福建省福州文博中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份福建省福州文博中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，如图，空间四边形中，，且，则，如果向量共面，则实数的值是，已知空间向量满足，则的夹角为等内容，欢迎下载使用。
（完卷时间：150分钟，总分：150分）
第I卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点，则（ ）
A. B. C. D.
3.如图，空间四边形中，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
4.如果向量共面，则实数的值是（ ）
A. B.1 C. D.5
5.已知空间向量满足，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，二面角的大小为分别在平面内，，则（ ）
A. B.
C. D.
7.已知正四面体为中点，为中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.已知是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是（ ）
A.存在平面，使得且
B.存在平面，使得且
C.存在平面，使得
D.存在平面，使得
10.已知空间四点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.点到直线的距离为
D.四点共面
11.如图，平面，，则（ ）
A.
B.平面
C.二面角的余弦值为
D.直线与平面所成角的正弦值为
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.经过两点的直线的方向向量为，则__________.
13.长方体中，，则点到平面的距离为__________.
14.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求.
16.（本小题15分）
如图，在平行六面体中，，分别为的中点.求证.
17.（本小题15分）
在如图所示的多面体中，平面平面，且是的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
18.（本小题17分）
如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.
（1）求证：平面；
（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；
（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
19.（本小题17分）
如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，点在面上的射影恰为的重心.
（1）证明：；
（2）证明：面；
（3）求该五面体的体积.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线斜率，倾斜角，属基础题.
由方程求得斜率，得倾斜角.
【解答】
解：直线方程可以化为，斜率为1，
设其倾斜角为，则，
又故.
故选D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间两点间的距离公式，涉及空间点的坐标，属于基础题.
根据题意，求出的坐标，进而由空间两点间距离公式分析可得答案.
【解答】
解：根据题意，点在平面内的正投影为点，
则的坐标为，
则.
故选：B.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的加减运算，属于基础题.
由，可得，由，可得，由即可求解.
【解答】
解：，
，
，
.
故选A.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面定理，属于中档题.
设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.
【解答】
解：由于向量共面，
设，可得，解得.
故选：B.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的夹角和向量的数量积.
先得出，设与的夹角为，根据，即可得出结果.
【解答】解：，设与的夹角为
故，
即，
解得，
因为，
故，
故选C.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间中线段长的求法，解题时要认真审题，考查了学生的空间思维能力与运算能力.
由向量加法可得，再利用向量的模长公式，结合向量数量积公式，化简整理式子即可得到答案.
【解答】
解：，
与夹角大小为二面角的大小，，
又利用向量加法运算知，
，
即
解得：，
故选：A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，属于中档题.
连接，取的中点，连接，设正四面体的棱长为2，可知即为直线与直线所成角，再由余弦定理可得直线与直线所成角的余弦值.
【解答】
解：连接，取的中点，连接，设正四面体的棱长为2，
在三角形中，分别为的中点，可得，
可知即为直线与直线所成角，
因为，所以，在直角三角形中，可得，
又，在三角形中，由余弦定理可得，
则直线与直线所成角的余弦值为，
故选B.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量基本定理，空间向量共面定理，属于中档题.
由空间向量基本定理，用表示，由四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.
【解答】
解：由题意可知，
，
因为四点共面，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查空间中线线，线面的位置关系，属于中档题.
根据异面直线的性质，结合线面垂直的判定定理和性质，线面平行的判定定理和性质，进行逐项分析判断，即可求解.
【解答】
解：对于A，设的公垂线为，其中.
过作的平行线，设直线与确定的平面为平面，
则，
，
又平面，
.
故A正确；
对于B，过上一点作，
设与所确定的平面为，则，
故B正确.
对于C，若，则与异面相矛盾，故C错误；
对于D，若，则平面或，故正确.
故选ABD.
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积与模的运算，空间向量的数量积等运算，属于基础题.
得出即可分析A，B选项，运用等积法可分析C选项，运用空间向量的共面定理可分析D选项.
【解答】
解：由题意，，
，故A正确；
，故B正确；
由等面积法可得点到直线的距离为，故C正确；
假设四点共面，则存在实数满足，即，
而该方程组无解，故四点不共面，故D错误；
故选ABC.
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查利用利用空间向量求线面和面面的夹角､利用空间向量判定线线的垂直､利用空间向量判定线面的平行关系，属于中档题.
建立空间直角坐标系，利用，判断；依题意，是平面的法向量，由，则，判断；分别求出平面的一个法向量，平面的法向量，再求出，，即可判断CD.
【解答】
解：以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，
所以，
所以不垂直，故A错误；
依题意，是平面的法向量，
又，可得，则，
又因为直线平面，
所以平面，故B正确；
设为平面的一个法向量，则，
即，令，可得，
依题意，，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
所以，故C正确；
因为，故D错误.
故选BC.
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了直线的方向向量，是基础题.
根据向量平行列出等式即可.
【解答】
解：由题可知，
又直线的方向向量为，
故与平行，
所以，
所以
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点到平面距离的向量求法，属于中档题.
建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.
【解答】
解：在长方体中，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为，
所以，
设平面的法向量为：
，
，令得：，
又，
点到平面的距离为：.
故答案为.
14.【答案】
【解析】解：以为原点，为轴，过作平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，
设平面的法向量，
，可得，
设直线与平面所成角为，
则
故答案为：
以为原点，为轴，过作平行线为轴，为轴，建立空间直
角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.
本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
15.【答案】解：（1）由，得：
，
，
，解得，
所以，
，
，
，即；
（2）由，得
，
解得，
由，
解得：，
所以或.
【解析】本题考查了利用正､余弦定理解三角形和三角形面积公式，属于中档题.
（1）由，由三角恒等变换得，可得的大小；
（2）由，得出，结合余弦定理联立得出.
16.【答案】证明：设，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，
则，
所以
.
所以.
【解析】本题考查了空间向量的基本定理和加减数量积运算，属于基础题.
要证，只需证明.由已知，可构成空间的一个基底.把和分别用基底表示，然后计算即可.
17.【答案】（1）证明：是的中点，
，
又平面平面，
，
平面平面，
平面，
平面，
.
（2）解：如图，以为原点，为轴，以过点平行的直线
为轴，建立如图所示的坐标系，
，
，
，
，
设平面的法向量，
则，
取，得，
设平面的法向量，
则，
取，得，
设平面与平面所成的二面角的平面角为，
则，
所以.
平面与平面所成的二面角的正弦值为；
（3）解：在棱上存在一点，设，
且，
，
解得，
，
直线与平面所成角为，
，
解得，
存在点符合条件，且是棱的中点.
【解析】本题考查线面垂直的判定和性质，考查利用空间向量求解二面角，属于中档题.
（1）证明平面即可得；
（2）建立空间坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，以及平面的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面与平面所成的锐二面角正弦值；
（3）设，利用若直线与平面所成的角为，列出方程求出，即可得到点的位置.
18.【答案】解：（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，
又平面平面，
平面，
平面，又平面，
由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，，
又平面平面.
法二：由平面平面，
又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，
，
，
，
又平面平面.
法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为，
，即，
不妨取，则，则，
所以平面的一个法向量为，
平面.
（2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为，
点到平面的距离为.
（3），
设，则，
；
由（1）知：平面平面的一个法向量
（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；
设平面的法向量，
则，令，则；
，
令，则，
，
即锐二面角的余弦值的取值范围为.
【解析】本题考查知识点为线面垂直的判定，空间向量求点面距离､二面角，属于一般题.
（1）法一：根据题意求到平面，得，证明，从而可得平面.
法二､三：建立空间直角坐标系，由向量法证明线面垂直；
（2）由（1）得平面的法向量，利用点面距离公式求解即可；
（3）由（1）得平面的法向量，再求出平面的法向量，利用夹角公式即可求出结果.
19.【答案】解：（1）面面，
面，
又面面面，
（2）解1：
点为的重心，作的延长线交于，
点为中点，又，
，四边形为平行四边形，
又面，
又，
面，，
又面
解2：
以为原点，以为轴，为轴建立直角坐标系，
设，
，
，
，又，
，
，又，
面
（3）解1：以为原点，以为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，
，
，
五面体的体积
解2：在中，
令，
五面体的体积
【解析】本题考查直线平行以及线面垂直的判定，考查空间多面体的体积，涉及空间向量的运算，题目较难.