本题21分）已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则.
（1）若，，均在集合中，求证：函数；
（2）若函数（）在集合中，求实数的取值范围；
（3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.