2023-2024学年浙江省杭州市滨江区江南实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市滨江区江南实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知3a=2b(ab≠0)，则下列比例式成立的是( )
A. a2=3bB. a3=b2C. ab=32D. ba=32
2.一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次，向上一面的数字是偶数的概率为( )
A. 16B. 12C. 13D. 14
3.将抛物线y=x2向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为( )
A. y=(x−4)2+1B. y=(x+1)2+4C. y=(x+4)2−1D. y=(x−1)2−4
4.在△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则tanA=( )
A. 35B. 45C. 34D. 43
5.已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的面积是( )
A. 15πB. 10πC. 5πD. 2.5π
6.如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为( )
A. 1
B. 2 2
C. 2
D. 2
7.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE/​/BC，EF/​/AB，且AD：DB=1：2，那么CF：CB等于( )
A. 5：8B. 3：8C. 3：5D. 2：3
8.A(−2,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)是抛物线y=−2(x+1)2+k上三点，y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1 >y3>y2B. y3>y1>y2C. y1>y2>y3D. y3>y2>y1
9.如图，在矩形ABCD中，ABA. 34
B. 78
C. 89
D. 910
10.设二次函数y=a(x+m)(x+m−k)(a<0,m,k是实数)，则( )
A. 当k=4时，函数y的最大值为−aB. 当k=2时，函数y的最大值为−2a
C. 当k=4时，函数y的最大值为−2aD. 当k=2时，函数y的最大值为−a
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算cs60°=______．
12.某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
估计这批青稞发芽的概率是______.(结果保留到0.01)
13.若抛物线y=x2−6x+c的顶点在x轴，则c= ______．
14.已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，则线段BP的长为______．
15.如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，半径OA=2 3，C是AB的中点，过点C作CD/​/OA，交OB于点D，则阴影部分的面积为______．
16.如图，以O为圆心，4为半径作圆，OH=2，直径CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为______；当点E在⊙O的运动过程中，线段FO的长度的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
有3张卡片，正面分别写着2，3，4，它们的背面都相同，现将它们的背面朝上，先从中任意摸出一张，作为十位数字，卡片不放回，再任意摸出一张作为个位数字，组成一个两位数．
(1)请用树状图或列表法表示所有可能的结果．
(2)求组成的两位数为偶数的概率．
18.(本小题8分)
如图，无人机在塔树上方Q处悬停，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为12米，无人机竖直高度PQ为60米，B、P、C在一条直线上，且P点到塔底B的距离比到树底C的距离多8米，求塔高AB的值.(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
19.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
(1)求证：∠CAB=∠BCD；
(2)若AB=4，BC=2，求CD的长．
20.(本小题8分)
如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，一分为二成为A3纸…，它们都是相似的矩形．
(1)求ADAB的值．
(2)若A1纸的周长为286厘米，求A2纸的周长．
21.(本小题8分)
拱桥具有稳固美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中.如图是某拱桥的截面图，目前水面宽度AB的长为6m．
(1)若将拱桥的截面近似看作半径为6m的圆弧，求弧AB的长．
(2)若将拱桥的截面近似看作二次函数图象，以水面AB所在直线为x轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系.桥拱顶面离水面AB的最大高度为2.25m，求出二次函数的解析式，并求出水上涨1m后的水面宽度．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连接EF交AD于点G．
(1)求证：AD2=AB⋅AE；
(2)若AB=4，AE=3，求EF的值．
23.(本小题8分)
二次函数y=−x2+bx+c的图象经过(t,−2)，(t+2,−2)两点．
(1)当t=1时，求该二次函数表达式．
(2)判断该函数与x轴有几个交点，并说明理由．
(3)若−5≤y≤−1时，有m≤x≤n，求n−m的最值．
24.(本小题8分)
锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O上有一点D，连接AD，CD，AD交BC于点F，且BD=CD．
(1)如图1，回答下列问题：
①求证：△ABF∽△ADC．
②若点M在线段AF上(不与点A，点F重合)，点N在线段MF上(不与点M，点F重合)，∠ACM=∠BCN，求证：CD2=DN⋅DM．
(2)如图2，若AB=AF=34AC，求csB．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵3a=2b，
∴a2=b3或2a=3b或ba=32或ab=23，所以D选项符合题意，A、B、C选项不符合题意．
故选：D．
根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次共有6种等可能结果，其中向上一面的数字是偶数的有3种结果，
所以向上一面的数字是偶数的概率为36=12，
故选：B．
一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次共有6种等可能结果，其中向上一面的数字是偶数的有3种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3.【答案】A
【解析】【分析】
抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为(4,1)，根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟悉抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(4,1)，
又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y=(x−4)2+1．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，属于基础题．
根据sinA=35设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出tanA的值．
【解答】
解：在Rt△ABC中，
∵sinA=35，
∴设a=3x (x≠0)，则c=5x，
∵a2+b2=c2
∴b=4x；
∴tanA=ab=3x4x=34．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：∵扇形的圆心角为150°，半径是6，
∴S扇形=150π×62360=15π．
故选：A．
根据扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπR2360进行计算即可．
此题主要考查了扇形的面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式．
6.【答案】D
【解析】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，
∵∠C=45°，∴∠D=45°，
∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°，
∴∠DAB=∠D=45°，
∵AB=2，∴BD=2，
∴AD= AB2+BD2= 22+22=2 2，
∴⊙O的半径AO=AD2= 2．
故选D．
连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，由圆周角定理可得∠D与∠ABD的度数，再由勾股定理即可解答．
此题比较简单，考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
7.【答案】D
【解析】【分析】
由DE/​/BC，推出△ADE∽△ABC，推出ADAB=AEAC，由ADDB=12，可得AEAC=ADAB=13，知CECA=23，进一步由EF/​/AB，
得△EFC∽△ABC，即可解决问题．
本题相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】
解：∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
∵ADDB=12，
∴AEAC=ADAB=13，
∴CECA=23，
∵EF//AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴CFCB=CECA=23，
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=−2(x+1)2+k的开口向下，对称轴为直线x=−1，
而A(2,y3)离直线x=−1的距离最远，C(−2,y1)点离直线x=−1最近，
∴y3故选：C．
根据二次函数的性质得到抛物线y=−2(x+1)2+k的开口向下，对称轴为直线x=−1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征求出纵坐标是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：连接FQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，∠BAF=90°，BC=AD，
∵ABBC=45，
∴设AB=4a，BC=5a，
∵△BCE与△BFE关于直线BE对称，
∴BF=BC=5a，CQ=FQ，CE=FE，
∴AF= BF2−AB2= (5a)2−(4a)2=3a，
∴DF=AD−AF=5a−3a=2a，
∵CQ=CE，
∴CQ=FQ=FE=CE，
∴四边形CQFE是菱形，
∴FQ//CE，
∴AB//FQ//CE，
∴GQCQ=AFDF=3a2a=32，
∴设CQ=2k，GQ=3k，
∵CQ=CE，
∴∠CQE=∠CEQ，
∵AB/​/CD，
∴∠ABQ=∠CEQ，
∵∠CQE=∠GQB，
∴∠GBQ=∠GQB，
∴BG=QG，
∵AB//FQ，
∴∠GBP=∠QFP，∠BGP=∠FQP，
∴△GBP∽△QFP，
∴GPPQ=BGFQ=GQCQ=32，
∴GP=35GQ=95k，
∴GPCQ=95k2k=910，
故选：D．
由轴对称想到连接FQ，根据已知可得四边形CQFE是菱形，从而证明AB//FQ//CE，然后利用平行线分线段成比例可得GQ：CQ的值，再证明△BGQ是等腰三角形，最后再证明8字型模型相似三角形△GBP∽△QFP，即可解答．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例，8字型模型相似三角形是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由题意，令y=0，
∴(x+m)(x+m−k)=0，
∴x1=−m，x2=−m+k．
∴二次函数y=a(x+m)(x+m−k)与x轴的交点坐标是(−m,0)，(−m+k,0)．
∴二次函数的对称轴是：直线x=−m−m+k2=−2m+k2．
∵a<0，
∴y有最大值．
当x=−2m+k2时，y最大，
即y=a(−2m+k2+m)(−2m+k2+m−k)
=a⋅k2⋅(−k2)
=−k24a，
当k=4时，函数y的最大值为y=−4a；
当k=2时，函数y的最大值为y=−a．
综上，D选项正确，其余选项错误．
故选：D．
依据题意，令y=0，求出二次函数与x轴的交点坐标，从而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的对称轴是解题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：cs60°=12．
故答案为: 12 ．
根据cs60°=12即可得出答案．
本题考查了特殊角的三角函数值．
12.【答案】0.95
【解析】解：分别计算各次的发芽率，
4750=0.94，
96100=0.96，
284300≈0.95，
380400=0.95，
571600≈0.95，
9481000≈0.95，
估计这批青稞发芽的概率是0.95．
故答案为：0.95．
先计算各次的发芽率，利用频率估计概率即可．
本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13.【答案】9
【解析】解：根据题意，顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，
即4c−364×1=0，解得c=9．
顶点在x轴上，根据顶点的纵坐标是0，列出方程求解．
本题考查求顶点纵坐标的公式，比较简单．
14.【答案】6−2 5
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，AB=4，
∴AP= 5−12AB= 5−12×4=2 5−2，
∴BP=AB−AP=4−(2 5−2)=6−2 5，
故答案为：6−2 5．
根据黄金分割的定义可得AP= 5−12AB，从而求出AP的长，然后再求出BP的长，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
15.【答案】π2− 32
【解析】解：如图，连接OC，过点D作DT⊥OC于点T．
∵BC=AC，
∴∠BOC=∠AOC=12∠AOB=30°，
∵CD//OA，
∴∠DCO=∠AOC=30°，
∴∠DOC=∠DCO，
∴DO=DC，
∵DT⊥OC，
∴OT=CT= 3，
∴DT=OT⋅tan30°= 3× 33=1，
∴S阴=S扇形OBC−S△CDO
=30π×(2 3)2360−12×2 3×1
=π2− 32．
故答案为：π2− 32．
如图，连接OC，过点D作DT⊥OC于点T.解直角三角形求出DT，再根据S阴=S扇形OBC−S△CDO，可得结论．
本题考查扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16.【答案】4 3 2 3−2
【解析】解：连接OA，AC，过O作OK⊥AC于K，连接FK，
∵直径CD⊥AB于点H，
∴AB=2AH，
∵OA=4，OH=2，
∴AH= OA2−OH2=2 3，
∴AB=2AH=4 3；
∵sin∠AOH=AHAO=2 34= 32，
∴∠AOH=60°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∵∠ACO+∠CAO=∠AOH=60°，
∴∠ACO=30°，
∵∠OKC=90°，
∴OK=12OC=12×4=2，
∵∠ACH=30°，∠AHC=90°，
∴AC=2AH=4 3，
∵OK⊥AC，
∴K是AC中点，
∵∠AFC=90°，
∴FK=12AC=2 3，
∵OF≥FK−OK=2 3−2，
∴OF的最小值是2 3−2．
故答案为：4 3，2 3−2．
连接OA，AC，过O作OK⊥AC于K，连接FK，由垂径定理得到AB=2AH，由勾股定理求出AH= OA2−OH2=2 3，得到AB=2AH=4 3；由sin∠AOH=AHAO= 32，得到∠AOH=60°，由三角形外角的性质求出∠ACO=30°，由含30度角的直角三角形的性质求出OK=12OC=2，求出AC=2AH=4 3，由直角三角形斜边中线的性质得到FK=12AC=2 3，而OF≥FK−OK=2 3−2，即可求出OF的最小值是2 3−2．
本题考查垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边的中线，关键是由含30度角的直角三角形的性质求出OK的长，由直角三角形斜边中线的性质得到FK的长．
17.【答案】解：(1)

∴共有6种可能，分别为：23，24，32，34，42，43．
(2)由(1)知是偶数的有24，32，34，42，共4个，
∴组成的两位数为偶数的概率为：46=23．
【解析】(1)首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数；
(2)根据(1)得出所有等可能的结果数和两张卡片的数字之和为偶数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率，注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
18.【答案】解：如图：延长CD交GH于点E，延长BA交GH于点F，

由题意得：CE⊥GH，BF⊥GH，CE=BF=PQ=60米，EQ=CP，QF=PB，
∵CD=12米，
∴DE=CE−CD=48(米)，
在Rt△DEQ中，∠EQD=60°，
∴EQ=DEtan60∘=48 3=16 3(米)，
∵PB−PC=8，
∴QF−QE=8，
∴QF=QE+8=(16 3+8)米，
在Rt△QFA中，∠FQA=37°，
∴AF=QF⋅tan37°≈0.75(16 3+8)米，
∴AB=BF−AF=60−0.75(16 3+8)=(54−12 3)米，
∴塔高AB的值为(54−12 3)米．
【解析】延长CD交GH于点E，延长BA交GH于点F，根据题意可得：CE⊥GH，BF⊥GH，CE=BF=PQ=60米，EQ=CP，QF=PB，从而可得DE=48(米)，然后在Rt△DEQ中，利用锐角三角函数的定义求出EQ的长，从而求出QF的长，再在Rt△QFA中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵直径AB⊥弦CD，
∴弧BC=弧BD．
∴∠A=∠BCD；
(2)连接OC，
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE=ED．
∵直径AB=4，
∴CO=OB=2，
∵BC=2，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COE=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OE=12OC=1，
在Rt△COE中，
∴CE= 22−12= 3，
∴CD=2CE=2 3．
【解析】(1)根据等弧对等角证明即可；
(2)连接OC，根据垂径定理得到CE=DE，再利用勾股定理计算出CE，然后计算2CE即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
20.【答案】解：(1)∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为AD2，它们都是相似的矩形，
∴A1、A2纸的长与宽对应比成比例，得ADAB=ABAD2，
∴ADAB= 2；
(2)∵A1纸的周长为286厘米，ADAB= 2；
∴A2纸的周长=286÷ 2=143 2．
【解析】分别设A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为AD2，再由相似多边形的对应边成比例列出比例式，求出的值即可．
本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设圆的圆心为R，
∵圆的半径和AB长度相等，
则△OAB为等边三角形，
则AB=60°360∘×2πr=16×2π×6=2π(m)，
即弧AB的长为2πm；
(2)由题意得，抛物线的顶点坐标为：(3,2.25)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−h)2+k，
即y=a(x−3)2+2.25，
解得：a=−0.25，
则抛物线的表达式为：y=−0.25(x−3)2+2.25，
如图，设EF=1，则点F(x,1)，
即点F的坐标代入抛物线表达式得：1=−0.25(x−3)2+2.25，
解得：x=3± 5，
则此时的水面宽为3+ 5−(3− 5)=2 5(m)，
即水上涨1m后的水面宽度为2 5m.
【解析】(1)证明△OAB为等边三角形，即可求解；
(2)由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
本题主要考查了二次函数的应用，涉及到圆的弧长得计算方法，是一道基本题．
22.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∵∠DAE=∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴ADCA=AEAD，
∴AD2=AC⋅AE，
∵AC=AB，
∴AD2=AB⋅AE．
(2)解：如图，连接DF，

由(1)得：AD2=AB⋅AE，AB=AC=4，AE=3，
∴AD2=AB⋅AE=4×3=12，
∴AD=2 3(负值已舍)，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵F是AB的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=12AC=2，DF/​/AC，
∴∠FDE+∠AED=180°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠FDE=90°，
在Rt△ACD中，CD= AC2−AD2= 42−(2 3)2=2，
在Rt△CDE中，CE=AC−AE=1，
∴DE= CD2−CE2= 3，
∴EF= DF2+DE2= 22+( 3)2= 7．
【解析】(1)只要证明△DAE∽△CAD，可得ADCA=AEAD，推出AD2=AC⋅AE即可解决问题；
(2)连接DF，根据(1)求出AD=2 3，结合等腰三角形的性质求出DF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质、平行线的性质求出DF=2，∠FDE=90°，再根据勾股定理求出CD、DE、EF即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)当t=1时，两点坐标分别为(1,−2)，(3,−2)，将这两点坐标分别代入二次函数y=−x2+bx+c中得出：−2=−1+b+c−2=−9+3b+c，解得b=4，c=−5，则二次函数表达式为y=−x2+4x−5；
(2)该函数与x轴没有交点，理由如下：
将两点坐标(t,−2)，(t+2,−2)分别代入y=−x2+bx+c，得出−t2+tb+c=−2−(t+2)2+tb+2b+c=−2，解得b=2t+2，c=−(t2+2t+2)，
又∵当y=0时，−x2+bx+c=0，Δ=b2−4ac=b2+4c
∴Δ=−4<0
故该函数与x轴没有交点；
(3)由(2)得出b=2t+2，则y=−x2+bx+c的对称轴为x=−b2a=t+1，
∵a=−1，
∴二次函数y=−x2+bx+c的图象开口向下，
∵当x=t+1时，y=−(t+1)2+(2t+2)(t+1)−(t2+2t+2)=−1，
∴m≤t+1≤n，
∵当y=−5时，x2−(t−1)x−(t+3)x+(t−1)(t+3)=0，
∴当y=−5时，x1=t−1，x2=t+3，
根据该函数的图象性质，当n=t+1，m=t−1时，n−m=t+1−t+1=2，此时n−m为最小值，
当n=t+3，m=t−1时，n−m=t+3−t+1=4，此时n−m为最大值，
综上所述，n−m的最小值为2，n−m的最大值为4．
【解析】(1)当t=1时，两点坐标分别为(1,−2)，(3,−2)，将这两点坐标分别代入二次函数y=−x2+bx+c中即可得出二次函数表达式；
(2)二次函数与x轴的交点个数即为当y=0时，−x2+bx+c=0的解的个数，利用一元二次方程的根的判别式判定；
(3)根据二次函数图象开口方向及对称轴判定n−m的最值．
本题考查了二次函数的图象性质、一元二次方程式的根的判定式等知识点，解题的关键在于二次函数的图象的性质．
24.【答案】(1)①证明：∵BD=CD，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠ABF=∠ADC，
∴△ABF∽△ADC．
②证明：∵∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠BCD，
∴∠DAC=∠BCD，
∵∠CMD=∠DAC+∠ACM，∠DCN=∠DCB+∠BCN，∠ACM=∠BCN，
∴∠CMD=∠DCN，
∵∠CDN=∠MDC，
∴△CDN∽△MDC，
∴DNDC=CDDM，
∴CD2=DN⋅DM．
(2)解：过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，

由(1)可知AF平分∠BAC，
∴FM=FN，
∴S△ABFS△ACF=12AB⋅FM12AC⋅FN=ABAC，
∵S△ABFS△ACF=BFCF，
∴ABAC=BFCF=34，
设AB=3y，AC=4y，则AF=3y，
过点A作AE⊥BC于点E，
∴BE=EF，
设BE=EF=x，
∴BF=2x，
∴CF=83x
∴CE=113x，
∵AB2−BE2=AC2−CE2，
∴(3y)2−x2=(4y)2−(113x)2，
∴y=43x，
∴AB=4x，
∴csB=BEAB=x4x=14．
【解析】(1)①证出∠BAD=∠DAC，由相似三角形的判定可得出结论；
②证明△CDN∽△MDC，由相似三角形的性质得出DNDC=CDDM，则可得出结论；
(2)证明ABAC=BFCF=34，设AB=3y，AC=4y，则AF=3y，过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理得出y=43x，则可得出答案．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键．每次试验粒数
50
100
300
400
600
1000
发芽频数
47
96
284
380
571
948